PAGE1專題19規(guī)律探索與邏輯推理（解析版）1.（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，軸，交y軸于點(diǎn)P．將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A. B. C. D.【答案】B【詳解】解：正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為2，中心與原點(diǎn)O重合，軸，∴AP＝1，AO＝2，∠OPA＝90°，∴OP＝＝，∴A（1，），第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，-1）；第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，）；第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，1）；第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）；∵將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，∴4次一個(gè)循環(huán)，∵2022÷4＝505……2，∴經(jīng)過(guò)第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，），故選：B2.（2020·河南·統(tǒng)考中考真題）7.定義運(yùn)算：．例如．則方程的根的情況為（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根 D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】A【詳解】解：根據(jù)定義得：＞原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選

一、單選題1．（2024·河南信陽(yáng)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，．把一條長(zhǎng)為2024個(gè)單位長(zhǎng)度且沒(méi)有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計(jì)）的一端固定在點(diǎn)A處，并按的規(guī)律繞在四邊形ABCD的邊上，則細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴，∴繞四邊形一周的細(xì)線長(zhǎng)度為，∵，∴細(xì)線另一端在繞四邊形第202圈的第4個(gè)單位長(zhǎng)度的位置，即從點(diǎn)B向下沿移動(dòng)2個(gè)單位所在的點(diǎn)的坐標(biāo)即為所求，也就是點(diǎn)．故選：D．2．（2024·河南駐馬店·二模）觀察下列算式：，，，，，，，，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出的末位數(shù)字是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【詳解】解：∵，，，，，，，，∴的末位數(shù)字是按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)的．∴，故的末位數(shù)字是2，故選：A．3．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)自處向上運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)，然后向左運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)處，再向下運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)處，再向右運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)處，…，按如此規(guī)律繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去，當(dāng)這點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至處時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：，則在第四象限，由題意，第四象限的點(diǎn)為，，，，，．故選：C．4．（2024·河南周口·二模）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：x，，，，，，第n個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：?jiǎn)雾?xiàng)式的系數(shù)分別是，次數(shù)的規(guī)律是從1開(kāi)始的連續(xù)的奇數(shù)，即，第個(gè)單項(xiàng)式是：，故選：B．5．（2024·河南南陽(yáng)·二模）“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭．”在如圖的三角形中，一條中線將一個(gè)三角形分為面積相等的兩部分，在此基礎(chǔ)上再作一條中線，可得到原三角形一半面積的一半，即，已知，根據(jù)這個(gè)幾何圖形的規(guī)律求得…的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】結(jié)合圖形可知：，，，……，則：故選：B．6．（2024·河南駐馬店·一模）如圖，，直線a，b被直線c所截，、分別平分、交于點(diǎn)，得；、分別平分，交于點(diǎn)，得；、分別平分、交于點(diǎn)，得，…，依次規(guī)律，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意，，，∴，∴；故選C．7．（2024·河南濮陽(yáng)·二模）將正整數(shù)的算術(shù)平方根按如圖所示的規(guī)律排列下去．若用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示第排，從左到右第個(gè)數(shù)，如表示實(shí)數(shù)，則表示的實(shí)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：第一排最后一個(gè)數(shù)為，第二排最后一個(gè)數(shù)為，第三排最后一個(gè)數(shù)為，第四排最后一個(gè)數(shù)為，……，以此類推，可知第n排的最后的數(shù)為∴第7排最后的數(shù)為：，∴第8排第5個(gè)數(shù)為，∴表示的實(shí)數(shù)是．故選：C8．（2024·河南許昌·一模）如圖，一個(gè)機(jī)器人從O點(diǎn)出發(fā)，向正東方向走3米到達(dá)點(diǎn)，再向正北方向走6米到達(dá)點(diǎn)，再向正西方向走9米到達(dá)點(diǎn)，再向正南方向走12米到達(dá)點(diǎn)，再向正東方向走15米到達(dá)點(diǎn)，按如此規(guī)律走下去，當(dāng)機(jī)器人走到點(diǎn)時(shí)，則的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：由題知，點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；，由此可見(jiàn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為正整數(shù)）．當(dāng)時(shí)，則的坐標(biāo)為．故選：B．9．（2024·河南新鄭·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一巡查機(jī)器人接到指令，從原點(diǎn)出發(fā)，沿著路線移動(dòng)，每次移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，依次得到根據(jù)這個(gè)規(guī)律，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)呈規(guī)律排列，個(gè)點(diǎn)為一個(gè)周期，一周期橫坐標(biāo)增加，∴，∴所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與的縱坐標(biāo)是相同的，由圖易知，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：．10．（2024·河南鶴壁·一模）如圖1，，，，以這個(gè)直角三角形兩直角邊為邊作正方形．圖2由圖1的兩個(gè)小正方形向外分別作直角邊之比為的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形，…，按此規(guī)律，則圖6中所有正方形的面積和為（

）A．200 B．175 C．150 D．125【答案】B【詳解】解：∵，，，∴，圖1中所有正方形面積和為：，圖2中所有正方形面積和，，圖3中所有正方形面積和，?∴第n個(gè)圖形中所有正方形的面積和為，∴圖6中所有正方形的面積和為：，故B正確．故選：B．11．（2024·河南安陽(yáng)·二模）將一些相同“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)圖中“○”的個(gè)數(shù)，則第8個(gè)圖中“○”的個(gè)數(shù)是（

）A．45 B．60 C．65 D．80【答案】B【詳解】解：由所給圖形可知，第1個(gè)圖中“O”的個(gè)數(shù)為：；第2個(gè)圖中“O”的個(gè)數(shù)為：；第3個(gè)圖中“O”的個(gè)數(shù)為：；第4個(gè)圖中“O”的個(gè)數(shù)為：；…，所以第n個(gè)圖中“O”的個(gè)數(shù)為個(gè)，當(dāng)時(shí)，（個(gè)），即第8個(gè)圖中“O”的個(gè)數(shù)為60個(gè)．故選：B．12．（2024·河南漯河·二模）如圖，動(dòng)點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第4次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，…，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)第2025次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意得：第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，，由此發(fā)現(xiàn)，第n次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，縱坐標(biāo)2，0，3，0四個(gè)數(shù)一循環(huán)，為奇數(shù)，，∴經(jīng)過(guò)第2025次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：C．13．（2024·河南南陽(yáng)·三模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（

）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】B【詳解】解：由圖可得，第1種如圖①有4個(gè)氫原子，即第2種如圖②有6個(gè)氫原子，即第3種如圖③有8個(gè)氫原子，即，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是：；故選：B．14．（2024·河南平頂山·三模）一組圖形按下列規(guī)律排序，其中第①個(gè)圖形有3個(gè)星星，第②個(gè)圖形有8個(gè)星星，第③個(gè)圖形有個(gè)星星，，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖形的星星的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：第①個(gè)圖形有個(gè)星星，第②個(gè)圖形有個(gè)星星，第③個(gè)圖形有個(gè)星星，第④個(gè)圖形有個(gè)星星，∴第⑧個(gè)圖形的星星的個(gè)數(shù)是，故選：C．15．（2024·河南周口·二模）數(shù)據(jù)，□，，，，…是按照一定規(guī)律有序排列的，則“□”里應(yīng)填的數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】原數(shù)據(jù)為：，□，，，，…∵原數(shù)據(jù)的分子部分都是質(zhì)數(shù)，故所求的分子為，分母都是合數(shù)，分別為，，，，，則所求分母為，∴□為故選：A．16．（2024·河南太康·二模）下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第①個(gè)圖中有3張黑色正方形紙片，第②個(gè)圖中有5張黑色正方形紙片，第③個(gè)圖中有7張黑色正方形紙片，第④個(gè)圖中有9張黑色正方形紙片……，按此規(guī)律排列下去，則第2024個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為（

）A．4027 B．4047 C．4048 D．4049【答案】D【詳解】解：由圖可得：第1個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為，第2個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為，第3個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為，第4個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為，…，第個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為，第2024個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為，故答案為：D．17．（2024·河南鹿邑·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一邊長(zhǎng)為1的正方形，邊，分別在x軸、y軸上，如果以對(duì)角線為邊作第二個(gè)正方形，再以對(duì)角線為邊作第三個(gè)正方形，照此規(guī)律作下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：正方形的邊長(zhǎng)為1，，正方形的邊是正方形的對(duì)角線，，的坐標(biāo)為，同理可知，的坐標(biāo)為，同理可知，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，，，，，由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過(guò)8次作圖后，點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與第一次坐標(biāo)符號(hào)相同，每次正方形的邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，，的橫坐標(biāo)符號(hào)與相同，橫縱坐標(biāo)相同，且都在第一象限，的坐標(biāo)為．故選：B．18．（2024·河南新密·三模）下列圖形都是由同樣大小的“”按照一定規(guī)律所組成的，其中第①圖形有1個(gè)“”，第②個(gè)圖形有5個(gè)“”，第③個(gè)圖形有11個(gè)“”，第④個(gè)圖形有19個(gè)“”按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖形中“”的個(gè)數(shù)為（

）A．71 B．72 C．55 D．56【答案】A【詳解】解：由題可得：第①個(gè)圖形中的基本圖形的個(gè)數(shù)：第②個(gè)圖形中的基本圖形的個(gè)數(shù)：第③個(gè)圖形中的基本圖形的個(gè)數(shù)：第④個(gè)圖形中的基本圖形的個(gè)數(shù)：第個(gè)圖形中的基本圖形的個(gè)數(shù)：第⑧個(gè)圖形中的基本圖形的個(gè)數(shù)：故選：A．19．（2024·河南平頂山·三模）如圖，觀察圖形變化的規(guī)律，則第個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，第個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為個(gè)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，第個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為個(gè)；∴當(dāng)時(shí)，黑色正方形的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：．20．（2024·河南許昌·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整數(shù)點(diǎn)，如圖，一列有規(guī)律的整數(shù)點(diǎn)，其坐標(biāo)依次為，，，，，，…，根據(jù)規(guī)律，第2024個(gè)整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：觀察圖中點(diǎn)的坐標(biāo)可知，圖中各點(diǎn)組成了正方形點(diǎn)陣，每個(gè)正方形點(diǎn)陣的整點(diǎn)數(shù)量依次為最右下角點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，且橫坐標(biāo)為奇數(shù)時(shí)，最后一個(gè)點(diǎn)在x軸上，如：第個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，第個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，第個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，……當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，第個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)正方形最右下角點(diǎn)橫坐標(biāo)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)可以看作按照運(yùn)動(dòng)方向離開(kāi)x軸，∵，為奇數(shù)，∴第個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴退1個(gè)點(diǎn)，得到第個(gè)點(diǎn)是．故選：B．二、填空題21．（2024·河南濮陽(yáng)·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，過(guò)作的平行線交于，過(guò)作軸的垂線，垂足為，過(guò)作的平行線交于，過(guò)作軸的垂線，垂足為…按此規(guī)律，則線段的長(zhǎng)度為．（，且為正整數(shù)）【答案】【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得：；當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，，∴，；∴，∴，由解得，∴∵軸，∴，∵過(guò)作的平行線交于，設(shè)直線的表達(dá)式為，過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴，由解得，∴，∵軸，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為，過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴，由解得，∴，∵軸，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為，過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴，由解得，∴，∵軸，∴，……∵，，，∴軸，軸，軸，∴，，，，∴，，，按此規(guī)律，線段的長(zhǎng)度為．故答案為：．22．（2024·河南洛陽(yáng)·三模）如圖，動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中，沿曲線的方向從左往右運(yùn)動(dòng)，第1秒從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第4秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)…按這樣的規(guī)律，第2024秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)．【答案】【詳解】解：分析圖象可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)每4次位置循環(huán)一次．每循環(huán)一次向右移動(dòng)四個(gè)單位．，當(dāng)?shù)?024秒點(diǎn)位置在，故答案為：．23．（2024·河南濮陽(yáng)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)等腰，，直角邊在軸上，且．將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到等腰，且；再將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到等腰，且；……依此規(guī)律，得到等腰，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【詳解】解：∵是等腰直角三角形，，，，將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到等腰直角三角形，且，再將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到等腰三角形，且，依此規(guī)律，∴每4次循環(huán)一周，．，∴點(diǎn)與同在一個(gè)象限內(nèi)，故答案為：．24．（2024·河南項(xiàng)城·二模）用黑、白兩種顏色的正六邊形地磚按圖所示規(guī)律鋪地面，則第5個(gè)圖形有塊白色地磚，第個(gè)圖形有塊白色地磚．【答案】22【詳解】解：第1個(gè)圖形有白色地磚6塊，第2個(gè)圖形有白色地磚（塊，第3個(gè)圖形有白色地磚（塊，第5個(gè)圖形白色地磚的塊數(shù)：（塊，第個(gè)圖形白色地磚的塊數(shù)：塊，答：第5個(gè)圖形有22塊白色地磚，第個(gè)圖形有塊白色地磚．故答案為：22；．25．（2024·河南淮陽(yáng)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線圖象上，過(guò)點(diǎn)作y軸平行線，交直線于點(diǎn)，以線段為邊在右側(cè)作正方形，所在的直線交的圖象于點(diǎn)，交的圖象于點(diǎn)，再以線段為邊在右側(cè)作正方形依此類推．按照?qǐng)D中反映的規(guī)律，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【詳解】解：∵點(diǎn)，軸，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴正方形的邊長(zhǎng)為2，∴，∴點(diǎn)、的橫坐標(biāo)均為3，∴，∴，∴正方形的邊長(zhǎng)為6，同理：，∴，∴正方形的邊長(zhǎng)為18，∴，……，由此發(fā)現(xiàn)，，∴．故答案為：26．（2024·河南許昌·三模）如圖，，點(diǎn)在邊上，且，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作等邊三角形；過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交，于點(diǎn)，，以為邊在的右側(cè)作等邊三角形；過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交，于點(diǎn)，，以為邊在的右側(cè)作等邊三角形……按此規(guī)律進(jìn)行下去，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】解：∵，，，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，同上得，∵，∴，同理可得，，……∴，故答案為．27．（2024·河南洛陽(yáng)·三模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，以為圓心，為半徑作扇形，弧與相交于點(diǎn)，設(shè)，，圍成陰影部分的面積為；然后以為對(duì)角線作正方形，又以為圓心，為半徑作扇形，弧與相交于點(diǎn)，設(shè)，與圍成陰影部分面積為；按此規(guī)律繼續(xù)作下去，設(shè)，，圍成陰影部分面積為，則．【答案】【詳解】解：正方形的邊長(zhǎng)為1，∴，，以為圓心，為半徑作扇形，得到；以為對(duì)角線作正方形，又以為圓心，為半徑作扇形，則，得到；依此類推得到，得到，故，故．故答案為：．28．（2024·河南開(kāi)封·三模）如圖，觀察給出的四個(gè)點(diǎn)陣，表示每個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，按照?qǐng)D形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜想第個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．

【答案】/【詳解】∵第1個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，第2個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，第3個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，第4個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，…∴第個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．故選答案為：．29．（2024·河南太康·三模）如圖，動(dòng)點(diǎn)P按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，…，按這樣的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則第2024次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【詳解】解：由圖可知：動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)以2，0，4，0四個(gè)為一周期循環(huán)，，第2024次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，即：．故答案為：．三、解答題30．（2024·河南濮陽(yáng)·一模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；解答下列問(wèn)題：(1)按規(guī)律填空：．(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并加以證明．【答案】(1)6(2)第個(gè)等式為，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：，可得，第5個(gè)等式：；第6個(gè)等式：，故答案為：6；（2）由題意可猜想得，第個(gè)等式為，證明：，第個(gè)等式為．31．（2024·河南洛陽(yáng)·一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例，如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律，例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好