高考數(shù)學高考數(shù)學勤思篤學勤思篤學勤思篤學勤思篤學專題06數(shù)列新定義問題新定義數(shù)列題是指以學生已有的知識為基礎，設計一個陌生的數(shù)學情境，或定義一個概念，或規(guī)定一種運算，或給出一個規(guī)劃，通過閱讀相關信息，根據(jù)題目引入新內(nèi)容進行解答的一類數(shù)列題型．由于新定義數(shù)列題背景新穎，構思巧妙，而且能有效地考查學生的遷移能力和思維品質(zhì)，充分體現(xiàn)“遵循教學大綱，又不拘泥于教學大綱”的特點，所以備受命題專家的青睞解決方案及流程(1)讀懂題意，理解研究的對象，理解新定義數(shù)列的含義；(2)特殊分析，例如先對n＝1,2,3，…的情況討論；(3)通過特殊情況尋找新定義的數(shù)列的規(guī)律及性質(zhì)，以及新定義數(shù)列與已知數(shù)列(如等差與等比數(shù)列)的關系，仔細觀察，探求規(guī)律，注重轉(zhuǎn)化，合理設計解題方案，最后利用等差、等比數(shù)列有關知識來求解．題型一遞推關系中的新定義【例1】（2022全國乙卷）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】[方法一]:常規(guī)解法因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設則故D正確.【跟蹤訓練】定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的和都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.設甲：數(shù)列滿足；乙：數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列或公和為2的等和數(shù)列，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】對于甲：由得，即或，則數(shù)列是公和為2的等和數(shù)列或公差為2的等差數(shù)列，又因為，所以或；對于乙：當數(shù)列是公和為2的等和數(shù)列或公差為2的等差數(shù)列時，通項未必為或，如擺動數(shù)列，……和（其中）所以，甲是乙的充分不必要條件.故選：A.題型二等差數(shù)列中新定義【例2】定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的方公差．設數(shù)列是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，，則數(shù)列的前項和（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，由，故，即（負值舍去），故，故，則，故.故選：A.【跟蹤訓練】南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算術》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列，或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列，依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設數(shù)列1，1，2，8，64，……是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第10項是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設數(shù)列為，且為一階等比數(shù)列，設，所以為等比數(shù)列，其中，，公比，，則，，，故選D.題型三等比數(shù)列中的新定義【例3】若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若，數(shù)列為牛頓數(shù)列，且，，數(shù)列的前n項和為，則滿足的最大正整數(shù)的值為．【答案】【解析】因為，所以，則，又因為，且，所以是首項為，公比的等比數(shù)列，則，令，則，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以，所以最大正整數(shù)的值為.【跟蹤訓練】數(shù)列中，是其前項的和，若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列為“某數(shù)列”現(xiàn)有如下兩個命題：①等比數(shù)列為“某數(shù)列”；②對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“某數(shù)列”和，使得.則下列選項中正確的是（

）A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題【答案】C【解析】對于①，由等比數(shù)列，得，若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則，即，顯然不成立，①為假命題；對于②，設等差數(shù)列的公差為，則.令，，則，下面證是“某數(shù)列”.設的前項和為，則，于是對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，所以是“某數(shù)列”.同理，可證也是“某數(shù)列”.所以對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“某數(shù)列”和，使得成立，故②為真命題.故選：C題型四數(shù)列求和中的新定義【例3】定義為個正數(shù)的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列的前項的“均倒數(shù)”為，又，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)“均倒數(shù)”的定義，有，故，故，兩式相減得，當時，也符合上式，故.所以，注意到，故.故選：D【跟蹤訓練】若數(shù)列滿足，若，抽去數(shù)列的第3項、第6項、第9項、、第項、，余下的項的順序不變，構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前100項的和為．【答案】【解析】由，得，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，設數(shù)列的前項的和為，則.1.我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1，2，…，9填入的方格內(nèi)，使三行?三列?對角線的三個數(shù)之和都等于15，如圖所示.一般地.將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，n2填入個方格中，使得每行?每列?每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形叫做n階幻方.記n階幻方的數(shù)的和即方格內(nèi)的所有數(shù)的和為Sn，如圖三階幻方記為，那么（

）A．3321 B．361 C．99 D．33【答案】A【解析】由題意知，,故選：A2．定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，且，所以，所以，則，由等比數(shù)列性質(zhì)知：與符號一致，故.故選：D.3．任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圖，這就是數(shù)學史上著名的“冰霓猜想”（又稱“角谷猜想”等）．已知數(shù)列滿足：，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意可知，，，，，，，，，，，……，所以根據(jù)“冰霓猜想”可知.故選：B4.“提丟斯數(shù)列”是由18世紀德國數(shù)學家提丟斯給出,具體如下：0,3,6,12,24,48,96,192,…,容易發(fā)現(xiàn),從第三項起,每一項是前一項的2倍．將每一項加上4得到一個數(shù)列：4,7,10,16,28,52,100,196,…,再將每一項除以10得到“提丟斯數(shù)列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,…,則“提丟斯數(shù)列”的前50項的和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】記“提丟斯數(shù)列”為,則當時,,所以,當時,,滿足該式,當時,,所以，所以“提丟斯數(shù)列”的前50項的和為．故選：D.5．（多選）在無窮數(shù)列中，若，總有，此時定義為“階梯數(shù)列”.設為“階梯數(shù)列”，且，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由題可知，因為，所以，，又因為，所以，所以，，，結合選項可知A正確，B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選:ACD.6．（多選）給定數(shù)列，定義差分運算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對任意，總存在，使得D．對任意，總存在，使得【答案】BC【解析】對于A，由，得，顯然有最小值4，無最大值，因此不存在，使得恒成立，A錯誤；對于B，由選項A知，，則，顯然當時，恒成立，B正確；對于C，由，得，當時，即，于是，兩式相減得，因此，顯然滿足上式，則，由，得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無最大值，從而對任意，總存在，使得，C正確；對于D，，由選項C得，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對任意，不存在，使得成立，D錯誤.故選：BC7.在數(shù)列中，若存在常數(shù)t，使得恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”若數(shù)列為“數(shù)列”，且，數(shù)列為等差數(shù)列，且則（寫出通項公式）【答案】【解析】因為數(shù)列為“數(shù)列”，由，有①，所以②，兩式作差得，又因為數(shù)列為“數(shù)列”，所以，設數(shù)列的公差為d，所以，即對成立，則，得；又，，得，所以.8.數(shù)學家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”.它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強率.由于，取3為弱率，4為強率，計算得，故為強率，與上一次的弱率3計算得，故為強率，繼續(xù)計算，….若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推.已知，求【解】因為為強率，由可得，，即為強率；由可得，，即為強率；由可得，，即為強率；由可得，，即為強率；由可得，，即為弱率，所以，9．已知數(shù)列為“二階等差數(shù)列”，即當時，數(shù)列為等差數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的最大值【解】（1）由定義知：，，，；得，；設數(shù)列的公差為d，，即得，，數(shù)列的通項公式為；（2）由于：，，，，…，，累加可得：，由于二次函數(shù)在時取得最大值，所以數(shù)列得最大值為.10．設數(shù)列的前n項和為,若對任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得,則稱是“H數(shù)列”;(1)若數(shù)列的前n項和(),判斷數(shù)列是否是“H數(shù)列”?若是,給出證明;若不是,說明理由;(2)設數(shù)列是常數(shù)列,證明:為“H數(shù)列”的充要條件是;(3)設是等差數(shù)列,其首項,公差,若是“H數(shù)列”,求d的值;【解】（1），則，時，，所以，顯然對任意的是數(shù)列中的第項，所以數(shù)列是“H數(shù)列”；（2）數(shù)列是常數(shù)列,即，而，數(shù)列是“H數(shù)列”，則對一切正整數(shù)成立，所以；反之，若，則是數(shù)列中的項，即數(shù)列是“H數(shù)列”．綜上，為“H數(shù)列”的充要條件是;（3）是等差數(shù)列,其首項,公差，，，若是“H數(shù)列”，則存在正整數(shù)，使得，，是正整數(shù)，所以是整數(shù)，因為，所以是所有正整數(shù)的公約數(shù)，又，所以．11.已知為非零常數(shù)，，若對，則