試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page88頁，共=sectionpages88頁函數與導數一、單選題1．函數的定義域為（

）A． B．C． D．2．下列函數中，是偶函數的是（

）A． B． C． D．3．函數在區間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．4．已知函數為奇函數，則的值是（

）A．3 B．1或3 C．2 D．1或25．已知函數與均是其定義域內的增函數，則a的范圍是（

）A． B． C． D．6．已知函數則=（

）A． B． C．1 D．27．若，則有（

）A． B．C． D．8．函數的零點所在的區間為（

）A． B． C． D．9．已知函數是冪函數.則（

）A． B．2 C． D．110．已知，，，則實數a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．11．若，，，則（

）A． B． C． D．12．已知是函數的導函數，且，則（

）A．1 B．2 C． D．13．已知為奇函數，當時，，則（

）A． B． C． D．14．已知函數，且)的圖象經過定點A，則點A的坐標為（

）A． B．C． D．15．已知函數的導函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．16．函數的圖象大致形狀是（

）A． B．C． D．17．已知函數，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．18．通過科學研究發現：地震時釋放的能里（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.已知2011年甲地發生里氏9.2級地震，2019年乙地發生里氏7.4級地震，若甲，乙兩地地震釋放能量分別為，則（

）A． B． C． D．19．生物學家研發一種谷物新品種，如果第1代得到1粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代6粒種子，則種子數量首次超過100萬粒的是（

）參考數據：A．第7代種子 B．第8代種子 C．第9代種子 D．第10代種子20．2023年8月29日，華為發布了備受矚目的Mate60系列智能手機，在國際市場上引起了廣泛關注.盡管面臨外國技術封鎖和制裁，華為仍然憑借自主研發的創新技術，成功推出了這款被網友稱為“爭氣機”的新一代旗艦產品.Mate60系列手機搭載了華為自主研發的最新芯片，其性能和穩定性得到了極大提升.在電池續航、圖像處理和用戶體驗等方面均有顯著突破，展現了華為在高科技領域的實力和韌性.華為Mate60智能手機的核心部件之一是其自主研發的芯片，研究發現，該芯片的性能隨著時間的推移會經歷指數型衰減.假設芯片的性能衰減可以用函數大致描述，其中表示時間（單位：年），是經過年后的性能指標，是測試開始時的初始性能指標量.則根據上述函數模型，若該芯片使用5年，性能大約降至最初的（

）（參考數據：，）A． B． C． D．二、多選題21．下列函數中，為冪函數的是（

）A． B． C． D．22．已知函數，若，則（

）A． B．2 C．0 D．123．下列式子中正確的是（

）A． B．C． D．24．（多選）已知函數的導數為，若存在，使得，則稱是的一個“巧值點”，則下列函數中有“巧值點”的是（

）A． B．C． D．25．以下四種說法中，不正確的是（

）A．冪函數增長的速度比一次函數增長的速度快 B．若，則，使C．，有 D．，有26．下列函數在區間上單調遞增且圖象關于軸對稱的是（

）A． B． C． D．27．已知函數且，則下列結論中正確的是（

）A．函數的圖象過定點 B．函數在其定義域上有零點C．函數是奇函數 D．當時，函數在其定義域上單調遞增28．函數，則（

）A． B．的單調遞增區間為C．最大值為 D．有兩個零點29．已知函數是上的可導函數，的導函數的圖象如圖，則下列結論不正確的是（

）A．分別是極大值點和極小值點 B．分別是極大值點和極小值點C．在區間上是增函數 D．在區間上是減函數30．設函數，則下列說法正確的是（

）A．一定存在單調遞減區間B．存在a，b，使得沒有最值C．若既有極大值，又有極小值，則D．令，，當時，31．已知函數，則下列選項中正確的是（

）A．函數在區間上單調遞增B．函數在的值域為C．函數在點處的切線方程為D．關于的方程有2個不同的根當且僅當32．已知函數，則（

）A． B．在上為增函數C．在上為減函數 D．的極值為33．已知函數的極小值點為1，極小值為.則（

）A．B．C．有3個零點D．直線與的圖像僅有1個公共點34．若直線與曲線相切，則的值可以為（

）A． B．2 C．4 D．535．已知函數，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則在上單調遞增D．若，則在上單調遞增36．設，函數，則下列說法正確的有（

）A．當時，函數為增函數 B．點為函數圖象的對稱中心C．存在a，使得函數有且僅有一個極值點 D．函數至少有一個零點37．已知函數，為的導函數，則下列說法正確的是（

）A． B．為奇函數C．的極小值為 D．在上單調遞增38．（多選）函數的導函數的圖象如圖所示，則（

）A．為的極大值點 B．為的極小值點C．為的極大值點 D．為的極小值點39．已知函數，則（

）A．在上單調遞增 B．有兩個零點C．是偶函數 D．在定義域內恒成立40．已知函數，則（

）A．是偶函數B．曲線在點處切線的斜率為C．在單調遞增D．三、填空題41．計算：.42．已知函數若，則．43．函數的單調遞減區間為．44．函數的單調遞增區間是.45．已知函數，且，則46．函數的零點在區間內，則正整數.47．曲線在點處的切線方程為．48．函數，且的圖象過定點，則點的坐標是.49．已知，若函數是定義在上的奇函數，則.50．已知函數，若，則實數a的取值范圍是．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page1919頁，共=sectionpages1919頁《函數與導數》參考答案題號12345678910答案CDCCCDDACB題號11121314151617181920答案CACBDDADCB題號21222324252627282930答案ACBCABCABCACDBDBCDABDABDBC題號31323334353637383940答案BCBDACDADADBDBDABADBCD1．C【分析】由二次根式的被開方數非負和分式的分母不為零，列不等式組求解即可.【解析】由題意可得，解得且，所以函數的定義域為.故選：C.2．D【分析】根據偶函數定義即可判斷.【解析】偶函數的定義域關于坐標原點對稱，定義域為，A錯誤；偶函數的圖象關于軸對稱，圖象關于坐標原點對稱，B錯誤；圖象關于坐標原點對稱，C錯誤；，，符合偶函數定義，D正確.故選：D.3．C【分析】根據平均變化率的定義即可求得.【解析】由平均變化率定義得，故選：C4．C【分析】根據奇函數在原點處有意義則求出的值，再將的值代回原函數檢驗即可得解.【解析】因為為奇函數，所以，解得或.當時，，，故不合題意，舍去；當時，，，故符合題意.故選：C.5．C【分析】由對數函數和一次函數的單調性即可得出答案.【解析】已知函數與均是其定義域內的增函數，所以，解得：.故選：C.6．D【分析】代入即可求解.【解析】,故選：D7．D【分析】根據給定條件，利用對數運算法則化簡即得.【解析】由，得，解得，所以.故選：D8．A【分析】根據零點存在性定理即可判斷.【解析】由題意知，，，因為，函數單調遞增，且其圖象為連續不間斷的曲線，所以是函數的零點所在的一個區間.故選：A.9．C【分析】根據函數是冪函數求參數，再求函數值即可.【解析】因為函數是冪函數，所以，所以，所以，所以.故選：C.10．B【分析】根據給定的各個等式，分別構造函數，利用零點存在性定理確定所在區間即可得解.【解析】依題意，設，函數與互為反函數，其圖象關于直線對稱，且的圖象在直線上方，的圖象在直線下方，因此當時，；當時，函數遞增，遞減，則遞增，顯然，即有，根據零點存在性定理，得，設，函數在R上遞減，在R上遞增，則在R上遞減，顯然，即有，根據零點存在性定理，得，令，當時，是奇函數，其圖象如圖，

觀察圖象知，，即當時，，當時，，顯然，，即有，根據零點存在性定理，得，所以.故選：B【點睛】思路點睛：某些數或式大小關系問題，看似與函數的單調性無關，細心挖掘問題的內在聯系，抓住其本質，構造函數，分析并運用函數的單調性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.11．C【分析】利用指數函數的單調性可比較，的大小，且，，再與比較大小，即可求解.【解析】因為是減函數，且，所以，即；又，所以.故選：C.12．A【分析】求導，即可代入求解.【解析】由可得，故，解得，故選：A13．C【分析】利用奇偶函數的性質，結合條件，即可求解.【解析】為奇函數，當時，，所以，故選：C.14．B【分析】利用指數函數和對數函數恒過的定點來求解即可.【解析】令，則，所以過的定點的坐標為．故選：B.15．D【分析】利用函數的函數的圖象，可判斷函數的單增區間與單減區間，可得結論.【解析】由函數的導函數的圖象可知，當時，，所以在上單調遞減，可排除AC；當時，，所以在上單調遞增，可排除B；當時，，所以在上單調遞減，D均符合，故D正確.故選：D.16．D【分析】由題意，判斷的奇偶性，利用賦值法，結合選項即可求解.【解析】的定義域為，關于原點對稱，，所以為奇函數，奇函數的圖象關于原點對稱，故排除AB；因為，又，故排除C.故選：D17．A【分析】利用函數的奇偶性定義判斷函數為奇函數即得.【解析】函數的定義域為因，故函數為奇函數，圖象關于原點對稱.故選：A.18．D【分析】根據指數、對數運算求得正確答案.【解析】根據題意:,,所以.故選：D19．C【分析】設第代種子的數量為，根據題意列出不等式，對不等式化簡代入數值即可得到結果.【解析】設第代種子的數量為，由題意得，得，即.因為，故種子數量首次超過100萬粒的是第9代種子.故選：C.20．B【分析】根據題給條件將5代入函數，利用指數的負指數冪化正指數冪公式化簡可求得，再根據即可求解.【解析】該芯片使用5年，性能指標為..故選：B.21．AC【分析】利用冪函數的定義，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.【解析】由冪函數的定義知，和是冪函數，和不是冪函數，分別是二次函數和指數函數，故選：AC.22．BC【分析】分情況討論，代入解析式可求答案.【解析】當時，，解得，滿足要求，當時，，解得，滿足要求.故選：BC.23．ABC【分析】根據對數、根式和指數運算對選項進行分析，從而確定正確答案.【解析】A選項，，A選項正確.B選項，，B選項正確.C選項，，C選項正確.D選項，，所以D選項錯誤.故選：ABC24．ABC【分析】結合“巧值點”的定義，逐個求解是否有解即可.【解析】對于A:，令，得或，有“巧值點”，A滿足；對于B:，令，得，有“巧值點”，B滿足；對于C:，令，結合，的圖象，知方程有解，有“巧值點”，C滿足；對于D:，令，得，與矛盾，沒有“巧值點”，D不滿足.故答案為：ABC.25．ACD【分析】根據題目中的選項，分別作圖，由函數圖象，可得答案.【解析】對于A，由為冪函數，為一次函數，作圖如下：由圖可知函數的增長速度比函數的增長速度小，故A不正確；對于B，由，函數，，作圖如下：由圖可知當時，，故B正確；對于C、D，由，函數，，作圖如下：由圖可知當時，，故C不正確；由圖可知當時，，故D不正確.故選：ACD.26．BD【分析】根據基本函數的單調性以及奇偶性的定義，即可結合選項逐一求解.【解析】的定義域為，在區間上單調遞增，但，即不是偶函數，其圖象不關于軸對稱，A錯誤；的定義域為，在區間上單調遞增，且，∴是偶函數，其圖象關于軸對稱，即B正確；的定義域為，在區間上單調遞減，C錯誤；的定義域為，在區間上單調遞增，且，∴是偶函數，其圖象關于軸對稱，即D正確.故選:BD.27．BCD【分析】計算的值，可判斷AB選項；利用函數奇偶性的定義可判斷C選項；利用指數函數的單調性可判斷D選項.【解析】對于A選項，因為，故函數的圖象過定點，A錯；對于B選項，因為的定義域為，且，故函數在其定義域上有零點，B對；對于C選項，因為，該函數的定義域為，且，即函數是奇函數，C對；對于D選項，當時，則，因為函數、均為上的增函數，所以，函數在上為增函數，D對.故選：BCD.28．ABD【分析】對函數求導，根據導函數的符號確定原函數的單調性，繼而得到函數的極值，即可逐一判斷A,B,C,再結合函數的趨勢，利用零點存在定理，作出其圖象即可判斷D.【解析】對于A，因的定義域為，則，故A正確；對于B，由可得，即的單調遞增區間為，故B正確；對于C，由上分析，當時，；當時，.即函數在上單調遞減，在上單調遞增，則時，取得最小值，故C錯誤；對于D，由上分析，函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，而當時，；當時，，由零點存在定理，可知函數在區間和各有一個零點，故D正確.故選：ABD.29．ABD【分析】根據的正負，從而確定函數的單調性和極值點的情況，即可對每個選項進行判斷.【解析】根據的圖象可知：當時，，單調遞減；當時，，且不恒為零，單調遞增；對AB：根據單調性可知，只有極小值點，沒有極大值點，故AB錯誤；對CD：根據單調性可知，在單調遞增，在也單調遞增，故C正確，D錯誤.故選：ABD.30．BC【分析】當時，即可根據基本函數的單調性求解AB，求導，根據極值的定義將問題轉化為要有兩個不相等的實數正根，即可利用判別式以及韋達定理求解C，求導，根據函數的單調性求解D.【解析】若時，函數均為單調遞增函數，因此為單調遞增函數，此時函數無最大值，且無單調遞減區間，故A錯誤，B正確，對于C，，若既有極大值，又有極小值，則需要要有兩個不相等的實數正根，所以，故，C正確，對于D,，時，,，故當時，單調遞減，令，則，因為，所以，故在單調遞增，故，即，故D錯誤，故選：BC31．BC【分析】A通過判斷在上是否恒大于等于0可得選項正誤；B利用導數求出在上的單調性，據此可得值域；C由導數知識可得在點處的切線；D將問題轉化為圖象與直線有兩個交點.【解析】對于A，，，則在上單調遞減，故A錯誤；對于B，由A分析，，則在上單調遞增，則，故函數在上的值域為；對于C，由題，，則點處的切線方程為，故C正確；對于D，即圖象與直線有兩個交點，由上述分析可得大致圖象如下，則要使圖象與直線有兩個交點，，故D錯誤.故選：BC32．BD【分析】利用導數的應用，討論函數的性質即可求解.【解析】，則，故A錯誤；令，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故B正確，C錯誤；所以的極小值為，故D正確.故選：BD.33．ACD【分析】首先求函數的導數，根據極小值點以及極小值求參數，判斷AB，再根據導數與函數的關系判斷函數的圖象，即可判斷CD.【解析】由題意得則，解得，故A正確.由，解得，故B錯誤.，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，所以的極大值為，畫出草圖，所以有3個零點，故C正確；直線與的圖像僅有1個公共點，故D正確.故選：ACD.34．AD【分析】求出函數的導數，設出切點坐標，再利用導數的幾何意義列式求解即可.【解析】函數，求導得，設直線與曲線相切的切點為，則曲線在點處的切線方程為，依題意，，解得或，所以的值可以為或5.故選：AD35．AD【分析】由題意，根據，得到是的極小值點，進而可判斷AB；對函數進行求導，根據導函數的符號即可判斷選項CD.【解析】由題意知，得，若，所以是的極小值點，此時，解得，則，當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增，所以，則，故A正確，B錯誤；若，此時，當時，，在上單調遞減，故C錯誤；若，此時，當時，，在上單調遞增，故D正確．故選：AD．36．BD【分析】根據可判斷B，利用導函數的性質與圖象，結合零點存在性定理可判斷ACD.【解析】由題意，，，因為對，有，所以點為函數圖象的對稱中心，故B正確；函數的導函數，，①當時，恒成立，此時函數是上的減函數，則函數沒有極值點，又，，所以由零點存在性定理可知，此時函數有一個零點；②當時，，則方程有唯一解，當時，，當時，，所以函數是上的減函數，則函數沒有極值點，又，，所以由零點存在性定理可知，此時函數有一個零點；③當時，由，得，即，因為，所以方程有兩個不相等的根，不妨設，，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，此時，函數有兩個極值點，又時，，時，，所以由零點存在性定理可知，此時函數至少有一個零點；綜上所述，當時，函數為減函數，故A錯誤，當時，函數沒有極值點，且有一個零點，當時，函數有兩個極值點，且至少有一個零點，故C錯誤，D正確；故選：BD.37．BD【分析】根據導數求值判斷A；根據奇偶性的定義判斷B；求解函數的單調性及極值判斷CD．【解析】因為，所以，，故A錯誤；因為且，所以函數為奇函數，故B正確；由，解得或，當或時，，當時，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極小值為，故C錯誤；由在上單調遞增，故D正確．故選：BD．38．AB【分析】根據導函數的圖象求出函數的極大值和極小值點即可.【解析】由圖象可知，當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增；當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增，且，，，所以和是函數的極小值點，是函數的極大值點.故選：AB．39．AD【分析】利用導數研究函數的單調性、最值即可判斷各項正誤.【解析】由在定義域上遞增，即函數的定義域不關于原點對稱，C錯，又，在上，遞減；在上，遞增，A對，所以，B錯