立體幾何第八章第2講空間點、線、面的位置關系欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練【考綱導學】1．理解空間直線、平面位置關系的定義．2．了解可以作為推理依據的公理和定理．3．能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題．課前基礎診斷11．平面的基本性質(1)公理1：如果一條直線上的______在一個平面內，那么這條直線在此平面內．(2)公理2：過__________________的三點，有且只有一個平面．(3)公理3：如果兩個不重合的平面有______公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．(4)公理2的三個推論：推論1：經過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經過兩條______直線有且只有一個平面；推論3：經過兩條______直線有且只有一個平面．兩點不在同一條直線上一個相交平行平行相交任何銳角(或直角)

同一條直線相等或互補3．直線與平面、平面與平面之間的位置關系(1)直線與平面的位置關系有______、______、______________三種情況．(2)平面與平面的位置關系有______、______兩種情況．相交平行直線在平面內平行相交1．下列命題正確的是(

)A．經過三點確定一個平面．B．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面．C．經過一條直線和一個點確定一個平面．D．四邊形確定一個平面．【答案】B2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BD與A1C1的位置關系是(

)A．平行 B．相交C．異面但不垂直 D．異面且垂直【答案】D3．已知α，β為兩個平面，l為直線．若α⊥β，α∩β＝l，則(

)A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直線l的直線一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直線lD．垂直于直線l的平面一定與平面α，β都垂直【答案】D4．(教材習題改編)如圖所示，已知在長方體ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，則BC和EG所成角的大小是________，AE和BG所成角的大小是________．【答案】45°

60°判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)兩個不重合的平面只能把空間分成三、四個部分．(

)(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于A點，記作α∩β＝A．(

)(3)梯形確定一個平面．(

)(4)已知空間四點A，B，C，D確定唯一一個平面，那么這四個點中至少有三點共線．(

)(5)異面直線a，b不垂直，則過a的任何平面與b都不垂直．(

)(6)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

(6)×課堂考點突破2平面基本性質的應用

(1)(2016年衡水校級月考)空間不共線的四點，可以確定平面的個數是(

)A．0

B．1C．1或4

D．無法確定(2)以下四個命題中，正確命題的個數是(

)①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0

B．1

C．2

D．3【答案】(1)C

(2)B【規律方法】(1)證明點或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點共線問題的兩種方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上．(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．【跟蹤訓練】1．在空間四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，則下列命題中正確的是(

)A．E，F，G，H四點不共面B．四邊形EFGH是梯形C．EG⊥FHD．四邊形EFGH是矩形空間兩條直線的位置關系

(1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是(

)A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行【答案】(1)D

(2)②④

【解析】(1)連接B1C，B1D1，則點M是B1C的中點，MN是△B1CD1的中位線，∴MN∥B1D1.∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1與B1D1相交，∴MN與A1B1不平行，故選D．(2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②④中GH與MN異面．【規律方法】空間中兩直線位置關系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質、公理4及線面平行與面面平行的性質定理；對于垂直關系，往往利用線面垂直的性質來解決．【跟蹤訓練】2．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結論一定正確的是(

)A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行 D．l1與l4的位置關系不確定【答案】D

【解析】構造如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當取l4為B1C1時，l1∥l4，當取l4為BB1時，l1⊥l4，故排除A、B、C，選D．異面直線所成的角【規律方法】(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”．其中空間選點任意，但要靈活，經常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線、平行四邊形等進行平移，作出異面直線所成的角，轉化為解三角形問題，進而求解．課后感悟提升32種方法——異面直線的判定方法(1)判定定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過該點的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面，從而可得兩直線異面．3個作用——3個公理的作用(1)公理1的作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內；③由直線在平面內判斷直線上的點在平面內；④由直線的直刻畫平面的平．(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點共線．1．(2016年浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(

)A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n【答案】C

【解析】∵互相垂直的平面α，β交于直線l，直線m，n滿足m∥α，∴m∥β或m?β或m與β相交，l?β.∵n⊥β，∴n⊥l.故選C．2．(2015年安徽)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是(

)A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若α，β不平行，則在α內不存在與β平行的直線D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面【答案】D

【解析】對于A，若α，β垂直于同一平面，則α與β不一定平行，例如墻角的三個平面．故A錯誤；對于B，若m，n平行于同一平面，則m與n平行，相交或者異面．故B錯誤；對于C，若α，β不平行，則在α內存在無數條與β平行的直線．故C錯誤；對于D，若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面．假設兩條直線同時垂直同一個平面，則這兩條在平行．故D正確．3．(2015年廣東)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內，l2在平面β內，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(

)A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交【答案】D

【解析】A．l與l1，l2可以相交，如圖，∴該選項錯誤．B．l可以和l1，