2023-2024學年山西省運城市芮城縣八年級（下）期中數學試卷一、選擇題（共10個小題，每小題3分，共30分..）1．若x＞y，則下列不等式成立的是（）A．x+3＜y+3 B．3x＜3y C．﹣3x＞﹣3y D．﹣x+2＜﹣y+22．下列手機應用圖標是中心對稱圖形的是A． B． C． D．3．將不等式和的解集在同一數軸上表示正確的是A． B． C． D．4．到三角形三條邊距離相等的點是此三角形A．三條角平分線的交點 B．三條中線的交點 C．三條高的交點 D．三邊垂直平分線的交點5．不等式的正整數解的個數A．1 B．2 C．3 D．46．用反證法證明命題“三角形中一定有一個內角小于或等于”時，應先作出的假設是A．有一個內角大于 B．有一個內角小于 C．每個內角都大于 D．每個內角都小于7．為了激發學生學習數學的積極性，某校舉行了主題為“學數學、用數學、愛數學”的知識競賽活動，共20道題，答對一題得5分，答錯或不答扣2分，大賽規定總分不低于80分獲獎，亮亮想獲獎，至少答對道題．A．15 B．16 C．17 D．188．如圖，在△中，，，，將△繞點順時針旋轉至△處，點恰好在邊上，連接，則的長度是A． B． C．5 D．9．如圖，已知△，，，垂直平分，則△的周長等于A．4 B．6 C． D．10．一次函數與的圖象如圖所示，則不等式組的解集是A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．點P（3，﹣4）向上平移2個單位長度，再向左平移4個單位長度得到點Q，則點Q的坐標為．12．某品牌護眼儀進價200元，標價320元出售，商店規定可以打折銷售，但其利潤率不能低于，那么這種商品最多可以打折．13．如圖，將△繞點逆時針旋轉，得到△，若點的對應點落在線段的延長線上，則的度數為．14．如圖，在△中，，，將△沿所在直線向左平移1個單位長度得到△，交于點，則圖中陰影部分面積是．15．如圖，已知△，，，于點，平分，交于，則長為．三、解答題（本大題共8小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．計算（1）下面是小亮同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：第一步第二步第三步第四步第五步任務一：填空：①以上解題過程中第二步是依據（運算律）進行變形的；②第步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是．任務二：請直接寫出該不等式的正確解集：．任務三：除糾正上述錯誤外，請你根據平時的學習經驗針對解不等式時還需注意的事項給同學們提一條建議．（2）解不等式組：．17．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點坐標分別為A（3，4），B（0，6），C（1，3）．（1）將△ABC沿x軸向左平移4個單位長度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）將△A1B1C1繞點A1逆時針旋轉90°得到△A1B2C2，畫出△A1B2C2；（3）△A1B2C2可由△ABC通過旋轉得到，請直接寫出旋轉中心的坐標和旋轉角的度數．18．為貫徹落實2024年教育部提出的：保障學生每天1小時體育鍛煉和充足的課間活動，著力解決小眼鏡、小胖墩和學生心理健康問題，某校計劃為學生購買一批羽毛球，甲、乙兩商店的羽毛球拍均標價60元副，羽毛球標價3元個，現甲商店和乙商店各推出以下活動：甲商店：羽毛球和羽毛球拍均打八折；乙商店：羽毛球拍打八五折，買一副羽毛球拍送5個羽毛球，超出的羽毛球按原價購買．學校計劃買副羽毛球拍和200個羽毛球，從甲商店購買的費用記為（元，從乙商店購買費用記為（元．（1）請直接寫出、與之間的函數表達式；（2）該校購買羽毛球拍的個數在什么范圍時在乙商店購買費用更少？請說明理由．19．如圖，已知△，是邊上的中線，垂足為．（1）求作：射線，使，垂足為（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）得到的圖形中，若，求證：△是等腰三角形．20．最是一年春好處，戶外研學正當時．為了讓學生增長見識、陶冶情操，芮城某中學計劃組織全校500名師生去永樂宮研學，學校計劃租用型車和型車若干，已知3輛型車和2輛型車可載師生104人，4輛型車和3輛型車可載師生141人．（1）求每輛型車和每輛型車各能載多少名師生．（2）若該校計劃租用型車和型車共20輛，則至少租用型車多少輛？21．閱讀下列材料回答下列問題：知二推一模型在幾何圖形中，有三種圖形往往同時出現在同一圖形中，哪三種圖形呢？就是平行線、角平分線、等腰三角形，三者關系十分密切，幾乎形影不離．在解決問題的過程中平行線、角平分線、等腰三角形這三個條件中只要已知其中任意兩個，就能推導出第三個．例如第一種情況，已知：如圖1，，是的平分線，求證：△是等腰三角形．證明：．是的平分線．△是等腰三角形（依據）第二種情況：第三種情況：在解決問題的過程中，我們也可以通過添加輔助線的方法構造知二推一模型來解決問題．（1）以上證明過程中，依據是：；（2）請你參照上面的第一種情況的證明過程，從其余兩種情況中選擇一種畫出圖形，寫出已知、求證，并進行證明；（3）根據閱讀材料解決下列問題：如圖2，在△中，是的角平分線，點是邊上的一點，連接．若，，，則的長為．22．綜合與探究：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝6，直角三角板EDF中∠EDF＝90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊中點處，并將三角板繞點D旋轉，三角板的兩邊DE、DF分別與邊AB、AC交于點M、N．（1）如圖1，在三角板旋轉的過程中，當點A與點M重合時，①判斷△BMD的形狀，并說明理由；②求線段CN的長．（2）如圖2，在三角板旋轉的過程中，線段MN、BM、CN之間存在著一定的數量關系，請你直接寫出它們之間的數量關系．23．綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，一次函數：的圖象分別交軸、軸于點，，點在軸上，平分．（1）求，兩點的坐標；（2）求線段的長；（3）若點是軸上的一個動點，當△為等腰三角形時，直接寫出點的坐標．

參考答案一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DDAACCDBCA一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑.）1．若x＞y，則下列不等式成立的是（）A．x+3＜y+3 B．3x＜3y C．﹣3x＞﹣3y D．﹣x+2＜﹣y+2【分析】根據不等式的性質進行計算，逐一判斷即可解答．解：A、∵x＞y，∴x+3＞y+3，故A不符合題意；B、∵x＞y，∴3x＞3y，故B不符合題意；C、∵x＞y，∴﹣3x＜﹣3y，故C不符合題意；D、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴﹣x+2＜﹣y+2，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．2．下列手機應用圖標是中心對稱圖形的是A． B． C． D．【分析】結合中心對稱圖形的定義可得答案．解：由各選項圖形可知，是中心對稱圖形的是選項．故選：．【點評】本題考查中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的定義是解答本題的關鍵．3．將不等式和的解集在同一數軸上表示正確的是A． B． C． D．【分析】先根據不等式的性質求出不等式的解集，在數軸上表示出不等式組的解集即可．解：解不等式，得，解不等式，得，在數軸上表示為：，故選：．【點評】本題考查了解一元一次不等式在數軸上表示不等式的解集，能根據求出不等式的解集是解此題的關鍵．4．到三角形三條邊距離相等的點是此三角形A．三條角平分線的交點 B．三條中線的交點 C．三條高的交點 D．三邊垂直平分線的交點【分析】利用角平分線的性質可確定三角形中到三邊距離相等的點滿足的條件．解：三角形三個內角的平分線的交點到三角形三邊的距離相等．故選：．【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．掌握角平分線的性質是解題的關鍵．5．不等式的正整數解的個數A．1 B．2 C．3 D．4【分析】解不等式求出的范圍，從而可求出的正整數解．解：，，，不等式的正整數解有1、2、3、共3個．故選：．【點評】本題考查一元一次不等式的整數解，解題的關鍵是熟練運用一元一次不等式的解法，本題屬于基礎題型．6．用反證法證明命題“三角形中一定有一個內角小于或等于”時，應先作出的假設是A．有一個內角大于 B．有一個內角小于 C．每個內角都大于 D．每個內角都小于【分析】根據反證法證明的方法判斷即可．解：用反證法證明命題“三角形中一定有一個內角小于或等于”時，應先作出的假設是每個內角都大于，故選：．【點評】本題考查了反證法，熟記反證法證明的一般步驟是解題的關鍵．7．為了激發學生學習數學的積極性，某校舉行了主題為“學數學、用數學、愛數學”的知識競賽活動，共20道題，答對一題得5分，答錯或不答扣2分，大賽規定總分不低于80分獲獎，亮亮想獲獎，至少答對道題．A．15 B．16 C．17 D．18【分析】設亮亮想獲獎，答對道題，則答錯或不答道題，根據大賽規定總分不低于80分獲獎，列出一元一次不等式，解不等式即可．解：設亮亮想獲獎，答對道題，則答錯或不答道題，根據題意得：，解得：，為正整數，的最小值為18，即亮亮想獲獎，至少答對18道題，故選：．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，找出數量關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．8．如圖，在△中，，，，將△繞點順時針旋轉至△處，點恰好在邊上，連接，則的長度是A． B． C．5 D．【分析】根據勾股定理求出的長，再根據旋轉的性質得出，，再根據勾股定理即可求解．解：在△中，由勾股定理得，，將△繞點順時針旋轉至△處，，，，故選：．【點評】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，熟記旋轉的性質，勾股定理是解題的關鍵．9．如圖，已知△，，，垂直平分，則△的周長等于A．4 B．6 C． D．【分析】根據等腰三角形性質和三角形的內角和定理求出，根據線段垂直平分線求出，求出，根據含角的直角三角形性質求出即可．解：，，．垂直平分，，，，，，．，，△的周長，故選：．【點評】本題考查了線段垂直平分線性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，含角的直角三角形性質等知識點，主要考查運用性質進行推理的能力．10．一次函數與的圖象如圖所示，則不等式組的解集是A． B． C． D．【分析】依據題意，由不等式組，結合圖象可得其解集為滿足的部分為在軸下方部分對應的自變量取值，進而可以判斷得解．解：由圖象可知滿足的部分為在軸下方部分對應的自變量取值，．故選：．【點評】本題主要考查了一次函數與一元一次不等式，數形結合的思想是解題的關鍵．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．點P（3，﹣4）向上平移2個單位長度，再向左平移4個單位長度得到點Q，則點Q的坐標為（﹣1，﹣2）．【分析】根據平移的性質可得答案．解：∵點P（3，﹣4）向上平移2個單位長度，再向左平移4個單位長度得到點Q，∴點Q的坐標為（﹣1，﹣2）．故答案為：（﹣1，﹣2）．【點評】本題考查坐標與圖形變化﹣平移，熟練掌握平移的性質是解答本題的關鍵．12．某品牌護眼儀進價200元，標價320元出售，商店規定可以打折銷售，但其利潤率不能低于，那么這種商品最多可以打7.5折．【分析】設這種商品可以打折，根據其利潤率不能低于，列出一元一次不等式，解不等式即可．解：設這種商品可以打折，根據題意得：，解得：，即這種商品最多可以打7.5折，故答案為：7.5．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，找出數量關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．13．如圖，將△繞點逆時針旋轉，得到△，若點的對應點落在線段的延長線上，則的度數為．【分析】先根據旋轉的性質得到，，，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和計算出，然后計算即可．解：△繞點逆時針旋轉，得到△，，，，，，．故答案為：．【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．14．如圖，在△中，，，將△沿所在直線向左平移1個單位長度得到△，交于點，則圖中陰影部分面積是3.5．【分析】由平移的性質得：，由于，求出和即可求得答案．解：，，，，，，由平移的性質得：，．故答案為：3.5．【點評】本題主要考查了等腰直角三角形，平移的性質和三角形的面積公式，熟練掌握平移的性質是解決問題的關鍵．15．如圖，已知△，，，于點，平分，交于，則長為．【分析】作于點，由，，求得，由于點，得，，則，由角平分線的性質得，可根據“”證明△△，得，則，所以，于是得到問題的答案．解：作于點，則，，，，于點，，，，，平分，交于，于點，于點，，，在△和△中，，△△，，，，故答案為：．【點評】此題重點考查等腰直角三角形的判定與性質、角平分線的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確地作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．計算（1）下面是小亮同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：第一步第二步第三步第四步第五步任務一：填空：①以上解題過程中第二步是依據乘法分配律（運算律）進行變形的；②第步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是．任務二：請直接寫出該不等式的正確解集：．任務三：除糾正上述錯誤外，請你根據平時的學習經驗針對解不等式時還需注意的事項給同學們提一條建議．（2）解不等式組：．【分析】（1）去分母；去括號；移項；合并同類項；化系數為1，依此即可求解．（2）解各不等式求得的取值范圍后取它們的公共部分即可；解：（1），第一步，第二步，第三步，第四步，第五步任務一：填空：①以上解題過程中，第二步是依據乘法分配律（運算律）進行變形的；②第五步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是不等式兩邊都除以，不等號的方向沒有改變；任務二：該不等式的正確解集是．任務三：不等式兩邊乘以（或除以）一個負數時，不等號要改變方向等．故答案為：①乘法分配律；②五，不等式兩邊都除以，不等號的方向沒有改變；任務二：．任務三：不等式兩邊乘以（或除以）一個負數時，不等號要改變方向等．（2），解①不等式得：，解第二個不等式得：，故原不等式組的解集為；【點評】（1）本題考查了有理數的混合運算，有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．同時考查了解一元一次不等式，步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1．（2）本題考查解一元一次不等式組，解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．17．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點坐標分別為A（3，4），B（0，6），C（1，3）．（1）將△ABC沿x軸向左平移4個單位長度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）將△A1B1C1繞點A1逆時針旋轉90°得到△A1B2C2，畫出△A1B2C2；（3）△A1B2C2可由△ABC通過旋轉得到，請直接寫出旋轉中心的坐標和旋轉角的度數．【分析】（1）根據平移的性質作圖即可．（2）根據旋轉的性質作圖即可．（3）分別作線段AA1，BB2，CC2的垂直平分線，相交于點P，則△A1B2C2可由△ABC繞點P逆時針旋轉90°得到，即可得出答案．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，△A1B2C2即為所求．（3）分別作線段AA1，BB2，CC2的垂直平分線，相交于點P，則△A1B2C2可由△ABC繞點P逆時針旋轉90°得到，∴旋轉中心的坐標為（1，2），旋轉角的度數為90°．【點評】本題考查作圖﹣旋轉變換、作圖﹣平移變換，熟練掌握旋轉的性質、平移的性質是解答本題的關鍵．18．為貫徹落實2024年教育部提出的：保障學生每天1小時體育鍛煉和充足的課間活動，著力解決小眼鏡、小胖墩和學生心理健康問題，某校計劃為學生購買一批羽毛球，甲、乙兩商店的羽毛球拍均標價60元副，羽毛球標價3元個，現甲商店和乙商店各推出以下活動：甲商店：羽毛球和羽毛球拍均打八折；乙商店：羽毛球拍打八五折，買一副羽毛球拍送5個羽毛球，超出的羽毛球按原價購買．學校計劃買副羽毛球拍和200個羽毛球，從甲商店購買的費用記為（元，從乙商店購買費用記為（元．（1）請直接寫出、與之間的函數表達式；（2）該校購買羽毛球拍的個數在什么范圍時在乙商店購買費用更少？請說明理由．【分析】（1）依據題意，由甲乙商店的優惠方案可得，甲商店購買的費用；乙商店購買的費用，進而可以判斷得解；（2）依據題意，要使得乙商店購買的費用少，則，從而，進而計算可以判斷得解．解：（1）由題意得，甲商店購買的費用；乙商店購買的費用．（2）由題意，要使得乙商店購買的費用少，．．．又，．答：該校購買羽毛球拍的個數在時在乙商店購買費用更少．【點評】本題主要考查了一次函數的應用，解題時要熟練掌握并能讀懂題意，列出關系式是關鍵．19．如圖，已知△，是邊上的中線，垂足為．（1）求作：射線，使，垂足為（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）得到的圖形中，若，求證：△是等腰三角形．【分析】（1）根據垂線的作圖方法作圖即可．（2）證明△△，可得，則，即△是等腰三角形．【解答】（1）解：如圖，射線即為所求．（2）證明：，，．是邊上的中線，．，△△，，，△是等腰三角形．【點評】本題考查作圖—復雜作圖、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．20．最是一年春好處，戶外研學正當時．為了讓學生增長見識、陶冶情操，芮城某中學計劃組織全校500名師生去永樂宮研學，學校計劃租用型車和型車若干，已知3輛型車和2輛型車可載師生104人，4輛型車和3輛型車可載師生141人．（1）求每輛型車和每輛型車各能載多少名師生．（2）若該校計劃租用型車和型車共20輛，則至少租用型車多少輛？【分析】（1）設每輛型車能載名師生，每輛型車能載名師生，根據3輛型車和2輛型車可載師生104人，4輛型車和3輛型車可載師生141人，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設租用型車輛，則租用型車輛，根據，芮城某中學計劃組織全校500名師生去永樂宮研學，列出一元一次不等式，解不等式即可．解：（1）設每輛型車能載名師生，每輛型車能載名師生，由題意得：，解得：，答：每輛型車能載30名師生，每輛型車能載7名師生；（2）設租用型車輛，則租用型車輛，由題意得：，解得：，為正整數，的最小值為16，答：至少租用型車16輛．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．21．閱讀下列材料回答下列問題：知二推一模型在幾何圖形中，有三種圖形往往同時出現在同一圖形中，哪三種圖形呢？就是平行線、角平分線、等腰三角形，三者關系十分密切，幾乎形影不離．在解決問題的過程中平行線、角平分線、等腰三角形這三個條件中只要已知其中任意兩個，就能推導出第三個．例如第一種情況，已知：如圖1，，是的平分線，求證：△是等腰三角形．證明：．是的平分線．△是等腰三角形（依據）第二種情況：第三種情況：在解決問題的過程中，我們也可以通過添加輔助線的方法構造知二推一模型來解決問題．（1）以上證明過程中，依據是：兩底角相等，則兩腰相等；（2）請你參照上面的第一種情況的證明過程，從其余兩種情況中選擇一種畫出圖形，寫出已知、求證，并進行證明；（3）根據閱讀材料解決下列問題：如圖2，在△中，是的角平分線，點是邊上的一點，連接．若，，，則的長為．【分析】（1）根據等腰三角形的性質求解即可；（2）根據角平分線、平行線和等腰三角形的性質和判定解題即可．（3）過點作交于點，證明三角形是直角三角形，即可推出結果．解：（1）．．依據是兩底角相等，則兩腰相等；故答案為：兩底角相等，則兩腰相等；（2）第二種情況：已知：如題干圖，△是等腰三角形，是的平分線，求證：．證明：△是等腰三角形，．是的平分線，．．．第三種情況：已知：如題干圖，△是等腰三角形，．求證：是的平分線．證明：，．△是等腰三角形．．，是的平分線．（3）如圖，過點作交于點，，，，，，，，，平分，，，，故答案為：．【點評】本題考查角平分線、平行線和等腰三角形的性質和判定．熟練掌握相關性質和定理是解題的關鍵．22．綜合與探究：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝6，直角三角板EDF中∠EDF＝90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊中點處，并將三角板繞點D旋轉，三角板的兩邊DE、DF分別與邊AB、AC交于點M、N．（