第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市吳江區(qū)震澤中學(xué)高二（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若f(x)在R上可導(dǎo)，f(x)=3x2?5f′(2)x?2，則f′(2)=A.1 B.?1 C.?2 D.22.已知函數(shù)f(x)=12x2?lnx，則函數(shù)f(x)在A.12 B.e22 C.13.三次函數(shù)f(x)=mx3?x2?x在(?∞,+∞)A.(?∞,?13] B.(?∞,1) C.(?∞,?4.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，函數(shù)g(x)=(x?1)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)的極大值為f(?2)，極小值為f(2)

B.f(x)在(?2,1)，(2,+∞)上單調(diào)遞增

C.f(x)的極小值為f(?2)，極大值為f(2)

D.f(x)在(?∞,?2)，(1,2)上單調(diào)遞減5.已知函數(shù)f(x)=asin3x+bx3+3(a∈R,b∈R)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(2021)+f(?2021)+f′(2022)?f′(?2022)=A.0 B.2021 C.2022 D.66.已知函數(shù)f(x)=(x2?4x+1)ex?aA.(?2e3,0) B.(?6e,0)7.若m為函數(shù)f(x)=m(x?m)2(n?x)(其中m≠0)的極小值點(diǎn)，則A.m>n>0 B.m<n<0 C.mn>m2 8.已知函數(shù)f(x)=ax2?2x+lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2，若不等式f(xA.[?4,+∞) B.[?5,+∞) C.[?6,+∞) D.[?7,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知點(diǎn)A(1,2)在函數(shù)f(x)=ax3的圖象上，則過點(diǎn)A的曲線C：y=f(x)的切線方程是(

)A.6x?y?4=0 B.x?4y+7=0 C.4x?y+7=0 D.3x?2y+1=010.關(guān)于函數(shù)f(x)=1x+lnx，下列說法正確的是A.f(1)是f(x)的極小值 B.函數(shù)y=f(x)?x有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C.f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞減 D.設(shè)g(x)=xf(x)，則g(11.已知函數(shù)f(x)=a2x?x(a>0,a≠1)，則下列結(jié)論中正確的是A.函數(shù)f(x)恒有1個(gè)極值點(diǎn)

B.當(dāng)a=e時(shí)，曲線y=f(x)恒在曲線y=lnx+2上方

C.若函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，則1<a<e12e

D.若過點(diǎn)P(0,t)存在2條直線與曲線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數(shù)y=12x13.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??π2,π2)，其導(dǎo)函數(shù)是f′(x).有f′(x)cosx+f(x)sinx<0，則關(guān)于14.設(shè)函數(shù)f(x)=ex?ax2?ex，若在(0,+∞)上有且只有一個(gè)正整數(shù)x0四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=?x3+3x2+9x?2．

(1)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；16.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx?ax．

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意x∈(0,+∞)，f(x)≤x2+2恒成立，求實(shí)數(shù)17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ex?1lnx，g(x)=x2?x．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x22?a(x?1)+(a?1)lnx,a>1．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(m)=f(1)且m>1，證明：?x∈(1,m)19.(本小題12分)

設(shè)函數(shù)f(x)=k(x?1)ex+x(k>0)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，k為實(shí)數(shù)．

(1)若f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)求f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)若不等式f(x)?x?elnx≥0在[1,+∞)上恒成立，求k參考答案1.D

2.D

3.A

4.A

5.D

6.D

7.C

8.B

9.AD

10.ABD

11.BCD

12.(0,1)

13.(π14.(0,e15.解：(1)因?yàn)閒(x)=?x3+3x2+9x?2，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，

則f′(x)=?3x2+6x+9，∴f(1)=9，f′(1)=12，

所以函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y?9=12(x?1)，即12x?y?3=0．

(2)因?yàn)閤(?∞,?1)?1(?1,3)3(3,+∞)f′(x)?0+0?f(x)減極小值增極大值減所以函數(shù)f(x)的極小值為f(?1)=?7，極大值為f(3)=25．

16.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=lnx+1，x>0，

令f′(x)<0，解得0<x<1e，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1e)，

令f′(x)>0，解得x>1e，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1e,+∞)，

綜上，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1e)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1e,+∞)．

(2)由任意x∈(0,+∞)，f(x)≤x2+2知xlnx≤x2+ax+2恒成立．

因x>0，故a≥lnx?x?2x，在x∈(0,+∞)上恒成立．

設(shè)?(x)=lnx?x?2x(x>0)，則?′(x)=1x?1+2x2=?(x?2)(x+1)x2，

當(dāng)17.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)=ex?1lnx+ex?1x=ex?1(lnx+1x)，

記?(x)=lnx+1x，則?′(x)=1x?1x2=x?1x2，

所以當(dāng)0<x<1時(shí)，?′(x)<0，函數(shù)?(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>1時(shí)，?′(x)>0，函數(shù)?(x)單調(diào)遞增，

所以?(x)≥?(1)=1，

所以f′(x)=ex?1(lnx+1x)>0，

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(2)原不等式為ex?1lnx≤x2?x=x(x?1)，即lnxx≤x?1ex?1，

即證lnxelnx≤x?1ex?1在x∈(0,2)上恒成立，

設(shè)l(x)=xex，則l′(x)=ex?xex(ex)218.19.解：(1)f′(x)=kxex+1，

因?yàn)閒(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，

所以f′(x)=kxex+1≥0對?x∈(?∞,0)恒成立，

令g(x)=kxex+1，x∈(?∞,0)，則g′(x)=k(x+1)ex，

則當(dāng)x<?1

時(shí)，g′(x)<0，當(dāng)?1<x<0

時(shí)，g′(x)>0，

故g(x)在(?∞,?1)上遞減，在(?1,0)上遞增，

則g(x)min=g(?1)=?ke+1，

依題意，需使?ke+1≥0，即k≤e，故得：0<k≤e，

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0,e]；

(2)由f(x)=k(x?1)ex+x，得f′(x)=kxex+1，

因?yàn)閗>0，若x≤0，則f(x)<0，f(x)無零點(diǎn)，

當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上遞增，

注意到f(0)=?k<0，f(1)=1>0，

由零點(diǎn)存在定理，f(x)在(0,1)上有唯一的零點(diǎn)；

所以f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

(3)不等式f(x)?x?elnx≥0在[1,+∞)上恒成立，

即不等式k(x?1)ex?elnx≥0在[1,+∞)上恒成立，

令F(x)=k(x?1)ex?elnx，x∈[1,+∞)，

又F(1)=0，所以F(x)≥F(1)在[1,+∞)上恒成立，

當(dāng)k≥1時(shí)，F(xiàn)′(x)=kxex?ex，

令?(x)=F′(x)=kxex?ex，則?′(x)=k(x+1)ex+ex2>0,x∈[1,+∞),

所以函數(shù)?(x)在[1,+