PAGEPAGE14數列在日常經濟生活中的應用[A基礎達標]1．某工廠總產值月平均增長率為p，則年平均增長率為()A．p B．12pC．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1解析：選D.設原有總產值為a，年平均增長率為r，則a(1＋p)12＝a(1＋r)，解得r＝(1＋p)12－1，故選D.2．某種產品安排每年降低成本q%，若三年后的成本是a元，則現在的成本是()A．a3q% B．a·(q%)3C．a(1－q%)3 D．eq\f(a,（1－q%）3)解析：選D.設現在的成本為x元，則x(1－q%)3＝a，所以x＝eq\f(a,（1－q%）3)，故選D.3．某工廠2012年年底制訂生產安排，要使工廠的總產值到2024年年底在原有基礎上翻兩番，則總產值年平均增長率為()A．2eq\s\up6(\f(1,4))－1 B．2eq\s\up6(\f(1,5))－1C．3eq\s\up6(\f(1,4))－1 D．3eq\s\up6(\f(1,5))－1解析：選A.設2012年年底總產值為a，年平均增長率為x，則a(1＋x)8＝4a，得x＝2eq\s\up6(\f(1,4))－1，故選A.4．某企業2015年12月份產值是這年1月份產值的p倍，則該企業2015年度的產值月平均增長率為()A.eq\r(12,p) B．eq\r(12,p)－1C.eq\r(11,p)－1 D．eq\r(11,p)解析：選C.設2015年1月份產值為a，則12月份的產值為pa，假設月平均增長率為r，則a(1＋r)11＝pa，所以r＝eq\r(11,p)－1.故選C.5．某人為了觀看2014世界杯，從2007年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款均自動轉為新的一年定期，到2014年將全部的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(元)為()A．a(1＋p)7B．a(1＋p)8C.eq\f(a,p)[(1＋p)7－(1＋p)]D.eq\f(a,p)[(1＋p)8－(1＋p)]解析：選D.2007年存入的a元到2014年所得的本息和為a(1＋p)7，2008年存入的a元到2014年所得的本息和為a(1＋p)6，依次類推，則2013年存入的a元到2014年的本息和為a(1＋p)，每年所得的本息和構成一個以a(1＋p)為首項，1＋p為公比的等比數列，則到2014年取回的總額為a(1＋p)＋a(1＋p)2＋…＋a(1＋p)7＝eq\f(a（1＋p）[1－（1＋p）7],1－（1＋p）)＝eq\f(a,p)[(1＋p)8－(1＋p)]．6．小王每月除去全部日常開支，大約結余a元．小王確定采納零存整取的方式把余錢積蓄起來，每月初存入銀行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假設一年期零存整取的月利率為r，每期存款按單利計息．那么，小王存款到期利息為________元．解析：由題意知，小王存款到期利息為12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝eq\f(12（12＋1）,2)ar＝78ar.答案：78ar7．某人買了一輛價值10萬元的新車，專家預料這種車每年按10%的速度折舊，n年后這輛車的價值為an元，則an＝________，若他準備用滿4年時賣掉這輛車，他大約能得到________元．解析：n年后這輛車的價值構成等比數列{an}，其中，a1＝100000×(1－10%)，q＝1－10%，所以an＝100000×(1－10%)n，所以a4＝100000×(1－10%)4＝65610(元)．答案：100000×(1－10%)n656108．有這樣一首詩：“有個學生資性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，問君每日讀多少？”(注：《孟子》全書約34685字，“一倍多”指一倍)，由此詩知該君其次日讀了________字．解析：設第一日讀的字數為a，由“每日添增一倍多”得此數列是以a為首項，公比為2的等比數列，可求得三日共讀的字數為eq\f(a（1－23）,1－2)＝7a＝34685，解得a＝4955，則2a＝9910，即該君其次日讀的字數為9910.答案：99109．某銀行設立了教化助學貸款，其中規定一年期以上貸款月均等額還本付息(利息按月以復利計算)．假如貸款10000元，兩年還清，月利率為0.4575%，那么每月應還多少錢呢？解：貸款10000元兩年到期時本金與利息之和為：10000×(1＋0.4575%)24＝10000×1.00457524(元)．設每月還x元，則到期時總共還x＋1.004575x＋…＋1.00457523x＝x·eq\f(1－1.00457524,1－1.004575).于是x·eq\f(1－1.00457524,1－1.004575)＝10000×1.00457524.所以x≈440.91(元)．即每月應還440.91元．10．甲、乙兩超市同時開業，第一年的全年銷售額為a萬元，由于經營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為eq\f(a,2)(n2－n＋2)萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－1)萬元．(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式；(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，推斷哪一超市有可能被收購？假如有這種狀況，將會出現在第幾年？解：(1)設甲、乙兩超市第n年的銷售額分別為an，bn.則有a1＝a，當n≥2時，an＝eq\f(a,2)(n2－n＋2)－eq\f(a,2)[(n－1)2－(n－1)＋2]＝(n－1)a，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n＝1，,（n－1）a，n≥2.))bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n－1)))a(n∈N＋)．(2)易知bn＜3a，所以乙超市將被甲超市收購，由bn＜eq\f(1,2)an，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n－1)))a＜eq\f(1,2)(n－1)a.所以n＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－1)＞7，所以n≥7，即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購．[B實力提升]11．某商場今年銷售計算機5000臺，假如平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約多少年可以使總銷售量達到30000臺？(結果保留到個位)(參考數據：lg1.1≈0.041，lg1.6≈0.204)()A．3年 B．4年C．5年 D．6年解析：選C.設大約n年可使總銷售量達到30000臺，由題意知：每年銷售量構成一個等比數列，首項為a1＝5000臺，公比q＝1.1，Sn＝30000，所以由30000＝eq\f(5000（1－1.1n）,1－1.1)?1.1n＝1.6?n＝eq\f(lg1.6,lg1.1)≈5，故選C.12．商家通常依據“樂觀系數準則”確定商品銷售價格，即依據商品的最低銷售限價a，最高銷售價b(b>a)以及實數x(0<x<1)確定實際銷售價格c＝a＋x(b－a)．這里，x被稱為樂觀系數．閱歷表明，最佳樂觀系數x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項．據此可得，最佳樂觀系數x的值等于________．解析：由已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2，因為b>a，b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝eq\f(－1±\r(5),2)，因為0<x<1，所以最佳樂觀系數x的值等于eq\f(－1＋\r(5),2).答案：eq\f(－1＋\r(5),2)13．某商人到一創業園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元，設f(n)表示前n年的純收入．求從第幾年起先獲得純利潤？(f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額)解：由題意，知每年的經費是以12為首項，4為公差的等差數列．設純利潤與年數的關系為f(n)，則f(n)＝50n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12n＋\f(n（n－1）,2)×4))－72＝－2n2＋40n－72.獲得純利潤就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.又n∈N＋，知從第三年起先獲利．14．(選做題)某林場為了愛護生態環境，制定了植樹造林的兩個五年安排，第一年植樹16a畝，以后每年植樹面積都比上一年增加50%，但從第六年起先，每年植樹面積都比上一年削減a畝．(1)求該林場第六年植樹的面積；(2)設前n(1≤n≤10且n∈N＋)年林場植樹的總面積為Sn畝，求Sn的表達式．解：(1)該林場前五年的植樹面積分別為16a，24a，36a，54a，81a.所以該林場第六年植樹面積為80a畝．(2)設第n年林場植樹的面積為an畝，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n－1)×16a，1≤n≤5，n∈N＋，,（86－n）a，6≤n≤10，n∈N＋.))所以當1≤n≤5時，Sn＝16a＋24a＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－1)×16a＝eq\f(16a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n))),1－\f(3,2))＝32aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n)－1)).當6≤n≤10時，Sn＝16a＋24a＋36a＋54a＋81a＋80a＋…＋(86－n)a＝211a＋80a＋…＋(86－n)