第十一章第3講[A級基礎達標]1．(2016年沈陽校級測試)若(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x3)))n(n∈N*)的展開式中沒有常數項，則n的可能取值是()A．7 B．8C．9 D．10【答案】C【解析】若(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x3)))n(n∈N*)的展開式中沒有常數項，可得(x＋x－3)n的展開式中沒有常數項，且沒有x－1項，且沒有x－2項．而(x＋x－3)n的展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)·xn－r·x－3r＝Ceq\o\al(r,n)·xn－4r，故n－4r＝0無解，且n－4r＝－1無解，且n－4r＝－2無解．結合所給的選項可得，n＝9，故選C．2．在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數為()A．30 B．20C．15 D．10【答案】C【解析】只需求(1＋x)6的展開式中含x2項的系數即可，而含x2項的系數為Ceq\o\al(2,6)＝15.3．(2016年漳州模擬)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))n的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式的常數項為()A．－7 B．7C．－28 D．28【答案】B【解析】依題意，eq\f(n,2)＋1＝5，∴n＝8.二項式為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))8，其展開式的通項Tk＋1＝(－1)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8－kCeq\o\al(k,8)x8－eq\f(4k,3)令8－eq\f(4k,3)＝0，解得k＝6，故常數項為(－1)6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8－6Ceq\o\al(6,8)＝7.故選B．4．(2017年廊坊校級模擬)(x2＋x＋y)5的展開式中，x7y的系數為()A．10 B．20C．30 D．60【答案】B【解析】∵(x2＋x＋y)5表示5個因式(x2＋x＋y)的乘積，當只有一個因式取y，一個因式取x，其余的3個因式都取x2，即可得到含x7y的項．故x7y的系數為Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,3)＝20，故選B．5．(2015年湖北)已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為()A．29 B．210C．211 D．212【答案】A【解析】由Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，得n＝10，故奇數項的二項式系數和為29.6．已知2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋…＋2n－1Ceq\o\al(n－1,n)＋2n＝80，則n＝________.【答案】4【解析】因為1＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋…＋2n－1Ceq\o\al(n－1,n)＋2n＝(1＋2)n＝80＋1＝81，所以3n＝81，解得n＝4.7．(2016年河南校級二模)二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))6展開式中含x2項的系數是________．【答案】－192【解析】由題意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))6的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2eq\r(x))6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝(－1)r26－rCeq\o\al(r,6)x3－r，令3－r＝2，得r＝1，故展開式中x2項的系數是－25Ceq\o\al(1,6)＝－192.8．若將函數f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數，則a3＝________.【答案】10【解析】設1＋x＝t，則x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，則a3＝Ceq\o\al(2,5)(－1)2＝10.9．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)＋3x2))n的展開式中，各項系數和比它的二項式系數和大992，求：(1)展開式中二項式系數最大的項；(2)展開式中系數最大的項．【解析】(1)由題意可得4n－2n＝992，求得2n＝32，∴n＝5.故展開式中二項式系數最大的項為第三項或第四項，即T3＝Ceq\o\al(2,5)·9·x6＝90x6或T4＝Ceq\o\al(3,5)·27·xeq\f(22,3)＝270xeq\f(22,3).(2)由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)＋3x2))5的展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·3r·xeq\f(10＋4r,3)，故第r＋1項的系數為3r·Ceq\o\al(r,5)，r＝0,1,2,3,4,5，故當r＝4時，該項的系數最大，即第5項的系數最大，該項為T5＝Ceq\o\al(4,5)·81·xeq\f(26,3)＝405xeq\f(26,3).10．已知(1＋meq\r(x))n(m是正實數)的展開式的二項式系數之和為256，展開式中含x項的系數為112.(1)求m，n的值；(2)求展開式中奇數項的二項式系數之和；(3)求(1＋meq\r(x))n(1－x)的展開式中含x2項的系數．【解析】(1)由題意可得2n＝256，解得n＝8.含x項的系數為Ceq\o\al(2,8)m2＝112，解得m＝2或m＝－2(舍去).故m，n的值分別為2,8.(2)展開式中奇數項的二項式系數之和為Ceq\o\al(0,8)＋Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(6,8)＋Ceq\o\al(8,8)＝28－1＝128.(3)(1＋2eq\r(x))8(1－x)＝(1＋2eq\r(x))8－x(1＋2eq\r(x))8，所以含x2的系數為Ceq\o\al(4,8)24－Ceq\o\al(2,8)22＝1008.[B級能力提升]11．(2016年泰安二模)在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(1,x)))n的展開式中，所有二項式系數的和是32，則展開式中各項系數的和為()A．－32 B．0C．32 D．1【答案】C【解析】二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(1,x)))n的展開式中，所有二項式系數的和是32，∴2n＝32，解得n＝5.令x＝1，可得展開式中各項系數的和為(3×12－1)5＝32.故選C．12．(2016年四川模擬)設函數f(x)＝(m＋nx)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3，mn≠0，則eq\f(a0a3,a1a2)的值為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,3) D．1【答案】A【解析】由已知a0＝m3，a3＝n3，a1＝m2n×3，a2＝mn2×3，所以eq\f(a0a3,a1a2)＝eq\f(m3n3,9m3n3)＝eq\f(1,9).故選A．13．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))n(n∈N*)的展開式中各項系數的和為P，所有二項式系數的和為S，若P＋S＝272，則函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))n在(0，＋∞)上的最小值為()A．144 B．256C．24eq\r(3) D．64eq\r(3)【答案】A【解析】由題意可得P＝4n，S＝2n，∴P＋S＝4n＋2n＝272，解得2n＝16，∴n＝4，在(0，＋∞)上，函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))4≥(2eq\r(3))4＝144，當且僅當x＝eq\f(\r(3),3)時，等號成立，故函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))n在(0，＋∞)上的最小值為144，故選A．14．若(x2＋ax＋1)6(a>0)的展開式中x2的系數是66，則eq\i\in(0,a,)sinxdx的值為________．【答案】1－cos2【解析】由題意可得(x2＋ax＋1)6的展開式中x2的系數為Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)a2，故Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)a2＝66，∴a＝2或a＝－2(舍去)．故eq\i\in(0,a,)sinxdx＝eq\i\in(0,2,)sinxdx(－cosx)eq\o\al(2,0)＝1－cos2.15．(2016年遼寧校級模擬)在(a＋b)n的二項展開式中，若奇數項的二項式系數的和為128，則二項式系數的最大值為________．(結果用數字作答)【答案】70【解析】在(a＋b)n的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，∴2n＝256，解得n＝8，展開式共n＋1＝8＋1＝9項，據中間項的二項式系數最大，故展開式中二項式系數最大的項是第5項，最大值為Ceq\o\al(4,8)＝70.16．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展開式中x的系數為11.(1)求x2的系數取最小值時n的值；(2)當x2的系數取得最小值時，求f(x)展開式中x的奇次冪項的系數之和．【解析】(1)由已知得Ceq\o\al(1,m)＋2Ceq\o\al(1,n)＝11，∴m＋2n＝11.x2的系數為Ceq\o\al(2,m)＋22Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(mm－1,2)＋2n(n－1)＝eq\f(m2－m,2)＋(11－m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11－m,2)－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(2