四月數學每周好題精選（第一周）1.已知奇函數的定義域為R，若為偶函數，且，則的值為()A.-1 B.0 C.1 D.22.設非零向量，，若，則()A. B. C. D.3.已知集合，，則()A. B. C. D.4.某個單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有()A.504種 B.960種 C.1008種 D.1200種5.已知函數對任意都有，若在上的值域為，則實數的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知等差數列的公差，且，，成等比數列，則數列的前2025項和為()A. B. C.505 D.10137.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，，則()A.或 B. C.或 D.或8.在平行六面體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.9.（多選）已知某地7歲兒童的身高X（單位：cm）服從正態分布，且，則下列說法正確的是()A.從該地7歲兒童中任選1名兒童，其身高不低于的概率是0.5B.從該地7歲兒童中任選1名兒童，其身高低于的概率是0.7C.從該地7歲兒童中任選1名兒童，其身高超過與不超過的概率相等D.從該地7歲兒童中任選2名兒童，這2名兒童身高都高于的概率為0.1810.（多選）設正實數x，y滿足，則下列說法正確的是()A.的最小值為2 B.的最小值為1C.的最大值為4 D.的最小值為211.（多選）定義域為R的函數滿足，且函數的圖像關于直線對稱，則()A.的圖像關于點對稱 B.的圖像關于點對稱C. D.若，則12.（多選）函數的導函數的圖象如圖所示，下列命題中正確的是()A.是函數的極值點 B.在區間上單調遞增C.是函數的最小值點 D.在處切線的斜率小于零13.已知，為雙曲線的左、右焦點，圓與E相交于點P（點P位于第一象限），若，則E的離心率為________.14.已知復數z滿足，則________.15.笛卡爾坐標系是直角坐標系與斜角坐標系的統稱.如圖，在平面斜角坐標系xOy中，兩坐標軸的正半軸的夾角為，，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量.若向量，則稱有序實數對為在該斜角坐標系下的坐標.若向量，在該斜角坐標系下的坐標分別為，，且，則實數k的值為_______________.16.已知函數.(1)當時，求函數在點處的切線方程；(2)求函數的單調區間；(3)若不等式恒成立，求整數a的最大值.17.如圖，在四棱錐中，，，底面是邊長為的菱形，.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成角的正切值為2，點Q滿足，求直線與平面所成角的余弦值.18.近年來畢業旅行的熱度明顯上升.對于遠程旅行，飛機和高鐵是兩種主要的出行方式.某平臺對2020～2024年畢業季畢業生購買飛機票的數量y（單位：萬張）進行了統計，得到如下相關數據：年份20202021202220232024年份代碼t12345y/萬張3036516078（1）分析上述統計表可知y與t有較強的線性相關關系，求y關于t的經驗回歸方程.（2）通過調查發現女性比男性更愿意選擇坐高鐵出行.某平臺隨機抽查某天在該平臺（只出售飛機票和高鐵票）購票的400名畢業生（每人只購一張票）作為樣本，其中女性購買高鐵票的有N名，購買飛機票的有90名，男性購買高鐵票的有40名.（ⅰ）當時，將樣本中購買飛機票的男性人數與樣本中購買飛機票的總人數的比例作為概率，用樣本估計總體，結合（1）的結果估計2026年畢業季在該平臺購買飛機票的畢業生中的男性人數（四舍五入保留整數）.（ⅱ）用樣本的頻率估計概率.設女性畢業生中購買飛機票的概率為p，從所有女性畢業生中隨機抽出5名，記恰好有3名女性購買飛機票的概率為，當取得最大值時，求N的值.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.

答案以及解析1.答案：A解析：∵為R上的奇函數，∴，則，即，∵為偶函數，∴，∴，，∴，，則，故選：A.2.答案：D解析：因為，所以，所以，因為非零向量，所以，所以，所以，故選：D.3.答案：B解析：因為對數函數是上的減函數，所以由，得，則；因為指數函數是R上的增函數，所以由，得，則，由此，.故選：B.4.答案：C解析：依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有（種），其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班的方法共有（種）；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在5月7日值班的方法共有(種)；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(種).因此滿足題意的方法共有(種).故選：C.5.答案：A解析：依題意，其中，又因為對于任意，都有，則有，即，，解得，則，取，則，因為在上的值域為，則，解得.故選：A.6.答案：D解析：設首項為，因為，，成等比數列，所以，則，解得或，當時，，此時與，，成等比數列矛盾，故排除，當時，，此時令，而其前2025項和為.故選：D7.答案：D解析：的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，，可得，可得，可得，故，或，即或，又，可得，，，或.故選：D.8.答案：A解析：在平行六面體中，，，而，，則，，，，因此，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A9.答案：AC解析：因為，所以A正確；從該地7歲兒童中任選1名兒童，其身高低于的概率為，所以B錯誤；由，，可得C正確；從該地7歲兒童中任選2名兒童，這2名兒童身高都高于的概率為，所以D錯誤.故選AC.10.答案：AD解析：對于A，因為，，，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為2，故A正確；對于B，，當且僅當時等號成立，所以的最大值為1，故B錯誤；對于C，，當且僅當時等號成立，所以，即的最大值為2，故C錯誤；對于D，，當且僅當時等號成立，所以的最小值為2，故D正確.故選：AD.11.答案：ACD解析：由，得，所以，所以的圖像關于點對稱，故選項A正確；由得，即，所以的圖像關于點對稱，又因為函數的圖像關于直線對稱，則，所以，所以，所以，即，所以是周期函數，且周期為，故選項B錯誤，C正確；若，且的圖像關于點對稱，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12.答案：AB解析：根據導函數圖象可知：當時，，在時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，故B正確；則是函數的極小值點，故A正確；在上單調遞增，不是函數的最小值點，故C不正確；函數在處的導數大于0，切線的斜率大于零，故D不正確.故選：AB13.答案：解析：由圓，則圓以為直徑的圓，又由P是雙曲線與圓的交點，則，，由，則，，所以，在直角中，則，故.故答案為：.14.答案：解析：令，則有，即，，解得，即，.故答案為：.15.答案：14解析：由題意得，，，故，解得.故答案為：14.16.答案：(1)；(2)增區間，減區間；(3)解析：（1）函數的定義域為R，，則曲線在點處的切線為，即.（2）因為，時，由，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.綜上所述，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（3）依題知，恒成立，即恒成立，設，則，當時，由，得，由，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則恒成立，整理得.設，則恒成立，所以在上單調遞增，又，且，，故整數a的最大值為.17.答案：(1)證明見解析(2)解析：（1）連接交于點O，連接，因為是菱形，所以，又因為O為的中點，，所以，又面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）過P作交于點H，面面，，面面，面，所以面，因為，，面，，所以面，又面，所以，所以H為，的交點，為等邊三角形，所以H為的重心，設與交點為M，連接，則為二面角的平面角，因為，，在中，解得，因為，，所以，所以平面，以O為原點，，，所在直線為x，y，z軸建立如圖坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，令，可得：，，即，又，設平面和直線所成的角為，則，所以.18.答案：（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）解析：（1）由題意得，，，，所以，，所以y關于t的經驗回歸方程為.（2）（ⅰ）由題意知，400名畢業生中男性有（名），故樣本中購買飛機票的男性有（名），樣本中購買飛機票