第五章第1講[A級基礎達標]1．設a是非零向量，λ是非零實數，下列結論中正確的是()A．a與λa的方向相反 B．a與λ2aC．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a【答案】B【解析】對于A，當λ＞0時，a與λa的方向相同，當λ＜0時，a與λa的方向相反，B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關系不確定；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大小．2．(2016屆邯鄲二模)如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→)) C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))【答案】D【解析】由圖知eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).3．(2017屆福州質量檢測)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－b C．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2) D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)【答案】D【解析】依題意得eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝2(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，故選D．4．(2017屆溫州八校檢測)已知平面內一點P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則點P與△ABC的位置關系是()A．點P在線段AB上 B．點P在線段BC上C．點P在線段AC上 D．點P在△ABC外部【答案】C【解析】由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以點P在線段AC上．5．已知點O為△ABC外接圓的圓心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則△ABC的內角A等于()A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，知點O為△ABC的重心，又O為△ABC外接圓的圓心，∴△ABC為等邊三角形，A＝60°.6．如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－b C．a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b【答案】D【解析】連接CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.7．向量e1，e2不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(e1＋e2)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e2－e1，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋e2，給出下列結論：①A，B，C共線；②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線，其中所有正確結論的序號為________．【答案】④【解析】由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝4e1＋2e2＝2eq\o(CD,\s\up6(→))且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))不共線，可得A，C，D共線且B不在此直線上．8．(2015年北京)在△ABC中，點M，N滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________；y＝________.【答案】eq\f(1,2)－eq\f(1,6)【解析】由題中條件得，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).9．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線，向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實數λ，μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？【解析】∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應有實數k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.故存在這樣的實數λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．10．如圖，四邊形ABCD是一個等腰梯形，AB∥DC，M，N分別是DC，AB的中點，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→)).【解析】eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－a＋b＋c.因為eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))，所以2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－b－(－a＋b＋c)＝a－2b－c.所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.eq\o(DN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b－c.[B級能力提升]11．已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，則()A．點P在線段AB上 B．點P在線段AB的反向延長線上C．點P在線段AB的延長線上 D．點P不在直線AB上【答案】B【解析】因為2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).所以點P在線段AB的反向延長線上，故選B．12．設a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數p的值是()A．－2 B．－1 C．1 D．【答案】B【解析】∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又A，B，D三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．設eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，∴2a＋pb＝λ(2a－b)．∴2＝2λ，p＝－λ.∴λ＝1，p＝－1.13．O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的()A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】如圖，作∠BAC的平分線AD．∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λ′·eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)(λ′∈[0，＋∞))．∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up6(→))|)·eq\o(AD,\s\up6(→)).∴eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→)).∴P的軌跡一定通過△ABC的內心．14．設G為△ABC的重心，且sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，則角B的大小為()A．45° B．60° C．30° D．15°【答案】B【解析】∵G是△ABC的重心，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(GA,\s\up6(→))＝－(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，將其代入sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，得(sinB－sinA)eq\o(GB,\s\up6(→))＋(sinC－sinA)eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.又eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))不共線，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，則sinB＝sinA＝sinC．根據正弦定理知b＝a＝c，∴△ABC是等邊三角形，則角B＝60°.故選B．15．若點O是△ABC所在平面內的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為________．【答案】直角三角形【解析】eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形．16．(2016年廣州調研)已知△ABC和點M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在實數m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m＝________.【答案】3【解析】由已知條件得eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝－eq\o(MA,\s\up6(→))，如圖，延長AM交BC于D點，則D為BC的中點．延長BM交AC于E點，延長CM交AB于F點，同理可證E，F分別為AC，AB的中點，即M為△ABC的重心，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，則m＝3.17．若a，b是兩個不共線的非零向量，則當t為何值時，共起點的三向量a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)的終點在同一條直線上？【解析】設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝tb－a.要使A，B，C三點共線，只需eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.∵a與b為不共線的非零向量，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＝－λ，,\f(1,3)＝λt))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,t＝\f(1,2).))∴當t＝eq\f(1,2)時，三向量終點在同一直線上．18．已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若