2024-2025學(xué)年福建省福州市閩侯縣高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分，每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）

1.若集合［={xeZ14x-x2〉o},則滿足NU8={1,2,3,4,5}的集合8的個數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

P：-------SU21

2.已知命題a，命題不等式"+"+14°的解集為0,則p成立是q成立

的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3,“a+c>6+d”是“a>b且c>d”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.不等式b―1什比一2區(qū)3的最小整數(shù)解為（）

0

A.-2B.-1C.D.2

已知3”且2x+V=1,則2》2+16》+3產(chǎn)的最小值為（

5.).

2719

萬

A.7B.C.13D.3

上〉0

6.己知命題?：VxeR，則夕為（）.

XX八

——<0——<0

A.VxGRx-1B.★6R,x-1

上

—<040

—

CVxGR,x-1或％-1=。D.*eR,x1或％—1=°

2

0的圖象可以為

7.若不等式x-c>的解集為2,則函數(shù)》一ex—x—a

-ax+4<0是真命題，則夕的一個必要不充分條件是（）

A.。<5B.a>3C.a<4D.。>4

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.）

9.若關(guān)于％的方程,+（機(jī)—+1=°至多有一個實數(shù)根，則它成立的必要條件可以是（

）

A~1<加<3B—2<加<4Qm<4D

-1<m<2

io.已知正數(shù)無，y滿足x+2y=L則下列說法正確的是（）

1j_

A.孫的最大值為GB.x,40的最小值為3

C.4+5的最大值為2內(nèi)D.xy的最小值為7+2逐

工+上+三+國

11.己知x,y,Z為非零實數(shù)，代數(shù)式W3目乎的值所組成的集合是則下列

判斷正確的是（)

A0MB2GMc-4lMD4\M

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分.）

21,

--1--=1

12.已知“>°力〉0,且。b,則2a+6的最小值是.

13.不等式：2X+4的解為.

14.某班有學(xué)生56人，同時參加了數(shù)學(xué)小組和英語小組的學(xué)生有32人，同時參加了英語小

組和語文小組的學(xué)生有22人，同時參加了數(shù)學(xué)小組和語文小組的學(xué)生有25人.已知該班學(xué)

生每人至少參加了1個小組，則該班學(xué)生中只參加了數(shù)學(xué)小組、英語小組和語文小組中的一

個小組的人數(shù)最多.

四、解答題（本大題共6小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.）

15.已知集合'={"8={N1WX<3},若"x"，是"xeB”的充分不必

要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

16.已知八同一2<、43},八崗"2<、<3"},全集°=R

（1）若。=2,求2n@8）；

（2）若"衛(wèi)8,求實數(shù)a的取值范圍.

17已知x>0,V>0,xy=x+4y+a_

（1）當(dāng)。=12時，求孫的最小值；

412c

x+y-\---1——>m—3m

（2）當(dāng)。=0時，滿足％V恒成立，求加的取值范圍.

18.根據(jù)要求完成下列問題：

（1）要在墻上開一個上半部為半圓形，下部為矩形的窗戶（如圖所示），在窗框為定長的條

件下，要使窗戶能夠透過最多的光線，窗戶應(yīng)設(shè)計成怎樣的尺寸？

(2)如圖所示，鐵路線上48段長100千米，工廠°到鐵路的距離C4為20千米現(xiàn)要在

48上某一點。處向C修一條公路，已知鐵路每噸千米的運費與公路每噸千米的運費之比為

3：5.為了使原料從供應(yīng)站8運到工廠C的運費最少，。點應(yīng)選在何處？

19.已知實數(shù)集人入出，…，％}(〃之3),定義9口)=也”嗎W*.

(1)若/={-2,0』,2},求9⑷；

(2)若()={0「6,-8,-12,12,18,24},求集合出

(3)若/中的元素個數(shù)為9,求的元素個數(shù)的最小值.

2024-2025學(xué)年福建省福州市閩侯縣高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分，每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）

1,若集合'=｛x"4x-x2〉0｝,則滿足=｛1,2,3,4,5｝的集合2的個數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

【正確答案】C

【分析】解不等式求出集合A,再由并集概念求解即可得出結(jié)果.

【詳解】對于集合A,由4x-Y>o解得（）<x<4,

又eZ=EeZ|4x-V〉o｝=｛1,2,3｝

NU8=｛1,2,3,4,5｝

,，

.??滿足條件的集合8可能為｛，｝,｛，，｝,｛，，｝,｛，，｝,｛，，，｝,｛，，，｝,

｛2,3,4,5｝,｛1,2,3,4,5｝,共&個,

故選：C.

a-4八

p:------<0,

2.已知命題a，命題q：不等式辦一+辦+1<0的解集為0,則〃成立是q成立

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】D

【分析】根據(jù)分式不等式以及一元二次解求解°,4為真命題時的范圍，即可結(jié)合邏輯關(guān)系

求解.

/7—4

--<0

【詳解】由a得0<。44,

a>0

<

由不等式辦2+辦+1W0的解集為0,所以a=0或者〔A=/_4a<0,解得0<口<4,

綜上4為真時，0<a<4,

故p成立是4既不充分也不必要條件，

故選：D

3,“a+c>6+d”是“a>方且c>d”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】通過特例說明充分性不成立，根據(jù)不等式的性質(zhì)說明必要性是成立的.

［詳解］可令a=9,c=6,b=d=7,貝滿足a+c>Z>+d,但“a>6且c>d”不成立,

所以“a+c>6+d，，不是"a>b^c>d”的充分條件；

根據(jù)不等式的性質(zhì)：由且c>",可得.a+c>b+d所以“a+c>b+d，，是“a>6且

c>d，，的必要條件.

故選：A

4.不等式—2區(qū)3的最小整數(shù)解為（）

A.一2B.-10D.2

【正確答案】C

【分析】分段去絕對值符號求出X的取值范圍即可得解.

x>2（l<x<2fx<1

<<<

【詳解】原不等式可化為［x—1+x—2V3或［x—l—x+243或［—x+l—x+243

解得°Wx43,所以所求最小整數(shù)解是0.

故選：C

5,已知小1且2x+V=l,則2.+16x+3/的最小值為（）.

2719

A.7B.2c.13D.3

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，求得°C,且2X2+16X+3/=14/+4X+3,結(jié)合二次函數(shù)的性

質(zhì)，即可求解.

【詳解】由2x+y=l,可得y=l-2x,因為可得|2x—10,解得OWxKl,

貝IJ2%2+16x+3/=z2x2+16x+3(1-2x)2=14x2+4x+3

設(shè)/(x)=14x2+4x+3,xe[0,l]

由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得/（“）在xe［°』〕上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)X=°時，函數(shù)/（“）取得最小值，最小值為/（°）=3

即2犬+16》+3丁的最小值為3.

故選：D.

上〉0「

6.已知命題VxeRxT，貝夕為（）.

A.B.3xGR

上W0—<0

GG

C.VxRyx—1或％-1=。D.3xRx—1x—1=0

【正確答案】D

【分析】利用全稱命題的否定求解即可.

【詳解】由全稱命題的否定是特稱命題知:

—<0

原命題的否定為mxeR,x-1或x—l=0.

故選：D

2{X|—1<X<_}_2

7.若不等式狽一x-c>°的解集為2,則函數(shù)y二以一》一”的圖象可以為

)

,2

【分析】由題可得T和2是方程處-％-C=°的兩個根，求出a,c,再根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)即可得出.

1

—2

【詳解】由題可得T和2是方程歐—-%—C二°的兩個根，且。<0,

[2口，解得a=—2,c=—l,

則y=ex-x-a=-x2-x+2=-（x+2）（x-l）

則函數(shù)圖象開□向下，與X軸交于（―

故選：C.

8.已知命題"+4<0是真命題，則P的一個必要不充分條件是（）

A〃<5B〃>3C〃<4D〃>4

【正確答案】B

【分析】分離變量法求出?為真命題時a的取值范圍，再由充分必要條件的概念判斷.

【詳解】因為"*[1'3"一"+4<0,所以當(dāng)工叩目時，1

4I44

x+—>2Jx--=4x=—

因為xVx，當(dāng)且僅當(dāng)X,即x=2時，等號成立，

所以。>4是夕的充要條件，因為a>4na>3,但a>3Na〉4,

所以。>3是夕的一個必要不充分條件，

故選：B

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.）

9.若關(guān)于光的方程『十（機(jī)—1）"+1=°至多有一個實數(shù)根，則它成立的必要條件可以是（

A—1<m<3B-2<m<4Qm<4D.

-1<m<2

【正確答案】BC

【分析】利用一l）x+l=0的判別式A4°,求出加的范圍，再利用必要條件的定義

即可求得.

【詳解】因為方程，+（“—1）"+1=°至多有一個實數(shù)根，

所以方程—+（MT）x+1=°的判別式A4°,

2

gp.（W-1）-4<0；解得一1W場3,

利用必要條件的定義，結(jié)合選項可知，TW策3成立的必要條件可以是選項B和選項c.

故選：BC.

io.已知正數(shù)無，J滿足x+2y=L則下列說法正確的是（）

1j_

A.孫的最大值為§B.丁+4/的最小值為5

]_+3_

C.6+叵的最大值為2GD.xy的最小值為7+2逐

【正確答案】ABD

【分析】利用己知條件、基本不等式逐項判斷可得答案.

【詳解】對于A：vX>0,J>0,x+2y=l.

x=2y]]

<

9_1x=—y=—

當(dāng)且僅當(dāng)+—1,即2,4,取“二"，.?.A正確；

1_￡

222

對于B：x+4y=(x+2y)-4xy=l-4xyf由⑴知町、，「^~~2

x2+4y2=1-4xy>1—=—

22..正正確;

=1+2yjx-2y<l+x+2y=1+1=2

.?.?+而〈及，；.c錯誤

」31/2y2y3Xrc/7

—+—（x+2j）=l+—+—+6=7+—+一>7+2V6

對于D：（X切X>X>,

2y_3x|2j2=3x2

當(dāng)且僅當(dāng)工》,即1x+2〉=l,取“=”，.中正確.

故選：ABD.

工+上+三+國

11.己知x,y,z為非零實數(shù)，代數(shù)式NH目乎的值所組成的集合是M,則下列

判斷正確的是（）

A0i.MB2GMc-41MD41M

【正確答案】CD

【分析】討論的正負(fù)數(shù)分布情況判斷對應(yīng)代數(shù)式的值，即可確定集合進(jìn)而確定正

確的選項.

XvZM-4

【詳解】當(dāng)羽，Z均為負(fù)數(shù)時，國Wlzl町Z.

工+上+二+㈣=0

當(dāng)x/，z兩負(fù)一正時，WH目平；

-±+則=0

當(dāng)x,y,z兩正一負(fù)時，國H目平；

工+上+己+國=4

當(dāng)x/，z均為正數(shù)時，忖H目町Z；

.21/={-4,054）；人、B錯誤,C、D正確.

故選：CD

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分.）

21,

--1--=1

12.已知a>°法>0,且。b,則2a+6的最小值是.

【正確答案】9

【分析】利用不等式乘“1”法即可求解.

-+-=l(a>0,6>0)

【詳解】因為。b

2b_2a

當(dāng)且僅當(dāng)ab,即a=^=3時，等號成立，故所求最小值為9,

故9

13.不等式：2X+4的解為

、1

x2一

【正確答案】3或x<-2

3x—1^03x—1^0

<<

【分析】根據(jù)題意結(jié)合有理數(shù)的除法法則可得〔2、+4〉°或[2x+4<°,再解不等式組即

可.

31_]3%—1203x—1^0]

【詳解】由2》+4一°,得12x+4〉0或12x+4<0,解得3或x<-2,

老工。X/

所以不等式2x+4的解為3或x<-2.

、1

x2一

故3或x<—2

14.某班有學(xué)生56人，同時參加了數(shù)學(xué)小組和英語小組的學(xué)生有32人，同時參加了英語小

組和語文小組的學(xué)生有22人，同時參加了數(shù)學(xué)小組和語文小組的學(xué)生有25人.已知該班學(xué)

生每人至少參加了1個小組，則該班學(xué)生中只參加了數(shù)學(xué)小組、英語小組和語文小組中的一

個小組的人數(shù)最多.

【正確答案】21

【分析】設(shè)該班學(xué)生中同時參加了數(shù)學(xué)小組、英語小組和語文小組的人數(shù)為無，只參加其中

一個小組的人數(shù)為歹，根據(jù)題意列出方程，由龍的最大值求y的最大值.

【詳解】如圖，設(shè)該班學(xué)生中同時參加三個小組的人數(shù)為%,只參加其中一個小組的人數(shù)為

y,

貝5］（32-x）+（25-x）+（22~x^+x+y=56即y=2x-23

因為x<22,所以ym21.

所以只參加其中一個小組的人數(shù)最多為21.

故21.

四、解答題（本大題共6小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.）

15.已知集合'={*"IC},8={N1WX<3},若“xeN”是“xeB”的充分不必

要條件，求實數(shù)°的取值范圍.

【正確答案】［23］

【分析】依題意，集合”是集合2的真子集，由集合的包含關(guān)系求實數(shù)口的取值范圍.

【詳解】因為“xe4”是“xe8”的充分不必要條件，所以集合/是集合8的真子集，

a-l>l

<

即"3，解得2<a<3,經(jīng)檢驗滿足題意，

所以實數(shù)。的取值范圍是［23］.

16.已知八同一2。43},B=^\a-2<x<3a}j全集°=R

（1）若。=2,求“°”）；

（2）若“衛(wèi)8,求實數(shù)a的取值范圍.

【正確答案】（1）JIIJ

(-oo-l]o[0,l]

(2)?

【分析】（1）根據(jù)交集與補(bǔ)集的運算求解即可；

（2）分8=0與8*0由條件列不等式求范圍即可.

【小問1詳解】

當(dāng)々=2時，3={R0<X<6},

所以”={巾<0或x26},又N={x|-2W},

所以Zc（d5）={x]—2<x<。}

【小問2詳解】

由題可得：當(dāng)3=0時，有"223a,

解得°的取值范圍為（一0°'T]；

Q-2<3Q

<a-2>-2

當(dāng)8W0時有13"“3，解得°的取值范圍為[°』],

綜上所述a的取值范圍為（一叫一1]3°11

17.已知》>0,歹>°,盯=x+4y+a.

（1）當(dāng)a=12時，求孫的最小值；

412c

x+yH---1——>m-3m

（2）當(dāng)a=°時，滿足xy恒成立，求m的取值范圍.

【正確答案】⑴36（2）12,5]

【分析】（1）利用基本不等式得到中22國+12,再利用換元法與二次不等式的解法即可

得解；

（2）利用代入法將不等式左式問題轉(zhuǎn)化為x+V+1,從而利用基本不等式“1”的妙用求得不

等式左式的最小值，進(jìn)而得到關(guān)于加的不等式，由此得解.

【小問1詳解】

y〉o,...當(dāng)a=]2時，xy=x+4y+a=x+4y+12>2y/4xy+12

當(dāng)且僅當(dāng)x=4y時等號成立,

令弧=t,得4—1220,解得:t<-2（舍去）或此6,

二再“6,解得町之36,當(dāng)且僅當(dāng)x=12/=3時等號成立,

■,-中的最小值是36；

【小問2詳解】

41x+4y1

x+jH---1——=x+y-{---------=x+y+l

當(dāng)Q=0時，孫=X+4>+Q=X+4),可得xyxy

—I—二I

由孫=x+4y得xy

__x+y+-+—=(x+y)f-+—>1+1=—+—+6>2/—-—+6=10

又二；^。，y>0,xyVxyjxy\xy

竺=2

<xy[x=6

<

當(dāng)且僅當(dāng)〔孫=“+4y,即3=3時等號成立.

41

x+y-i----1--

二當(dāng)。=°時，求%》的最小值是10.

則有小—3M410,解得—2<機(jī)45,即加的取值范圍為卜2,句.

18.根據(jù)要求完成下列問題：

（1）要在墻上開一個上半部為半圓形，下部為矩形的窗戶（如圖所示），在窗框為定長的條

件下，要使窗戶能夠透過最多的光線，窗戶應(yīng)設(shè)計成怎樣的尺寸？

（2）如圖所示，鐵路線上28段長10°千米，工廠°到鐵路的距離C4為2。千米.現(xiàn)要在

48上某一點D處向C修一條公路，已知鐵路每噸千米的運費與公路每噸千米的運費之比為

3：5.為了使原料從供應(yīng)站8運到工廠C的運費最少，。點應(yīng)選在何處？

【正確答案】（1）答案見解析

（2）距A點15千米處

【分析】（1）依題意，結(jié)合圖形，求出窗框的寬V關(guān)于長龍的關(guān)系式，繼而求得窗框的面積

表達(dá)式，利用二次函數(shù)的圖象即可求得S的最大值；

（2）經(jīng)分析，判斷點力在線段48上某一適當(dāng)位置，設(shè)鐵路噸千米運費3a,公

t_y-300a

路噸千米運費"，將從2到0的總費用了表示成龍的函數(shù)式，設(shè)a,利用根的

判別式非負(fù)求得/的最小值，從而得到對應(yīng)的x的值，即可.

【小問1詳解】

Lr=X+2cj+—17LX

設(shè)矩形窗框的長為X,寬為V,則窗框的定長為2,

L11

y-------x—Tix

「224,（x>0）,則窗框的面積為：

兀、兀/兀、

80=X-V+—171-（—）=XVx2=x-/（￡-----1-X——1兀X2=_（一+一1口2H--￡---X

2282248822,

L

22L

1%=------=-------/

-（-+-）<0工+171+4y=—

因82，當(dāng)4時，窗框的面積S取得最大值，此時兀+4,

即當(dāng)》=2'時，窗戶能夠透過最多的光線；

【小問2詳解】

由題意可知單位距離的公路運費大于鐵路運費，由圖知，忸,卜口。區(qū)Ha+Hq,

則只有點。選在線段4B上某一適當(dāng)位置，才能使總運費最省.

設(shè)|/D|=x（千米），鐵路噸千米運費3a,公路噸千米運費"，從3到0的總費用為歹，

則依題意得J=%(100-x)+5〃，40°+[2^^=5^7-3X

XG(0,100)即Q

_y-300。________

令a,則有‘+3》=5,40°+》2,兩邊同