專(zhuān)題11.6角度計(jì)算的綜合大題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了角度計(jì)算的所有類(lèi)

型！

一.解答題（共30小題）

1.（2022?金水區(qū)校級(jí)期末）“三等分一個(gè)任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問(wèn)題.今天人們已

經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的.有人曾利用如圖所示的圖形進(jìn)行探索，其中

A8C￡）是長(zhǎng)方形，尸是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，且/ACG=/AGC,ZGAF

=ZF.請(qǐng)寫(xiě)出NEC8和/AC8的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得NAGC=2/凡從

而得到NACG=2/R根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得再求出

3/F,從而得解.

【解答】解：/ACB=3NECB.

理由如下：在AAG尸中，ZAGC=ZF+ZGAF=2ZF.

'：ZACG=ZAGC,

：.ZACG=2ZF.

'：AD//BC,

：.ZECB=ZF.

：.ZACB=ZACG+ZBCE=3ZF.

故/ACB=3NECB.

2.（2022春?渠縣期末）/MON=90°,點(diǎn)A,B分別在射線。M、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)。

重合）.

（1）如圖①，AE、BE分別是/區(qū)4。和/A8O的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，ZAEB

=135°；

（2）如圖②，若BC是/ABN的平分線，8c的反向延長(zhǎng)線與NO48的平分線交于點(diǎn)D

①若/8AO=60°,則ND=45°；

②隨著點(diǎn)A,B的運(yùn)動(dòng)，ND的大小是否會(huì)變化？如果不變，求/。的度數(shù)；如果變化,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；

(2)①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；

②由①的思路可得結(jié)論.

【解答】解：(1)：直線與直線尸。垂直相交于O,

AZAOB=90°,

：.ZOAB+ZOBA=9G°,

,：AE,BE分別是NBA。和NAB。角的平分線，

11

???ZBAE=-ZOAB,ZABE=-ZABO,

22

：.ZBAE-^ZABE=-(N0A3+NA30)=45°,

2

AZAEB=135°；

故答案為：135；

(2)@VZA0B=9Q°,ZBAO=60°,

???NA5O=30°,

???NA3N=150°,

???3C是NA3N的平分線，

AZOBD=ZCBN=-x150°=75°,

2

??NO平分NA4O,

：.ZDAB=30°,

AZD=180°-ZABD-ABAD-ZAOB=\80°-75°-30°-30°=45

故答案為：45；

②NO的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化，

設(shè)NB4O=a,

,?NO平分NR4O,

???N3AO=2a,

VZAOB=90°,

AZAB?/=180°-ZABO=ZAOB+ZBAO^90+2.a,

平分乙4BN,

/.ZABC=45°+a,

,?ZABC=180°-NABD=ZD+ZBAD,

：.ZD=ZABC-ZBAD=45°+a-a=45°.

3.（2022?永春縣期末）在直角三角板ABC中，NC=90°,ZCAB=ZB=45°,將三角

板的頂點(diǎn)A放置在直線DE1..

（1）如圖，在AB邊上任取一點(diǎn)尸（不同于點(diǎn)A,B）,過(guò)點(diǎn)尸作直線/〃。E,當(dāng)Nl=8

N2時(shí)，求N2的度數(shù)；

（2）將三角板繞頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，并保持點(diǎn)8在直線。E的上方.過(guò)點(diǎn)B作切〃OE（尸在

”的左側(cè)），求ND4c與NFBC之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/2=NBAE,然后根據(jù)平角是180°列出關(guān)于N1

與N2的關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）分三種情況，點(diǎn)C在直線EFZ的上方，點(diǎn)C在直線切與直線DE之間，點(diǎn)C在直

線。E的下方.

【解答】解：（1）,：l//DE,

：.Z2=ZBAE,

?.*Z1+ZCAB+ZBAE^180°,/1=8N2,ZCAB=45°,

A8Z2+45°+Z2=180°,

；.N2=15°,

；./2的度數(shù)為15。；

（2）分三種情況：

當(dāng)點(diǎn)C在直線的上方，如圖：

H

DE

設(shè)AC與切交于點(diǎn)G,

\'FH//DE,

：.ZDAC=ZFGC,

ZFGC=ZC+ZFBC,ZC=90°,

4c=90°+ZFBC,

當(dāng)點(diǎn)C在直線尸H與直線OE之間，如圖:

延長(zhǎng)AC交切于點(diǎn)M,

'：FH//DE,

：.ZDAC=ZHMC,

VZBCA=ZHMC+ZFBC,NBCA=90°,

：.ZDAC+ZFBC=90°,

設(shè)BC與DE交于點(diǎn)N,

'：FH//DE,

：.NFBC=ZDNC,

,?ZDNC=ZC+ZDAC,ZC=90°,

：.ZFBC=90°+ZDAC,

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)C在直線FH的上方，ZDAC=90°+ZFBC,

當(dāng)點(diǎn)C在直線與直線￡>E之間，ZDAC+ZFBC=90°,

當(dāng)點(diǎn)C在直線。E的下方，NFBC=90°+ZDAC.

4.(2022春?亭湖區(qū)校級(jí)期中)平移是一種常見(jiàn)的圖形變換，如圖bAABC經(jīng)過(guò)平移后

得到△ALBIG,連接24,ACi，若區(qū)/平分/ABC,GA平分NAC16，則稱(chēng)這樣的平

移為“平分平移”.

(1)如圖1,△ABC經(jīng)過(guò)“平分平移”后得到△AiBiCi，請(qǐng)問(wèn)AC和4G有怎樣的位置

關(guān)系：平行.

(2)如圖2,在△ABC中，ZABC=90°,ZACB=60°,ZVIBC經(jīng)過(guò)“平分平移”后

得到△431G,求NAOB的度數(shù).

(3)如圖3,在(2)的條件下，2。平分/4BA1，C。平分NAG4,求N2DG的度數(shù).

(4)如圖4,△ABC經(jīng)過(guò)“平分平移”后得到△45G，2。平分/A8A1，GD平分/

ACiAi，若NA4C=a,則4BDCi=45°+-a.(用含a的式子表示)

------------4----

【分析】(1)直接根據(jù)平移的性質(zhì)：平移圖形中對(duì)應(yīng)線段平行或在同直線上，便可直接

得出結(jié)論；

(2)根據(jù)角平分線定義求得NAB。和/AG4,再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得NOAC,根據(jù)

三角形的內(nèi)角和性質(zhì)依次求得/B4C,ZAOB；

(3)連接與延長(zhǎng)。。至E,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)便可得到NBOC、NDBO、Z

DCO、NBDC四角的關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)果；

(4)按照前面的方法依次用a表示NBOC,ZDBO+ZDCO,進(jìn)而運(yùn)用(3)中方法便

可求得N8￡)G.

【解答】解：(1)根據(jù)平移的性質(zhì)知，AC/ZAiCi，

故答案為：平行；

(2)VZABC=90°,4B平分NABC,

ZABO=45°,

由平移知，ZACB=ZAICIB!=60",

：AG平分乙4cl修，

AZACiAi=30°,

由平移知AC//AiCif

.,.ZCACi=ZACiAi=30°,

VZBAC=180°-ZABC-ZACB=3Q°,

AZAOB=180°-ZABO-ZBAO=75°；

(3)連接連接。O,與延長(zhǎng)。。至E,如圖,

：.ZOBD+ZOCxD=^(ZABO+ZAC1A1)=37.5°,

NBOE=ZOBD+ZODB,NCQE=NOCQ+ZODC1,

???ZBOE+ZCiOE=ZOBD+ZODB+ZOCxD+ZODC\,

即ZBOCi=ZOBD+ZOCiD+ZBDCi,

VZBOCi=180°-NAO8=105°,

.*.105°=37.5°+ZBDC1，

：.ZBDCi=67.5°；

(4)VZBAC=a,

ZABC+ZACB=180°-a,

VZACB^ZACiBi，ZCACi=ZACiBi,

JZABO+ZACiAi=ZABO+ZCACi=j(180°-a)=90。一)，

-1-1

ZBOCi=ZABO+ZBAO=90°一權(quán)+a=90。+ja,

???3。平分NABAi，C。平分NAG4，

111

：.ZOBD+ZOCxD=-x(90°--a)=45°--a

224

112

：.ZBDCi=ZBOCi-(NOBD+NOCiD)=90。+ja-(45°一加)=45。+1a.

故答案為：45°+1a.

5.(2022春?如皋市期末)如圖，△ABC中，ZACB=9Q°,8。平分NA8C交△ABC的

邊AC于點(diǎn)。，E為直線AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E向直線AC的右邊作射線ER使EF〃BC,

作/CEF的平分線EG交射線BD于點(diǎn)G.

（1）如圖1,/A8C=40。，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，求/G的度數(shù)；

（2）若NABC=a,

①如圖2,點(diǎn)E在。C的延長(zhǎng)線上，求/G的度數(shù)（用含有a的式子表示）；

②點(diǎn)E在直線AC上滑動(dòng)，當(dāng)存在NG時(shí)，其度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由;

若變化，請(qǐng)直接用含a的式子表示NG的度數(shù).

【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求解;

（2）①利用（1）的結(jié)論求解；

②結(jié)合以上兩問(wèn)得出結(jié)論.

過(guò)點(diǎn)G作GH±AC于點(diǎn)H,

貝ijGH//EF//BC,

:.NHGB=NGBC,

尸的平分線EG,平分NA2C,

：.ZDBC=-ZABC=20°,ZC￡G=-ZMC=45°,

22

所以NG=NHG5+NCEG=200+45°=65°.

A

過(guò)點(diǎn)G作GH±AC于點(diǎn)H,

①由（1）知：NHGB=NGBC=）,/HGE=NGEF=45°,

：

.ZG=ZHGE-ZGBC=45°--2a.

②有變化.

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，由①得：ZG=45°-|a.

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)。上方時(shí)，由（1）得：ZG=45°+|a.

6.（2022春?信陽(yáng)期末）已知：如圖1,在△ABC中，。是A8邊上的高，ZA=ZDCB.

（1）試說(shuō)明/ACB=90°；

（2）如圖2,如果AE是角平分線，AE,CZ）相交于點(diǎn)？那么/CPE與/CEF的大小

相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)高定義求出NCD4=90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/4+/AC。

=90°,再求出答案即可；

（2）根據(jù)角平分線的定義得出NCAE=NA4E,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NCEB=/

DFA,根據(jù)對(duì)頂角相等求出即可.

【解答】（1）解：是AB邊上的高，

：.ZCDA^9Q°,

AZA+ZACD=90°,

:ZA=ZDCB,

：.ZACB=ZACD+ZBCD=ZACD+ZA=90°；

（2）解：NCFE=NCEF,

理由是：平分/CAB,

：.ZCAE=ZBAE,

：/CDA=NBC4=9（r,/Q朋=180°-CZCDA+ZBAE）,ZCEA=180°-（Z

BCA+ZCAEy,

：.ZCEF=ZDFA,

'：ZDFA=ZCFE,

；.NCFE=NCEF.

7.（2022春?鼓樓區(qū)期末）【概念認(rèn)識(shí)】

如圖①,在NABC中，若/48。=/。2E=/防。,則BD,BE叫做NA8C的“三分線”.其

中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”.

【問(wèn)題解決】

(1)如圖②，在△ABC中，ZA=70°,ZB=45°,若48的三分線2。交AC于點(diǎn)Z),

則/85°或100°；

(2)如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是/ABC鄰A2三分線和NAC2鄰AC三分線,

且BP_LCP,求/A的度數(shù)；

【延伸推廣】

(3)如圖④，直線AC、8。交于點(diǎn)。，的三分線所在的直線與NACB的三分線

所在的直線交于點(diǎn)P.若NA=66°,ZB=45°,ZADB=m°,直接寫(xiě)出NQPC的度

數(shù).

【分析】(1)分為兩種情況：當(dāng)8。是“鄰A3三分線”時(shí)，當(dāng)B。是“鄰BC三分線”

時(shí)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可；

(2)求出NPBC+/PCB=90°,根據(jù)BP、CP分別是NABC鄰A8三分線和乙4c8鄰

AC三分線求出NPBC=2/ABC,ZPCB=-ZACB,求出NABC+/AC8=135°,再求

出NA即可；

(3)畫(huà)出符合的所有情況，①當(dāng)DP和CP分別是“鄰AD三分線”、“鄰8c三分線”

時(shí)，②當(dāng)￡>P和CP分別是“鄰A。三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，③當(dāng)。尸和CP分

別是“鄰OD三分線”、“鄰BC三分線”時(shí)，④當(dāng)。尸和CP分別是“鄰。。三分線”、

“鄰AC三分線”時(shí)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出答案即可.

【解答】解：(1)VZABC=45°,BD,8。是NABC的"三分線”，

BC

AZABD=ZDBD'=ZD'BC=-ZABC=-x45°=15°,

33

VZA=70°,

ZBDC=ZA+ZABD=70°+15°=85°或NBOC=NA+NA3D=70°+30°=

100°,

故答案為：85°或100；

(2)如圖③，VBP±CP,

ZBPC=90°,

ZPBC+ZPCB=90°,

?/BP、CP分別是ZABC鄰AB三分線和ZACB鄰AC三分線，

22

/.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

33

.,.-ZABC+-ZACB=90°,

33

/.ZABC+ZACB=135°,

/.ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-135°=45°；

(3)四種情況：

①如圖1,當(dāng)。尸和。尸分別是“鄰AD三分線”、“鄰3C三分線”時(shí)，

ZAOD=ZBOC,

：.ZA+ZADB=ZB+ZACB,

VZA=66°,N3=45°,ZADB=m°,

A66°+m°=45°+ZACB,

AZACB=21°+m°,

AZACP=-ZACB=14°+-m°,

33

ZAED=ZCEP,

：.ZA+ZADE=ZDPC+ZACP,

17

：.66°+-m°=ZDPC+14°+-m°，

33

AZDPC=(52-im)°；

3

②如圖2,當(dāng)DP和CP分別是“鄰A￡＞三分線”、“鄰AC三分線”時(shí),

D

二=c

圖2

111

：,ZADE^-ZADB=-m^,ZACP=-ZACB,

由①知：ZACB=21°+m°,

同理得：66°+|m°=/DPC+V+刎，

AZ￡)PC=59°；

③如圖3,當(dāng)。P和CP分別是“鄰。。三分線”、“鄰8c三分線”時(shí),

圖3

ZADE=-3Z3ADB=-m°,3ZACP=-ZACB,

由①知：ZACB=21°+m°,

同理得：66°+|m°=ZDPC+l4°+|m°，

AZDPC=52°；

④如圖4,當(dāng)。P和CP分別是“鄰。。三分線”、“鄰AC三分線”時(shí),

圖4

771

ZADE=-ZADB=-m°,ZACP=-ZACB,

333

由①知：NACB=21°+m,

同理得：66°+|M=ZDPC+1°+^n°,

：.ZDPC=（59+刎°；

綜上，/QPC的度數(shù)為59°或52°或（52-刎°或（59+刎°.

8.（2022?渦陽(yáng)縣期末）如圖Q）所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起.

(1)若/。CE=25°,則155°；若NACB=130°,則>￡>CE=50

(2)如圖(6)所示，若兩個(gè)同樣的三角板，將60°銳角的頂點(diǎn)A疊放在一起，則

與/CAE有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖(c)所示，已知/AOB=a,ZCOZ)=p(a,p都是銳角).若把它們的頂點(diǎn)

O疊放在一起，則/A。。與N8OC有何數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論.

圖(a)圖⑴圖(c)

【分析】(1)先求出NBC。，再代入/ACBn/ACO+NBC。求出即可；先求出NBCD,

再代入/DCEM/BCE-N8CD求出即可；

(2)根據(jù)ND48=/D4E+/CAE+/CAB求出即可；

(3)根據(jù)/4。￡>=/46^+/<7。8+/8。。求出即可.

【解答】解：(1):NBCE=90°,NDCE=25°,

：.ZBCD=ZBCE-ZDC￡=65°,

VZACD^9Q°,

：.ZACB=ZACD+ZBCD=9Q°+65°=155°；

VZACB=130°,ZACD=90°,

AZBCD=ZACB-ZACD=130°-90°=40°,

VZBC￡=90°,

:.NDCE=NBCE-NBCD=90°-40°=50°,

故答案為：155,50；

(2)ZDAB+ZCAE^120°,

理由如下：

NDAB=ZDAE+ZCAE+ZCAB,

.,.ZDAB+ZCAE

=ZDAE+ZCAE+ZCAB+ZCAE

=ZDAC+ZBAE

=120°；

(3)ZAOD+ZBOC=a+^,理由如下：

ZAOD=ZAOC+ZCOB+ZBOD,

：.ZAOD+ZBOC

ZAOC+ZCOB+ZBOD+ZBOC

=NAOB+NCOD

=a+p.

9.(2022春?豐澤區(qū)期末)已知在△ABC中，ZA,ZABC,NAC8的度數(shù)之比為2：1：6,

C。平分/ACB,在直角三角形。EF中，Z￡=90°,ZF=60°.如圖1,的邊

。下在直線AB上，將△￡)￡/繞點(diǎn)。逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180°),

完成下列問(wèn)題.

(1)在△ABC中，NACB=120°,/BDC=100°；

(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖2,當(dāng)a=10°時(shí)，DE//AC-,當(dāng)a=100°時(shí)，DEL

AC-,

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)C在△。E尸內(nèi)部時(shí)，邊DE,OE分別交8C,AC的延長(zhǎng)線于N,M

兩點(diǎn).

①此時(shí)，a的取值范圍是70。<a<100°；

②NCMD與/CND之間有一種始終保持不變的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出該數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明

理由.

F

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和是180。，再按比例分配進(jìn)行計(jì)算即可;

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；由垂直的定義以及三角形的內(nèi)

角和進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)①根據(jù)“端值”檢測(cè)計(jì)算，即當(dāng)DE與CQ重合時(shí)最小值，當(dāng)DF與CO重合時(shí)最

大值；②連接MN,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)在△ABC中，ZA,ZABC,/AC2的度數(shù)之比為2：1：6,

71

AZBAC=180°x-^=40°,ZABC=180°x—^=20°,ZACB=180°x

2+1+62+1+6

???CO平分NACB

1

AZACD=-ZACB=60°,

2

AZBDC=ZACD+ZA=600+40°=100°,

故答案為：120°,100°；

(2)當(dāng)DE〃AC時(shí)，ZBD￡=ZA=40°,

VZ￡=90°,ZF=60°.

AZ￡DF=180°-90°-60°=30°,

.*.a=40o-30°=10°,

即當(dāng)a=10°時(shí)，DE//AC；

當(dāng)￡>E_LAC時(shí)，即￡>E1與AC成90°的角，

NEDB=90°+NA=130°,

.,.a=130°-30°=100°,

即當(dāng)a=100°時(shí),DE±AC；

故答案為：10,100；

(3)①當(dāng)OE與CO重合時(shí)，a為最小值，

VZBDE=ZA+ZACD=100°,

；.a=100°-30°=70°；

當(dāng)。尸與CO重合時(shí)，a為最大值，此時(shí)a=100°,

.?.70°<a<100°,

故答案為:70°<a<100°；

②NCMD+NCND=90：理由如下：

如圖，連接MN,

VZMCN=ZACB=120°,

：.ZCMN+ZCNM=180°-/MCN=600,

在△OMN中，

NDMN+/DNM=180°-ZMDN=150°,

10.（2022春?大豐區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=140°,ZD=80°.

(1)如圖1,若NB=NC,則NC=70度;

(2)如圖2,若NABC的角平分線BE交。C于點(diǎn)E,>BE//AD,試求出NC的度數(shù)；

(3)①如圖3,若N48C和的角平分線交于點(diǎn)E,試求出NBEC的度數(shù)；

②在①的條件下，若延長(zhǎng)8A、C。交于點(diǎn)尸(如圖4).將原來(lái)?xiàng)l件“NA=140°,ZD

=80°”改為“/F=40°”.其他條件不變.則NBEC的度數(shù)為110°.

【分析】(1)根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360。求出/B+NC的度數(shù)，再除以2即可求解；

(2)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義和四邊形內(nèi)角和即可

求解；

(3)①根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出/ABC+NBC。的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義得到NE2C+

NECB的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解，

②根據(jù)三角形內(nèi)角和及角平分線定義即可求解.

【解答】解：(1):四邊形ABCD中，ZA=140°,Z￡>=80°,

：.ZB+ZC=360°-(140°+80°)=140°,

■：ZB=ZC,

AZC=70°.

(2)'：BE//AD,

：.ZABE+ZA=180°,

：.180°-ZA=180°-140°=40°,

?/ZABC的角平分線BE交DC于點(diǎn)E,

：.ZABC=80°,

：.ZC=360°-(140°+80°+80°)=60°.

(3)①：四邊形A8CD中，ZA=140°,ZD=80°,

.?.ZB+ZC=360°-(140°+80°)=140°,

,//ABC和/BCD的角平分線交于點(diǎn)E,

:.NEBC+NECB=1Q°,

AZBEC=180°-70°=110°.

②：/B=40°,

：.ZFBC+ZBCF=18Q0-40°=140°,

?/NA8C和NBCO的角平分線交于點(diǎn)E,

：.ZEBC+ZECB=10°,

AZB￡C=180°-70°=110°.

11.(2022春?豐澤區(qū)期末)如圖，清晨小明沿著一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周?chē)男÷罚茨鏁r(shí)針?lè)?/p>

向跑步.

(1)小明每從一條街道轉(zhuǎn)下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角是哪個(gè)角，在圖上標(biāo)出；

(2)他每跑一圈，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是多少？

(3)你是怎么得到的？

(4)如果廣場(chǎng)是六邊形、八邊形的形狀，那么還有類(lèi)似的結(jié)論嗎？

【分析】(1)根據(jù)外角的定義即可求解；

(2)(3)根據(jù)多邊形的外角和等于360度即可求解.

【解答】解：(1)小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)是Nl,N2,Z3,

Z4,Z5；

(2)他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是360度；

(3)VZ1+ZBAE^Z2+ZABC=Z3+ZBC￡>=Z4+ZCDE=Z5+ZDEA=180°,

ZBAE+ZABC+ZBCD+ZCDE+ZDEA=(5-2)X180°=540°,

AZl+Z2+Z3+Z4+Z5=5X180°-540°=360°；

(4)如果廣場(chǎng)是六邊形、八邊形的形狀，那么他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和都是

360度.

12.(2022春?井研縣期末)已知在四邊形A8CD中，ZA=x,/C=y,(0°<x<180°,

0°<j<180°).

(1)ZABC+ZADC=360°-x-v(用含x、y的代數(shù)式表示)；

(2)如圖1,若x=y=90°,平分/AOC,8尸平分與/ABC相鄰的外角，請(qǐng)寫(xiě)出

DE與8尸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖2,/￡>四為四邊形ABC。的NABC、N4DC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成

的銳角，

①當(dāng)無(wú)＜y時(shí)，若x+y=140°,ZDFB—3Q°,試求x、y.

②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)NDFB不一定存在，請(qǐng)直接指出尤、y滿足什么條件時(shí)，ZDFB

不存在.

圖1圖2

【分析】（1）利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案即可；

（2）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出即可；

（3）①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出網(wǎng)=》一%=30°,進(jìn)而

得出x,y的值；

②當(dāng)尤=y時(shí)，ZABC./ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行，此時(shí)NDFB不存在.

【解答】解：（1）NABC+NADC=360°-x-y；

故答案為：360°-x-y；

(2)如圖1,延長(zhǎng)OE交3產(chǎn)于G

,.,。石平分乙位)。，BF平分NMBC,

11

ZCDE=-ZADC,ZCBF=-ZCBM,

22

又：/CBM=180°-ZABC=180°-(180°-ZADC)=ZADC,

：.ZCDE=ZCBF,

又；/BED=NCDE+/C=NCBF+NBGE,

：.ZBGE=ZC=90°,

：.DG±BF(即；

(3)①由(1)得：ZCDN+ZCBM=x+y,

,:BF、。f分別平分NCBM、NCDN,

：.ZCDF+ZCBF=|(x+y),

如圖2,連接DB,則NC8Z)+NCr)B=180°-y,

得/FBO+NFr>8=180°-y+|(x+y)=180°-|y+|x,

11

：.ZDFB=-y--x=30°,

2Z2

（x+y=140°

解方程組：h_.=30。'

12，2

解得:「器;

②當(dāng)x=y時(shí)，ZABC,NADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行，此時(shí)ND網(wǎng)不存在.

13.（2022春?長(zhǎng)春期末）如圖1,直線OMLOM垂足為。，三角板的直角頂點(diǎn)C落在/

MON的內(nèi)部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、交于點(diǎn)。和點(diǎn)8.

【片斷一】⑴小孫說(shuō)：由四邊形內(nèi)角和知識(shí)很容易得到N02C+N0DC的值.

如果你是小孫，得到的正確答案應(yīng)是：ZOBC+ZODC=180°.

【片斷二】（2）小悟說(shuō)：連結(jié)8。（如圖2）,若8。平分/OBC,那么BD也平分/OOC.請(qǐng)

你說(shuō)明當(dāng)8。平分/02C時(shí)，BD也平分NOOC的理由.

【片斷三】（3）小空說(shuō)：若。E平分NOOC、BF平分/MBC,我發(fā)現(xiàn)與2尸具有特

殊的位置關(guān)系.請(qǐng)你先在備用圖中補(bǔ)全圖形，再判斷OE與8F有怎樣的位置關(guān)系并說(shuō)明

里由.（圖1）（圖2）（備用圖）

【分析】（1）根據(jù)四邊形的性質(zhì)，可得答案；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可求解;

(3)根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得NC3M=N0DC,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：(1)由四邊形內(nèi)角的性質(zhì)，得NO5C+NO0C=18O°,

故答案為：180；

(2)〈BD平分NOBC,

，NOBD=NCBD,

?：OM【ON,

：.ZDOB=90°,

AZOBD+ZODB=90°,

VZC=90°,

：.ZCBD-^-ZCDB=90o,

：.NODB=NCDB,

：.BD平分NODC；

(3)DE1.BF,

理由：如圖，延長(zhǎng)OE交3月于G,

ZODC+ZOBC=ZCBM+ZOBC=180,

：.ZCBM=ZODCf

-ZCBM=ZEBG=-ZODC=/EDC,

22

■:/BEG=/DEC,

：.4DECSABEG,

：.ZBGE=ZDCE=90°,

：.DELBF.

14.(2022春?無(wú)錫期中)閱讀并解決下列問(wèn)題：

(1)如圖①，△A3C中，ZA=60°,ZABC.NAC5的平分線交于點(diǎn)。，則N5OC=

120°

(2)如圖②，五邊形A5CDE中，AE//BC,EF平分NAED,平分N8CD,若NEDC

=72°,求NER7的度數(shù).

圖①圖②

【分析】(1)首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出/ABC、NACB的度數(shù)和是多少；然

后根據(jù)/ABC、/ACB的平分線交于點(diǎn)￡),求出4D8C、的度數(shù)和是多少；最后

在△BCD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出/BOC的度數(shù)是多少即可.

(2)首先根據(jù)AE〃BC,可得/A+NB=180°,再用五邊形的內(nèi)角和減去180°,求出

NAED、NEDC、NBCZ)的度數(shù)和；然后根據(jù)NEZ)C=70°,求出NAED、/EOC的度

數(shù)和；最后根據(jù)斯平分/AED,CF平分NBCD,求出N/EO、/尸CD的度數(shù)和；再用

四邊形CDE尸的內(nèi)角和減去/FED、NFCD、/即C的度數(shù)和，求出/EFC的度數(shù).

【解答】解：(1)VZA=60°,

AZABC+ZACB^180°-60°=120°,

?/ZABC,ZACB的平分線交于點(diǎn)D,

：.ZABD=ZDBC,ZDCB=ZACD,

：.ZDBC+ZDCB=12O°4-2=60°,

AZBDC=180°-60°=120°,

故答案為：120。；

(2)'：AE//BC,

：.ZA+ZB=180°,

:五邊形ABCDE的內(nèi)角和是540°,

AZAED+ZEDC+ZBCD^540°-180°=360°,

?：ZEDC=12°,

AZAED+ZBCD=360°-72°=288°,

:EF平分/AED,CP平分/BCO,

：.ZFED+ZFCD=28S04-2=144°,

：.ZEFC=360°-(ZFED+ZFCD+ZEDC)=360°-(144°+72°)=144°

15.(2022春?冠縣期末)某同學(xué)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)教材的一個(gè)有趣的問(wèn)題做如下探究：

【習(xí)題回顧】

已知：如圖1,在△ABC中，角平分線B。、C。交于點(diǎn)。.求NBOC的度數(shù).

(1)若NA=40°,請(qǐng)直接寫(xiě)出NBOC=1清；

【變式思考】

(2)若NA=a,請(qǐng)猜想NBOC與a的關(guān)系，并說(shuō)明理由;

【拓展延伸】

(3)已知：如圖2,在△ABC中，角平分線8。、CO交于點(diǎn)O,ODLOB,交邊于

點(diǎn)。，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，作/A8E的平分線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若/尸=0,

猜想/2AC與P的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖1

圖2

【分析】(1)利用三角形內(nèi)角和和角平分線的性質(zhì)，即可求得角度的大小.

(2)將定角換成動(dòng)角，同樣利用三角形內(nèi)角和和角平分線的性質(zhì)，將角之間的關(guān)系表示

出來(lái).

(3)在(2)結(jié)論基礎(chǔ)上，通過(guò)角平分線的性質(zhì)可求證出〃。。，進(jìn)而得出NCO￡)=/P

=仇再由/BAC=2/BOC-180°以及/8。￡>=90°即可證明結(jié)論.

【解答】解：(1)VZA=40°,

AZABC+ZACB=180°-40°=140°,

?角平分線8。、C。分別平分NA2C、ZACB,

:.乙OBC=-/.ABC,/-OCB=-Z.ACB,

22

:.乙OBC+乙OCB=^ABC+^Z.ACB=|+ZXC5)=70°,

在△OBC中，ZBOC=180°-CZOBC+ZOCB)=110°,

故答案為：110.

(2)VZA=a,

：.ZABC+ZACB=180°-/a,

,:BO、CO是角平分線，

1-1

:?乙OBC+乙OCB=^(Z.ABC+^ACB)=90。一;4a,

：.Z.BOC=180°-Z,OBC-Z-OCB=90。+士1Na,

2

(3)NA4C=2p.

理由：由(2)結(jié)論可知：ZBOC=90°+號(hào)”，

：.ZBAC=2ZBOC~180°.

,：0B,8尸分另U平分NABC和/ABE,

ZABO=-ZABC,/ABF=-Z.ABE,

22

i1

：.ZOBF=ZABO+ZABF=-(ZABC+ZABE)=-x180°=90°.

22

'：OD±OB,

：.ZBOD=90°.

■:BF//OD,

：.ZCOD=ZF=^,.

：.ZBOC=ZBOD+ZCOD=90°+p,

'：ZBAC=2ZBOC-180°,

：.ZBAC=2ZBOC-180°=2p.

.?.ZBAC=2p.

16.(2022春?淅川縣期末)［規(guī)律探索］探索三角形的內(nèi)(外)角平分線形成的角的規(guī)律：

在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律.

規(guī)律1：三角形的兩個(gè)內(nèi)角的平分線形成的鈍角等于90°加上第三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的一半；

規(guī)律2：三角形的兩個(gè)外角的平分線形成的銳角等于90。減去與這兩個(gè)外角不相鄰的內(nèi)

角度數(shù)的一半.

［問(wèn)題呈現(xiàn)］如圖①，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點(diǎn)，點(diǎn)M是aABC的外

角平分線與CM的交點(diǎn)，則NP=90°+|ZA,ZM=90°-|ZA.

說(shuō)明/P=90°如下：

,:BP、CP是△ABC的角平分線，

11

AZ1=-ZABC,Z2=-ZABC.

22

ZA+2(Z1+Z2)=180°.................①

???N1+N2=9O°--ZA.

2

1

.?.ZP=180°-(Z1+Z2)=90°+-ZA.

2

請(qǐng)你仔細(xì)閱讀理解上面的說(shuō)理過(guò)程，完成下列問(wèn)題：

(1)上述說(shuō)理過(guò)程中步驟①的依據(jù)是三角形內(nèi)角和等于180°.

(2)結(jié)合圖①，寫(xiě)出說(shuō)明NM=90°—的說(shuō)理過(guò)程.

［拓展延伸］如圖②，點(diǎn)。是△ABC的內(nèi)角平分線8。與△ABC的外角(/AC。)平分線

C。的交點(diǎn).若/A=50°,則/O的大小為25度.

o

【分析】【問(wèn)題呈現(xiàn)］(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答；

(2)根據(jù)角平分線的定義得到N3=：NEBC,Z4=^ZFCB,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理

得到結(jié)論；

【拓展延伸】根據(jù)角平分線的定義得到N1=2/AC。，2=\ZABC,根據(jù)三角形的外角

的性質(zhì)得到NABC=2(Z1-Z2),求得NQ=Nl=/2,推出NA=2

/。，于是得到結(jié)論.

【解答】解：【問(wèn)題呈現(xiàn)】

(1)證明過(guò)程中步驟(2)的依據(jù)是三角形內(nèi)角和等于180°,

故答案為：三角形內(nèi)角和等于180°；

(2),:BM、CM是△ABC的外角平分線，

AZ3=-ZEBC,Z4=-ZFCB,

22

：.ZABC=180°-2Z3,ZACB=180°-2Z4,

ZA+(180°-2Z3)+(180°-2Z4)=180°,

.*.Z3+Z4=90°+-ZA,

2

VZ3+Z4+ZM=180°,

AZM=180°-(90°+-ZA)=90°--ZA；

22

【拓展延伸】

：C。平分/AC。，

1

：.Zl=-ZACD

2f

???3。平分乙4BC,

???N2=-ZABC,

2

ZACD=ZA+ZABC,

：.ZA=ZACD-ZABC=2(Z1-Z2),

???N1=N2+N。，

???NQ=N1=N2,

，NA=2N。，

即NQ=2/A=25,

故答案為：25.

17.（2022?驛城區(qū)校級(jí)期末）在圖1中，已知△ABC中，NB>/C,AO_L8C于。，AE

平分/BAC,ZB=70°,ZC=40°,求/ZME的度數(shù).

（2）在圖2中，ZB=x,ZC=y,其他條件不變，若把“AOL8C于。”改為“尸是AE

__-1

上一點(diǎn)，fD_LBC于。"，試用尤、丫表示/DFE=,（「丫）；

（3）在圖3中，當(dāng)點(diǎn)尸是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立

嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明為什么；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出成立的結(jié)論，并說(shuō)明為什么.

（4）在圖3中，分別作出/和/即尸的角平分線，交于點(diǎn)P,如圖4.試用x、y

表示/P=-（3x-y）.

----4--------------------------

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得/瓦1C的度數(shù)，再利用角平分線的定義得2

ZBAC=|x70°=35°,從而得出答案；

（2）用含x、y代數(shù)式表示/BAC和NAEB即可；

（3）由（2）同理可得；

（4）根據(jù)（180°-%-y）,得/以尸=工（180°-x-y）,從而得

224

出答案.

【解答】解：（1）VZB=70°,ZC=40°,

.?.ZBAC=180°-70°-40°=70°,

?/ABAC的平分線交BC于點(diǎn)E,

：.ZBAE=-ZBAC=-X7O°=35°,

22

在中，ZBAD=90°-70°=20°,

：.ZEAD=ZBAE-ZBAD=35°-20°=15°；

-11

(2)u：ZBAE=-ZBAC=-(180°-x-y),

22y

111

AZAEB=180°-ZB-ZBAE=180°-x--(180°-x-y)=90°--x+-y,

222y

；?/DFE=90°-NAEB=90°-90°+%一勺=±(%-y).

22J2J

故答案為[Cx-y)；

(3)成立，理由如下：

i-1

VZBAE=-ZBAC=-(180°-尤-y),