山東省沂南一中2025屆高三4月模擬數學試題試卷試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A． B．3 C． D．42．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．3．已知函數，若有2個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知等差數列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．145．在中，，分別為，的中點，為上的任一點，實數，滿足，設、、、的面積分別為、、、，記（），則取到最大值時，的值為（）A．－1 B．1 C． D．6．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．7．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個數為（）A． B． C． D．8．復數滿足，則復數等于（）A． B． C．2 D．-29．如圖所示，正方體的棱，的中點分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．10．已知數列的通項公式是，則（）A．0 B．55 C．66 D．7811．函數圖象的大致形狀是（）A． B．C． D．12．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率等于()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則_____.14．能說明“在數列中，若對于任意的，，則為遞增數列”為假命題的一個等差數列是______.（寫出數列的通項公式）15．如圖，在等腰三角形中，已知，，分別是邊上的點，且,其中且，若線段的中點分別為，則的最小值是_____.16．函數（為自然對數的底數，），若函數恰有個零點，則實數的取值范圍為__________________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，點的坐標為，直線的參數方程為（為參數，為常數，且）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系，圓的極坐標方程為.設點在圓外.（1）求的取值范圍.（2）設直線與圓相交于兩點，若，求的值.18．（12分）已知數列中，，前項和為，若對任意的，均有（是常數，且）成立，則稱數列為“數列”.（1）若數列為“數列”，求數列的前項和；（2）若數列為“數列”，且為整數，試問：是否存在數列，使得對任意，成立？如果存在，求出這樣數列的的所有可能值，如果不存在，請說明理由.19．（12分）設函數，，其中，為正實數.（1）若的圖象總在函數的圖象的下方，求實數的取值范圍；（2）設，證明：對任意，都有.20．（12分）已知，，不等式恒成立.（1）求證:（2）求證:.21．（12分）設數列是等差數列，其前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）證明：.22．（10分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線的參數方程為（為參數），曲線的極坐標方程為；（1）求直線的直角坐標方程和曲線的直角坐標方程；(2）若直線與曲線交點分別為，，點，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】由正弦定理及條件可得，即.，∴，由余弦定理得。∴.選B。2．A【解析】

首先找出與面所成角，根據所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據同角三角函數關系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設中點為，連接，，可知，，同時易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.3．C【解析】

令，可得，要使得有兩個實數解，即和有兩個交點，結合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個實數解，即和有兩個交點，，令，可得，當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減.當時，，若直線和有兩個交點，則.實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據零點求參數范圍，解題關鍵是掌握根據零點個數求參數的解法和根據導數求單調性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.4．A【解析】

設等差數列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設等差數列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【點睛】本題主要考查了等差數列的基本量求解,屬于基礎題.5．D【解析】

根據三角形中位線的性質，可得到的距離等于△的邊上高的一半，從而得到，由此結合基本不等式求最值，得到當取到最大值時，為的中點，再由平行四邊形法則得出，根據平面向量基本定理可求得，從而可求得結果.【詳解】如圖所示：因為是△的中位線，所以到的距離等于△的邊上高的一半，所以，由此可得，當且僅當時，即為的中點時，等號成立，所以，由平行四邊形法則可得，，將以上兩式相加可得，所以，又已知，根據平面向量基本定理可得，從而.故選：D【點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，考查了平面向量基本定理的應用，考查了基本不等式求最值，屬于中檔題.6．A【解析】

求出集合，然后進行并集的運算即可.【詳解】∵，，∴.故選：A.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運算，屬于基礎題.7．C【解析】

利用線線、線面、面面相應的判定與性質來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當直線平行于平面與平面的交線時也有，，故②錯誤；若，則垂直平面內以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因為，所以，從而，故④正確.故選：C.【點睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關系，里面涉及到了相應的判定定理以及性質定理，是一道基礎題.8．B【解析】

通過復數的模以及復數的代數形式混合運算，化簡求解即可.【詳解】復數滿足，∴，故選B.【點睛】本題主要考查復數的基本運算，復數模長的概念，屬于基礎題．9．C【解析】

以D為原點，DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值．【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則，，，取平面的法向量為，設直線EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C．【點睛】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數形結合思想和向量法的應用，屬于中檔題．10．D【解析】

先分為奇數和偶數兩種情況計算出的值，可進一步得到數列的通項公式，然后代入轉化計算，再根據等差數列求和公式計算出結果.【詳解】解：由題意得，當為奇數時，，當為偶數時，所以當為奇數時，；當為偶數時，，所以故選：D【點睛】此題考查數列與三角函數的綜合問題，以及數列求和，考查了正弦函數的性質應用，等差數列的求和公式，屬于中檔題.11．B【解析】

判斷函數的奇偶性，可排除A、C，再判斷函數在區間上函數值與的大小，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以函數是奇函數，可排除A、C；又當，，可排除D；故選：B.【點睛】本題考查函數表達式判斷函數圖像，屬于中檔題.12．B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為，即，所以，選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

對原方程兩邊求導，然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導，得，令，則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式，考查利用導數轉化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.14．答案不唯一，如【解析】

根據等差數列的性質可得到滿足條件的數列.【詳解】由題意知，不妨設，則，很明顯為遞減數列，說明原命題是假命題.所以，答案不唯一，符合條件即可.【點睛】本題考查對等差數列的概念和性質的理解，關鍵是假設出一個遞減的數列，還需檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎題.15．【解析】

根據條件及向量數量積運算求得,連接,由三角形中線的性質表示出.根據向量的線性運算及數量積公式表示出,結合二次函數性質即可求得最小值.【詳解】根據題意,連接,如下圖所示:在等腰三角形中,已知,則由向量數量積運算可知線段的中點分別為則由向量減法的線性運算可得所以因為,代入化簡可得因為所以當時,取得最小值因而故答案為:【點睛】本題考查了平面向量數量積的綜合應用,向量的線性運算及模的求法,二次函數最值的應用,屬于中檔題.16．【解析】

令，則，恰有四個解.由判斷函數增減性，求出最小值，列出相應不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個解.有兩個解，由，可得在上單調遞減，在上單調遞增，則，可得.設的負根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點睛】本題考查導數在函數當中的應用，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）首先將曲線化為直角坐標方程，由點在圓外，則解得即可；（2）將直線的參數方程代入圓的普通方程，設、對應的參數分別為，列出韋達定理，由及在圓的上方，得，即即可解得；【詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程為.由點在圓外，得點的坐標為，結合，解得.故的取值范圍是.（2）由直線的參數方程，得直線過點，傾斜角為，將直線的參數方程代入，并整理得，其中.設、對應的參數分別為，則，.由及在圓的上方，得，即，代入①，得，，消去，得，結合，解得.故的值是.【點睛】本題考查極坐標方程化為直角坐標方程，直線的參數方程的幾何意義的應用，屬于中檔題.18．（1）（2）存在，【解析】

由數列為“數列”可得,，，兩式相減得，又，利用等比數列通項公式即可求出,進而求出;由題意得，，，兩式相減得，，據此可得,當時,,進而可得,即數列為常數列,進而可得,結合，得到關于的不等式,再由時，且為整數即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因為數列為“數列”，所以，故，兩式相減得，在中令，則可得，故所以，所以數列是以為首項,以為公比的等比數列，所以，因為，所以.（2）由題意得，故，兩式相減得所以，當時，又因為所以當時,所以成立,所以當時，數列是常數列，所以因為當時,成立,所以，所以在中令，因為，所以可得，所以，由時，且為整數，可得,把分別代入不等式可得,，所以存在數列符合題意,的所有值為.【點睛】本題考查數列的新定義、等比數列的通項公式和數列遞推公式的運用;考查運算求解能力、邏輯推理能力和對新定義的理解能力;通過反復利用遞推公式,得到數列為常數列是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.19．（1）（2）證明見解析【解析】

(1)據題意可得在區間上恒成立，利用導數討論函數的單調性，從而求出滿足不等式的的取值范圍；(2)不等式整理為，由(1)可知當時，，利用導數判斷函數的單調性從而證明在區間上成立，從而證明對任意，都有.【詳解】（1）解：因為函數的圖象恒在的圖象的下方，所以在區間上恒成立.設，其中，所以，其中，.①當，即時，，所以函數在上單調遞增，，故成立，滿足題意.②當，即時，設，則圖象的對稱軸，，，所以在上存在唯一實根，設為，則，，，所以在上單調遞減，此時，不合題意.綜上可得，實數的取值范圍是.（2）證明：由題意得，因為當時，，，所以.令，則，所以在上單調遞增，，即，所以，從而.由（1）知當時，在上恒成立，整理得.令，則要證，只需證.因為，所以在上單調遞增，所以，即在上恒成立.綜上可得，對任意，都有成立.【點睛】本題考查導數在研究函數中的作用，利用導數判斷函數單調性與求函數最值，利用導數證明不等式，屬于難題.20．（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）先根據絕對值不等式求得的最大值，從而得到，再利用基本不等式進行證明；（2）利用基本不等式變形得，兩邊開平方得到新的不等式，利用同理可得另外兩個不等式，再進行不等式相加，即可得答案.【詳解】（1）∵，∴.∵，，，∴，∴，∴.（2）∵，，即兩邊開平方得.同理可得，.三式相加，得.【點睛】本題考查絕對值不等式、應用基本不等式證明不等式，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和推理