鞍山市普通高中2024—2025學年度高三第二次質量監測數學試題卷注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺.不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數滿足，則（）A.1 B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】先將分母實數化，再求出，利用模長公式計算即可求得【詳解】，，．故選：C2.設全集，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據交集、并集、補集的定義求解.【詳解】因為全集，，所以，所以.故選：B.3.已知向量，，，若，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐標運算，結合向量垂直的坐標表示求解.【詳解】由，，得，由，得，所以.故選：A4.已知互不相等的數據，，，，，，的平均數為，方差為，數據，，，，，的方差為，則（）A. B.C. D.與的大小關系無法判斷【答案】C【解析】【分析】根據所給數據分別計算、比較大小即可求解.【詳解】根據已知條件第一組數據的個數為個，且，所以，，第二組數據的個數為個，且平均數，，因為，所以.故選：C5.若圓錐的側面積與過軸的截面面積之比為，則圓錐母線與底面所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用題干條件求得圓錐母線與高的關系，結合三角函數定義即可求得圓錐母線與底面所成角的大小.【詳解】設圓錐底面的半徑為，母線長為，高為，則由題意得，解得，設圓錐母線與底面所成角為，則，所以圓錐母線與底面所成角的大小為.故選：A.6.在的展開式中，的系數是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】由二項式定理展開式的通項求解即可.【詳解】展開式的通項為，令，所以的系數是.故選：D7.已知、是函數的圖象上兩個不同的點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據基本不等式求出，再利用對數函數的單調性及對數的運算即可求解.【詳解】根據已知條件有，，所以，因為、是函數的圖象上兩個不同的點，所以，所以，即，因為為上的增函數，所以，所以故選：B8.如圖，圓與軸交于、兩點，、是分別過、的圓的切線，過圓上任意一點作圓的切線，分別交、于點、兩點，記直線與交于點，則點的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出切線的方程，然后分別令求出兩點坐標，利用點斜式求出直線和直線的方程，聯立解出點坐標即可求出點的軌跡方程，要注意挖掉兩個不能取到的點.【詳解】設點，當圓心與切點所成直線的斜率不存在時，即當點時，易知以，所以此時點為矩形的對角線的交點，即；當圓心與切點所成直線斜率存在時，則，因為，所以切線的斜率為，又切線過點，所以切線的方程為，整理得，又點在圓上，所以，故切線的方程為.易知，在切線的方程中，令，則，令，則，所以，所以直線的斜率，直線的方程為，直線的斜率，直線的方程為，聯立直線和直線的方程，解得，所以點，又，所以點所滿足的方程為，因為切線分別交、于點、兩點，所以切線不能為，即，且前述直線的斜率不存在時即也滿足上述方程，所以點的軌跡方程為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于函數和，下列說法中正確的是（）A.與有相同的零點B.與有相同的最小值C.函數的圖象與的圖象有相同的對稱軸D.的圖象可以由函數的圖象向左平移個單位得到【答案】BD【解析】【分析】舉反例令代入可得A錯誤；由正余弦函數的值域可得B正確；由余弦函數的對稱軸方程代入正弦函數可得C錯誤；由函數平行的性質可得D正確.【詳解】對于A，令中，可得，但，故A錯誤；對于B，由正余弦函數的值域可得兩函數具有相同的最小值為，故B正確；對于C，函數的對稱軸方程為，即，所以，故C錯誤；對于D，的圖象向左平移個單位得到，故D正確；故選：BD10.已知函數滿足，，則（）A.B.對于任意，有三個零點C.對于任意，有兩個極值點D.存在，使得點為曲線對稱中心【答案】AB【解析】【分析】根據，即可判斷A；由A選項知，，利用導數求出函數的單調區間，再根據零點的存在性定理即可判斷B；舉出反例，結合極值點的定義即可判斷C；要使點為曲線對稱中心，則為定值，由此即可判斷D.【詳解】對于A，由，，可得，即，故A正確；對于B，由A選項可得，則，則，當時，令，則，令，則或，令，則，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，由，可得，而，所以，又當時，，當時，，所以函數在和都存在一個零點，所以對于任意，有三個零點，故B正確；對于C，當時，，則，由，得恒成立，所以函數上單調遞增，所以函數無極值點，故C錯誤；對于D，要使點為曲線對稱中心，則為定值，而，因為為定值，所以，解得，所以不存在，使得點曲線對稱中心，故D錯誤.11.曲線與直線交于不同的兩點、（），、分別為曲線在點、處的切線，、分別為直線、與直線的交點，為直線與的交點，則（）A. B. C. D.點在直線上【答案】ABC【解析】【分析】曲線與直線交于不同的兩點，聯立，可得范圍；由零點存在定理，可確定；求導確定直線斜率寫出直線方程，求出時、坐標由可得；為直線與的交點，聯立求出即可.【詳解】曲線與直線交于不同的兩點、，，整理得解得或，且，，故A正確；令，且對稱軸，，，，故B正確；，則，：，即.令，得，即，同理可得,.，，，關于軸對稱，，故C正確；為直線與的交點，聯立，整理得代入得：，即點在直線上，故D不正確.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若且，則____________.【答案】##【解析】【分析】先由兩角和的正切公式算得，再利用兩角和的余弦公式即可算得.【詳解】由兩角和的正切公式可得，所以，由兩角和的余弦公式可得，解得.故答案為：.13.設為公比為等比數列的前項和，若，，成等差數列，則_________.【答案】【解析】【分析】根據等差中項的性質及等比數列的通項公式計算即可求解.【詳解】由，，成等差數列，可得：.又因為為公比為等比數列的前項和，所以，且，即，解得：.故答案為：.14.設、、、是、、、、、、、的一個排列，則滿足，，，的排列共有________個；，則集合中所有元素的和為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用倍縮法可得出滿足，，，的排列方法種數；設，，，，分析可得出的最大值為，最小值為，列表分析能取到區間內的所有偶數，即可得出集合中所有元素之和.【詳解】因為、、、是、、、、、、、的一個排列，若滿足，，，，則與、與、與、與的大小關系是確定的，所以，滿足條件的排列方法種數為種；對于集合中的元素，不妨設，，，，則為偶數，根據題意可知，，，，，則，不妨取，此時，取最小值，當取最小值時，最大，且的最小值為，則的最大值為，接下來驗證可取內的所有偶數，對取特殊值進行驗證，列表如下：因此，集合的所有元素之和為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.中，角的對邊分別為已知.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊轉化成角，再根據三角恒等變換即可求解；（2）利用二倍角公式進行化簡，求得，再利用正弦定理結合三角形面積公式求解.【小問1詳解】由正弦定理可得,因為，，,所以，所以整理得，因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，，又因為，，所以，又，所以.16.如圖，斜三棱柱中，，點在底面的射影恰好是的中點，.（1）證明：；（2）將沿翻折至，使得點在平面上，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用空間垂直關系結合菱形對角線垂直來進行線面垂直的證明，再證明線線垂直;（2）利用空間直角坐標系的向量運算來求空間角即可.【小問1詳解】由已知平面，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，所以因為，所以平行四邊形為菱形，所以又，平面，所以平面，所以【小問2詳解】因為，由（1）平面，所以平面，所以,由已知，直線、和均在平面內,所以、、三點共線,因為，所以為的中點取中點，連接，因為是的中點，所以所以面，所以，，且平面分別以直線、、為軸、軸、如圖所示空間平面直角坐標系，則，，，，所以，，，所以，設平面的法向量為，因為，所以，令，可得平面的一個法向量為；設平面的法向量為，因為，所以，令，可得平面的一個法向量為；因為所以平面與平面所成角的余弦值為.17.已知函數.（1）當時，證明：；（2）若存在極大值，且極大值大于0，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）求導后分析單調性，得到最大值即可；（2）求導后，分和討論單調性和極值，當時，構造函數，由導數分析單調性解抽象函數不等式可得.【小問1詳解】時，，，時，；時，，所以在區間上單調遞增，上單調遞減，所以.【小問2詳解】，時，，在上單調遞增，無極值；時，時，；時，，所以在區間上單調遞增，上單調遞減，所以的極大值為，令，則，所以在區間上單調遞增，由已知，所以，解得，綜上，.18.某籃球夏令營舉行超遠距離投籃闖關游戲，游戲規則如下：夏令營成員組隊參加游戲，每隊由三名隊員組成.三名隊員排好出場順序后，依次出場投籃，且每名隊員只投一次.如果一名隊員投中，則游戲停止；如果這名隊員沒有投中，則派出下一名隊員，直至有隊員投中（闖關成功）或無隊員可派出（闖關失敗）時游戲停止.現有甲、乙、丙三人組隊參加游戲，他們投中的概率分別為、、，且每次每人投中與否相互獨立.（1）若，，，求游戲停止時小隊有人投中的概率；（2）若，現在小隊計劃兩種方案參加游戲.方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后；（ⅰ）若采用方案一，求所需派出人員數目的分布列和期望；（ⅱ）分析采用哪種方案，可使所需派出人員數目的期望更小.【答案】（1）（2）（ⅰ）分布列見解析，；（ⅱ）方案一【解析】【分析】（1）由獨立事件的乘法公式和對立事件的概率公式可得；（2）（i）先求出的分布列，再由期望公式求出期望；（ii）分別求出兩種方案的期望，作差比較大小即可；【小問1詳解】設“停止比賽時小隊有人投中”為事件，則，所以.【小問2詳解】（ⅰ）的所有可能取值為1，2，3，，；所以的分布列為123.（ⅱ）設方案二所需派出人員數目，同理可得，因為，所以，所以，方案一可使所需派出人員數目的期望更小.19.已知雙曲線（，）的兩條漸近線為，且經過點.（1）求雙曲線的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線（兩條直線的斜率都存在）分別交雙曲線于點、和點、，、分別為弦和的中點，直線與軸交于點；過點作兩條互相垂直的直線（兩條直線的斜率都存在）分別交雙曲線于點、和點、，、分別為弦和的中點，直線與軸交于點……；依此類推得到點列，.（ⅰ）求數列的通項公式；（ⅱ）、分別在雙曲線的左支和右支上，且直線經過點，當，時滿足：①直線的傾斜角總是；②點和關于軸對稱.設點的坐標為，數列的前項和為.證明：.【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據給定條件，列式求出即得雙曲線方程.（2）（ⅰ）設出過點的兩條直線方程，