幾何綜合壓軸題

（3題型+7類型+解題模板+技巧精講）

目錄

?題型剖析?精準提分

題型一線段最值問題

①動點路徑問題

②‘胡不歸”問題

③，將軍飲馬”問題

④''造橋選址"問題

題型二：面積平分問題

題型三面積最值問題

好題必刷?強化落實

?題型剖析?精準提分

幾何綜合

題型一線段最值問題題型二面積平分問題

①動點路徑問題①三角形

②"胡不歸"問題②不規則圖形

③"將軍飲馬"問題

④"造橋選址”問題題型三面積最值問題

題型解讀：下圖為二次函數圖象性質與幾何問題中各題型的

考查熱度.

幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題

的形式出現，考查難度較大.此類問題在中考中幾何綜合

多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問;100%

80%

題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似1

60%

三角形、圓、銳角三角函數、勾股定理、圖形變

40%

換的性質和二次函數的最值等相關知識，以及分I20%

類討論、數形結合、轉化與化歸等數學思想.此0%

題型一題型二題型三

類題型常涉及以下問題：①幾何圖形中的線段最

值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形

面積的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型

的考查熱度.

題型一線段最值問題

『芬奧「①茄藕荏問題W/胡布印丁而鹿⑨瓦海軍飲耳;,一面蘸p,遹橋還圣;向題

解題模板:

①動點路徑問題

【例1】（山東濟寧-中考真題）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題.

（1）閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體23CD-48'C'Z）'（圖1）.因為在平面44'C'C中，CC'〃/H,44'與AB相交于點4所以直

線N8與44'所成的ZBAA就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC所成的角.

解決問題

如圖1,已知正方體NBCD-HB'C'D',求既不相交也不平行的兩條直線8H與/C所成角的大小.

（2）如圖2,M,N是正方體相鄰兩個面上的點.

①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是」

②在所選正確展開圖中，若點M到N2,3C的距離分別是2和5,點N到8。，的距離分別是4和3,

P是48上一動點，求PM+PN的最小值.

【變式IT】(山東日照-中考真題)如圖，RtA48C中，NC=90。，以45為邊在N8上方作正方形

過點。作。尸1C3,交C3的延長線于點尸，連接BE.

(1)求證：AABC=ABDF；

(2)P,N分別為/C,BE上的動點，連接NN,PN,若DF=5,AC=9,求NN+PN的最小值.

【變式1-2】(江蘇連云港-中考真題)如圖，四邊形N3CD為平行四邊形，延長/。到點E,使DE二AD,

且BELOC.

AL---------------3

(1)求證：四邊形。BCE為菱形；

(2)若△ZJ8C是邊長為2的等邊三角形，點P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運動，求尸M+PN的

最小值.

【變式「3】(2023-四川自貢-中考真題)如圖1,一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M,N分別

是斜邊DE,48的中點，DE=2,AB=4.

EB

圖1圖2

⑴將繞頂點C旋轉一周，請直接寫出點N距離的最大值和最小值;

(2)將ACDE繞頂點C逆時針旋轉120。(如圖2),求的長.

②“胡不歸”問題

【例2】(2023-江蘇泰州-三模)如圖，已知RtZ\/8C中，ZC=90°,AC=6,AB=9,E是4B上的一點,

BE=5,點。是線段3c上的一個動點，沿/。折疊ANCD,點C與C'重合，連接3C'.

⑴求證：AAEC's公ac'B；

2

(2)若點尸是3C上一點，且BF=M,求尸C'+18C'的最小值.

【變式2-1](2023-廣東廣州-二模)如圖①，在四邊形/BCD中，AB=BC=AD,ZABC=90°,

ABAD=60°.

(1)求//CD的度數;

(2)如圖②，尸為線段。。的中點，連接BF,求證：2BF=CD+GAB;

(3)如圖③，若。2=1/8=2,線段8c上有一動點連接。“，將A。8M沿。河所在直線翻折至AOPM

的位置，P為3的對應點，連接力，PC,請直接寫出4PC+/M的最小值.

【變式2-2](2023-廣東廣州-二模)如圖，菱形"3CD中，44=60。，AB=4,點、E、尸分別為線段C。、

8。上的動點，點G為邊4B的中點，連接E尸，FG.

(1)求AD的長；

(2)連接3E,若NCEB=2/DEF,求證：EB=CE+DF■,

(3)若CE=y[3BF,試求EF+6FG的最小值.

【變式2-3】（廣東廣州-中考真題）如圖，在菱形N5CD中，乙BAD=120。,AB=6,連接2。.

⑴求aD的長；

(2)點E為線段8。上一動點(不與點3,。重合)，點尸在邊/。上，且BE=eDF,

①當CE_L/5時，求四邊形4BE尸的面積；

②當四邊形斯的面積取得最小值時，CE+GCF的值是否也最小？如果是，求CE+后CF的最小值；如

果不是，請說明理由.

③“將軍飲馬”問題

【例3】【變式3-1］（23-24九年級上-黑龍江大慶-期中）如圖，以矩形0/8C的頂點。為原點，"所在的

直線為x軸，℃所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系.已知°/=3,℃=2,點E是的中點，在。4

上取一點。，將△瓦M沿瓦）翻折，使點A落在8C邊上的點尸處.

（1）直接寫出點E、尸的坐標;

（2）連接E尸交8。于點G,求△BGE的面積.

⑶在x軸、V軸上是否分別存在點"、N,使得四邊形芯的周長最小？如果存在，求出周長的最小值

和直線血W的函數解析式；如果不存在，請說明理由.

【變式3-21（天津西青-一模）如圖①,將一個矩形紙片OABC放置在平面直角坐標系中，點A的坐標是（3,0）,

點C的坐標是（0,2）,點。的坐標是（0,0）,點石是4B的中點，在CM上取一點。，將沿2。翻折,

使點A落在8c邊上的點尸處.

（2）如圖②，若點尸是線段N上的一個動點（點P不與點A重合），過點尸作7WLD8于點”，設O尸

的長為x,的面積為S,請求出S關于x的關系式；

（3）如圖③，在x軸、V軸上是否分別存在點"、N,使得四邊形MVFE的周長最小？若存在，請求出

四邊形ACVFE周長的最小值及此時點M、N的坐標；若不存在，請說明理由

【變式3-3】（陜西寶雞）問題提出

(1)在圖1中作出點3關于直線/C的對稱點皮

問題探究

(2)如圖2,在“8C中，AB=AC=6,ZBAC=\20°,。為/C的中點，尸為線段8C上一點，求AP+DP

的最小值.

問題解決

(3)如圖3,四邊形48CD為小區綠化區，DA=DC,ZADC=90°,AB=6+6拒,BC=12,48=30。,

北是以。為圓心，D4為半徑的圓弧.現在規劃在就，邊2c和邊NC上分別取一點P,E,F,使得

DP+PE+EF+PF為這一區域小路，求小路長度的最小值.

圖1圖2圖3

④“造橋選址”問題

【例4】(23-全國)有一條以互相平行的直線。，6為岸的河流，其兩側有村莊A和村莊8,現在要在河上建

一座橋梁九W（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來看，正確的是（）

【變式4-1】（湖北黃石）已知，在河的兩岸有A,B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離

AB=10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸,

M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為（）

A.25B.1+375C.3+737D.V85

【變式4-2］（23-24全國）如圖所示，某條護城河在CC'處角轉彎，河寬相同，從A處到達B處，須經過兩

座橋（橋寬不計，橋與河垂直），設護城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當地造橋可使A到8的路

程最短，請確定兩座橋的位置.

【變式4-3】已知，在河的兩岸有8兩個村莊，河寬為1千米，/、8兩村莊的直線距離/8=10千米,

/、3兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋垂直于兩岸，”點為靠近/

村莊的河岸上一點，求/M+5N的最小值.

題型二：面積平分問題

解題模板:

根據條件判獻物斤屬的面積平分模型

利用曙技巧構造面積平分線

分析幾何栩正并根據贓關系列式計算

技巧精講

1:利用中線平分圖形面積的方法

類別問題情境圖示作法

二

過△ABC的頂點力作一條直線，平

過點A作AABC的中線4a直線40即為所求直線

分三角形的面積

BIDC

三角形

A

過△48C的AC邊上的點F作一條過點A作△ABC的中線AE,連接EF,^AD//EF,

直線，平分三角形的面積連接0F,直線DF即為所求直線

B/DEC

u連接4C,過點。作。E〃AC交BC的延長線于點

過四邊形ABCD的頂點A作一條直

E,連接4E,過點4作aABE的中線4P,直線4P即

線，平分四邊形的面積

BP\CE為所求直線

“不規則”

多邊形連接PB,PC,過點A作AE//PB交BC的反向延長

過四邊形ABCD的AD邊上的點P線于點E,過點D作DF"PC交BC的延長線于點

作一條直線，平分四邊形的面積F,連接PE,PF,過點P作APEF的中線PM,直線

EB町CF

PM即為所求直線

2.利用對稱性平分圖形面積的方法

類別問題情境圖示作法

過正五邊形ABCDE的頂點A作一過點A作正五邊形的對稱軸4F,直線AF即為所求

軸對稱圖形

條直線，平分正五邊形的面積直線

CIFD

過口ABCD的AD邊上的點E作一連接AC,BD,交點為0,連接E。并延長與BC交于

中心對稱圖形

條直線，平分043CZ）的面積土點3直線￡尸即為所求直線

B/FC

AG

延長GF交BD于點C,連接4c,8G,交點為M；連

任意作一條直線，平分組合圖形的E

組合圖形接CE,DF,交點為N,連接MN,直線MN即為所求

面積嚴

BCD直線

【例5】（三角形或規則圖形）（2023■■湖南益陽-中考真題）如圖，在RQ/8C中，AACB=9Q°,AC>BC,

點D在邊4c上，將線段繞點。按順時針方向旋轉90。得到DH,線段。H交48于點E,作

于點凡與線段4C交于點G,連接尸CG5.

（1）求證：△4DE附△4DG；

（2）求證：AF-GB=AG-FC；

（3）若/C=8,tan/=g,當4G平分四邊形。C8E的面積時，求的長.

【變式5-1］（2023-江蘇鹽城-二模）（1）【問題探究】如圖①，點2,C分別在/N上，4W=12米,

/N=20米，/3=2米，8c=2.6米，/C=1.2米.

①探究"BC與AAMN是否相似并說明理由；

②求MN的長.

(2)【問題解決】如圖②，四邊形/CBD規劃為園林綠化區，對角線將整個四邊形分成面積相等的兩部

分，已知/2=60米，四邊形的面積為2400平方米，為了更好地美化環境，政府計劃在2C,/C邊上

分別確定點￡,F,在N3邊上確定點尸，Q,使四邊形瓦切。為矩形，在矩形￡尸尸0內種植花卉，在四邊形

NC5D剩余區域種植草坪，為了方便市民觀賞，計劃在尸。之間修一條小路，并使得尸。最短，根據設計要

求，求出廠。的最小值，并求出當尸。最小時，花卉種植區域的面積.

圖①圖②

【變式5-2](2023-陜西西安-二模)【問題探究】

⑴如圖1,已知“BC,點。是4c的中點,連接4D,則S,ACD（填“>”“〈”或“=”）

（2）如圖2,在梯形23C。中，AD//BC,請過點/作一條直線4P平分梯形230的面積，點P是4尸

與的交點，并說明理由；

【問題解決】

（3）如圖3是某公園的一塊空地，由和四邊形8CDE組成，/B4E=/C=90。,BE//CD,

4

AB=AE=32^i,BC=BE,XanD=~,公園管理人員現準備過點N修一條筆直的小路4M（小路面積忽

略不計），將這塊空地分成面積相等的兩部分（點〃在CD邊上），分別種植兩種不同的花卉，請在圖中確

定點”的位置，并計算小路的長.（結果保留根號）

【變式5-3］（2023-陜西西安-三模）問題提出:

(1)如圖1,AD是“8C的中線，則有SA⑺0S枷B填“<”、""或"=

問題探究：

(2)如圖2,點Af是矩形48co內一點，48=6,BC=3,點A與坐標原點。重合，AB、40分別位于X、

3

7軸正半軸，M(-,1),是否存在直線/經過點”且將矩形/BCD分成面積相等的兩部分，若存在，請求

出直線/的解析式：如不存在，請說明理由.

問題解決:

(3)如圖3,長方形0/8C是西安某學校在疫情期間為學生核酸檢測圍成的一個工作區域，頂點A,C在坐標

軸上，記。為坐標原點，頂點2(20,12),原有的一個出入口。在邊OC上，且CD=4米.為使工作高效

有序，現計劃在邊N3,0A,上依次再設出入口E,G,H,沿DE,G"拉兩道警戒線將工作區域分

成面積相等的四部分.請問，是否存在滿足上述條件的點E,H,G,如存在，請求出點E的坐標及GH

的函數表達式，如不存在，請說明理由.

【典例6】(如圖，長方形/BCD各頂點的坐標分別為Z。,2)、3(3,4)、C(4,3)、￡>(2,1),長方形EFGH

各頂點的坐標分別為￡（2,5）、尸（5,8）、G（7,6）、“（4,3）.平移長方形/3CZ）得到長方形/EC。，且點"

的坐標為（7,8）.

（1）畫出長方形45'。。'.

（2）如果長方形/8CO沿HfG的方向平移，至/。與尸G重合停止，設平移過程中平移的距離為"，長方形

/BCD與長方形EFG"重疊的面積為S,請直接寫出平移過程中S的最大值；此時d的取值范圍為

（3）畫出一條直線把原圖長方形ABCD與長方形EFGH組成的復合圖形分成面積相等的兩部分.

【變式6-1】【問題提出】

（1）如圖①，點。為。BC的邊/C的中點，連接8。，若△48。的面積為3,則“BC的面積為

【問題探究】

（2）如圖②，在平面直角坐標系中，點/在第一象限，連接作481x軸于點8,若AB=2OB,

。/=2右，過點3的直線/將分成面積相等的兩部分，求直線/的函數表達式；

【問題解決】

（3）如圖③，在平面直角坐標系中，四邊形CM8C是某市將要籌建的高新技術開發區用地示意圖，其中。

為坐標原點，4（24,7）,B（28,4）,C（25,0）,為了方便駐區單位，計劃過點。修一條筆直的道路4（路寬不

計），并且使直線4將四邊形分成面積相等的兩部分，記直線4與N8所在直線的交點為。，再過點/

修一條筆直的道路4（路寬不計），并且使直線4將△3。分成面積相等的兩部分，你認為直線4和4是否

存在？若存在，請求出直線4和人的函數表達式；若不存在，請說明理由.

【變式6-2］如圖，在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸上、V軸上，CB〃OA,OA=10,若點3的

坐標為(加，")，且(加-6)2+y/n-6=0.

(1)求點A、B、C的坐標；

(2)若動點尸從原點。出發沿x軸正半軸以每秒1個單位長度的速度向右運動，設點P運動的時間為/秒，求f

為何值時，直線PC把四邊形。/3C分成面積為3：5的兩部分；

(3)在⑵的條件下，當直線PC把四邊形0/2C分成面積相等的兩部分時，在y軸上找一點。，連接尸。，使

三角形"0的面積與四邊形OABC的面積相等，求點Q的坐標.

題型三面積最值問題

解題模板:

根據條件判斷該題所屬的面積最值求解類型

判斷類型

利用面積最值求解方法構造相關輔助線

分析幾何特征并根據數量關系列式計算

列式計算

【例7】（2023.山東濰坊-中考真題）工匠師傅準備從六邊形的鐵皮”BCD斯中，裁出一塊矩形鐵皮制作工

件，如圖所示.經測量，AB//DE,與。E之間的距離為2米，北=3米，AF=BC=\^z,

N4=NB=90°,ZC=ZF=135°.MH,H3,GN是工匠師傅畫出的裁剪虛線.當Affl■的長度為多少時,

矩形鐵皮"NG〃的面積最大，最大面積是多少？

【變式7-1］（2023-山東濱州-中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形CM8C的一邊OC在x軸正半軸

上，頂點A的坐標為（2,26），點。是邊0c上的動點，過點。作DE_L03交邊0/于點E,作。P〃02交

邊3c于點尸，連接EF.設。。=的面積為S.

(1)求s關于X的函數解析式；

(2)當x取何值時，S的值最大？請求出最大值.

【變式7-2](2023-遼寧阜新-中考真題)如圖，在正方形/BCD中，線段繞點C逆時針旋轉到C￡處,

旋轉角為點尸在直線DE上，且4尸，連接8尸.

ADAD

(1)如圖1,當0。<。<90。時，

①求NA477的大小(用含二的式子表示).

②求證：EF=y/2BF.

(2)如圖2,取線段E方的中點G,連接4G,已知48=2,請直接寫出在線段CE旋轉過程中

(00<c^<3600)△4DG面積的最大值.

【變式7-3](2023-湖北武漢-模擬預測)問題提出如圖(1),在。中，AD1BC,CEJAB,連接DE,

DE

探九就?

問題探究

DF

(1)先將問題特殊化.如圖(2),當40=8。時,求隼的值.

AC

DF

(2)再探究一般情形.如圖(1),當=“2。時，求答的值;

ACx

問題拓展

如圖（3）,在△/￡＞（7中，ADLCD,ND=CD=2,尸是△/￡）（?內一點，DP=\,CE交AD于F,當KDE

的面積最大時，求沁的值.

好題必刷?強化落實

一、解答題

1.在矩形48CD中，AB=2,4)=26，點E在邊BC上，將射線/E繞點A逆時針旋轉90。，交CD延長

線于點G,以線段NE,4G為鄰邊作矩形月EFG.

圖1圖2圖3

求aSC的度數和咎的值;

(1)如圖1,連接3。,

BE

(2)如圖2,當點尸在射線8。上時，求線段BE的長;

(3)如圖3,當E4=EC時，在平面內有一動點尸，滿足尸E=E尸，連接尸區,PC,求P2+PC的最小值.

2.如圖，在RtA/8C中，/C=8C=3及，點。在邊上，連接CD,將。繞點C逆時針旋轉90。得到

CE,連接BE,DE.

c

E

(1)求證：ACADACBE；

⑵若4D=2時，求CE的長；

(3)點。在4B上運動時，試探究ACP+BA?的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在,

請說明理由.

3.某數學小組在一次數學探究活動過程中，經歷了如下過程:

;口

問題提出：如圖，正方形N3CZ)中，AB=8,P為對角線/C上的一個動點,以尸為直角頂點，向右作等腰

直角4DPM.

(1)操作發現：的最小值為_______,最大值為_______;

(2)數學思考：求證：點”在射線8c上；

(3)拓展應用：當CP=CA/時，求CM的長.

4.如圖，正方形/BCD是邊長為4米的一塊板材.

操作一：現需從中裁出一個等腰直角△。尸0模具，點P在邊2C上，。在正方形/BCD的內部或邊上.

(1)如圖，若"PQ=90。，3尸=3米，是否能裁出符合條件的SP。？若能，確定。的位置；若不能，請

說明理由.

(2)如圖，連接/C,在對角線/C上取點。，連接。。，過點。作交邊8C于尸，連接。。，得到

△。尸。.請證明ADP。符合裁剪要求.

操作二：經探究，操作一的模具大小至多為正方形面積的一半，現修改模具形狀為四邊形，并按面積要求

進行裁剪.即在正方形N8CD中重新裁出的一個四邊形模具，點尸、。分別在邊BC、4B上.

(3)如圖，若需裁出的四邊形。尸8。面積為10平方米，請探究模具四邊形。尸2。周長的最小值.

5.問題提出

(1)如圖1,已知點C為線段8。上一動點，分別過點8,。作/8，區0,ED_L8。，連接/C,EC.若4B=4,

DE=2,BD=U,則/C+CE的最小值為二

問題解決

(2)如圖2,某公園規劃修建一塊形如四邊形48。的牡丹園，其中/O〃5C,乙4=90。,ZC=60°,

/0=300m,BC=CD,△5CD的內心。處修建一個圓形噴水池，公園的入口E是AD的中點，BE是一條

觀賞小道，其余部分種植牡丹，現需要在工8邊上取點尸，3E上找點修建道路ERFM,OM.為了

節省成本，需要使修建的道路最短，即跳'+尸M+的值最小，是否存在這樣的點尸，M,使得

++的值最小？若存在，請求出其最小值；若不存在，請說明理由.

6.如圖，在“8C中，是8c邊上的中線，點￡是4D的中點.過點/作月尸〃8c交BE的延長線于點

F,連接CF.

(1)求證："EFaDEB；

(2)若/A4c=90。，試判斷四邊形/OCF的形狀，并證明你的結論；

⑶在(2)的情況下，如果/。=2,N4DC=90。，點M在/C線段上移動，當MB+MD有最小值時，求/〃

的長度.

7.如圖1,已知。8C和均為等腰直角三角形，AC=BC,CD=CE,NACB=NDCE=90。，點、D

在線段/C上，點尸為48中點，點〃為BE中點，點N為4D中點.

⑴如圖1,ZFMN=,和MN之間的數量關系是；

⑵如圖2,ADCE繞點C順時針旋轉，點G為DE中點，求證：四邊形FA/GN為正方形；

(3)如圖3,若AB=4亞,CE=2,在將AOCE繞點C順時針旋轉360。過程中，直線3。，AE交于點、H,

直接寫出面積的最小值.

8.綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數學活動.

(1)操作判斷

操作：如圖1,點￡是邊長為12的正方形紙片43CD的邊所在的射線上一動點，將正方形沿著CE折疊,

點。落在點尸處，把紙片展平，射線交射線AB于點尸.

判斷：根據以上操作，圖1中/尸與￡尸的數量關系：.

(2)遷移探究

在(1)條件下，若點￡是/。的中點，如圖2,延長CF交于點。，點0的位置是否確定？如果確定,

求出線段8。的長度，如果不確定，說明理由；

(3)拓展應用

在(1)條件下，如圖3,CE,DF交于點、G,取CG的中點"連接8〃，求8H的最小值.

9.問題背景

(1)如圖1,四邊形/BCD中，AC,BD交于點E,其中A/BESAQCE,求證：A4DEs^BCE.

(2)嘗試應用：如圖2,“8C中，AC=BC,//C2=90。，點。是血的中點，點E,尸是上兩點，AE

3EF

交。少于點G,若NEG尸=45°,tana=-,求——的值.

5BE

(3)遷移拓展：如圖3,03c中，BC=M，N8/C=45。，點。是/C上一點，AB=?CD，直接寫出線

段長度的最小值.

10.已知拋物線G：y=ax1-2ax+a+\[a^Q),且過點14,-：

（1）求拋物線G的函數表達式及其頂點坐標/；

⑵若拋物線G上兩點〃■&,/）,N（%,%）滿足：對于+七23時，均有必2%成立，求出f的取

值范圍；

⑶直線/：>=Gx+l經過8（