第26章二次函數26.1二次函數學習目標1.掌握二次函數的定義，運用二次函數的定義判斷是不是二次函數.2.運用二次函數的定義求字母的取值范圍.3.通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義.知識點1二次函數的定義例1把二次函數y＝4(x－1)2＋5化為一般形式為______________，它的二次項系數、一次項系數和常數項分別為________、________、________．練1下列是二次函數的是__________(填序號)．①y＝2x2－3x；②y＝x3＋2；③y＝eq\r(x2)＋x－1；④y＝ax2－3x；⑤y＝(x－3)2－x2.例2已知關于x的函數y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.(1)當a________，b________時，此函數是一次函數；(2)當a________，b________時，此函數是二次函數．練2填空：(1)已知y＝xm－x－1是關于x的二次函數，則實數m＝________；(2)若y＝(2－a)xa2－2是關于x的二次函數，則a的值是________．知識點2建立二次函數模型表示變量之間的關系例3[華師九下P4“習題26.1”第4題]一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個半圓，下部是一個矩形，矩形的一邊長為2.5m．求：(1)隧道截面的面積S(m2)與上部半圓的半徑r(m)之間的函數關系式；(2)當上部半圓的半徑為2m時的截面面積(精確到0.1m2)．練3用一根長16cm的鐵絲圍成一個矩形，矩形面積為ycm2，矩形一邊長為xcm.(1)寫出y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(2)當x＝2時，y的值為________．例4如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝2eq\r(2).動點P從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PD⊥AC于點D(點P不與點A，B重合)，作∠DPQ＝45°，邊PQ交射線DC于點Q.設點P的運動時間為ts.(1)線段DC的長為__________(用含t的式子表示)；(2)當點Q與點C重合時，求t的值；(3)設△PDQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數關系式．1．下列函數中，是二次函數的是()A．y＝8x2＋1B．y＝8x＋1C．y＝eq\f(8,x)D．y＝eq\f(8,x2)2．某種商品的價格是200元，準備進行兩次降價．如果每次降價的百分率都是x，經過兩次降價后的價格y(單位：元)隨每次降價的百分率x的變化而變化，則y關于x的函數表達式是()A．y＝200(x＋1)2B．y＝200(1－x)2C．y＝(x＋1)2D．y＝(x－1)23．已知二次函數y＝2－5x＋3x2，則二次項系數a＝________，一次項系數b＝________，常數項c＝________．4．已知y＝(k－3)x|k－1|＋x－3是關于x的二次函數，佳佳求出k的值為3，敏敏求出k的值為－1，她們倆中求出的結果正確的是________．5．如圖，用20m長的木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知矩形菜園的一邊靠墻，墻長MN為11m，其中AD≤MN，在BC邊上留了一個寬1m的進出口，設AB邊長為xm.(1)請寫出矩形菜園的面積y(單位：m2)與x(單位：m)之間的函數關系式及自變量x的取值范圍；(2)若矩形菜園ABCD的面積為55m2，則AB＝________m.答案26.1二次函數新課學習例1y＝4x2－8x＋9；4；－8；9練1①例2(1)＝2；≠－2(2)≠2；為任意實數練2(1)2(2)－2例3解：(1)由題意可知，隧道截面的面積S＝S半圓＋S矩形＝eq\f(1,2)πr2＋2.5×2r＝eq\f(1,2)πr2＋5r(m2)，由題易知，r>0，∴所求的函數關系式為S＝eq\f(1,2)πr2＋5r(r>0)．(2)將r＝2代入S＝eq\f(1,2)πr2＋5r，得S≈eq\f(1,2)×3.14×22＋5×2≈16.3(m2)．練3解：(1)由題意得，矩形另一邊長為eq\f(16,2)－x＝(8－x)cm，∴y與x的函數關系式為y＝x(8－x)＝－x2＋8x(0<x<8)．(2)12深挖拓展例4解：(1)2eq\r(2)－eq\r(2)t(2)當點Q與點C重合時，如圖①，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝BC＝2eq\r(2).∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝4，由題意易知CP⊥AB，∴AP＝eq\f(1,2)AB＝2＝2t，∴t＝1.(3)由題意易知△ADP，△DPQ均為等腰直角三角形，∴AD＝DP，DQ＝DP，∴DP＝DQ＝AD＝eq\r(2)t.當0<t≤1時，S＝S△DPQ＝eq\f(1,2)×DP×DQ＝eq\f(1,2)×eq\r(2)t×eq\r(2)t＝t2；當1<t<2時，如圖②，由題意易知△CEQ為等腰直角三角形，∵DP＝DQ＝eq\r(2)t，DC＝2eq\r(2)－eq\r(2)t，∴CE＝CQ＝DQ－DC＝eq\r(2)t－(2eq\r(2)－eq\r(2)t)＝2eq\r(2)t－2eq\r(2)，∴S＝S四邊形CDPE＝eq\f(1,2)DC×(CE＋DP)＝eq\f(1,2)(2eq\r(2)－eq\r(2)t)×(2eq\r(2)t－2eq\r(2)＋eq\r(2)t)＝－3t2＋8t－4，綜上所述，S與t之間的函數關系式為S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(t