第一章向量代數

習題1.1

1.試證向量加法的結合律，即對任意向

量a,》,c成立

(a+5)+c=a+(>+c)?

證明：作向量標=a,前=b,5=c(如下圖),

貝(a+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+Cb=AD,

a+(b+c)=XB+(BC+CD)=AB+BD=AD,

故(a+))+c=a+3+c).

2.設a9兩兩不共線，試證順次將它們的終

點與始點相連而成一個三角形的充要條件

a+b+c=0.

證明：必要性，設的終點與始點相連而

AB

成一個三角形AA5C,

^\a+b+c=AB+BC+CA=AC+CA=AA=O.

充分性，作向量通=a,近=九而入，由于

O=a+b+c=AB+BC+CD=AC+CD=AD,所以點A與。重

合，即三向量祓c的終點與始點相連構成一

個三角形。

3.試證三角形的三中線可以構成一個三

角形。

證明：設三角形AA3C三邊A5,3C,CA的中點分別

是D,E,F。(如下圖)，并且記

a=AB,b=BC,c=CA9則根據書中例1.1.1,二條

中線表示的向量分別是

CD=-(c-b),AE=-(a-c),JF=-(b-a),

222

所以，CD+AE+BF^-(c-b)+-(a-c)+-(b-a)=O,故由上

222

題結論得三角形的三中線①3所可以構成

一個三角形。

4.用向量法證明梯形兩腰中點連線平行

于上、下底且等于它們長度和的一半。

證明：如卜圖，梯形ABCD兩腰5C,AO中點分

別為E],記向量通』直=5,

則而=砥而向量方與而共線且同向，所以存

在實數丸＞o,使得麗=2ZB.現在而=b+a,FC——b+4a,

由于E是3c的中點，所以

VE=-(FB+FC)=-(b+a+Aa-b)=-(l+A)a=-(l+A)AB..ft

2222

IFEI=-(I+2)IAB|=-(|AB|+A|AB|)=-(|AB|+|DC|).

2，2''2

故梯形兩腰中點連線平行于上、下底且等

于它們長度和的一半。

5.試證命題1.1.2。

證明：必要性，設3c共面，如果其中有

兩個是共線的，比如是“，則.線性相關，

從而amc線性相關。現在設a區c兩兩不共線，

則向量c可以在兩個向量2上的進行分解，即

作以c為對角線，鄰邊平行于“的平行四邊

形，則存在實數九〃使得c=2a+W，因而a也c線性

相關。

充分性，設/C線性相關，則存在不全為

零的數冊&內,使得占〃+05+43c=0O不妨設e。，

則向量C可以表示為向量沙的線性組合，因此

由向量加法的平行四邊形法則知道向量C平

行于由向量.決定的平面，故3c共面。

6.設2,C是不共線的三點，它們決定一平

面口，則點P在II上的充要條件是存在唯一的

數組（九少）使得

fOP=XOA+piOB+vOC9（*）

U+〃+v=1,

其中，o是任意一\點。p在AA5C內的充要條件

是（*）與人0,砂0,晨0同時成立。

證明：必要性，作如下示意圖，連接AP并

延長交直線5c于Ro

則由三點3,R,C共線，存在唯一的數組用此

使得礪=叫礪+七］,并且用+七=1。由二,點4,P,R共

線，存在唯一'的數組.使得而=，廝+4礪，并且

/i+4=l。于是OP=llOA+l2OR=llOA+l2kiOB+l2k2OC，設

A,=li,fi=l2kl,v=l2k2,由kt,k2,4,4的唯一*性知道的

唯一性，則而=病+juOB+vOC9日、X+〃+v=/]+12kl+12k2=1o

充分性，由已知條件有

OP=AOA+juOB4-vOC=AOA+juOB+(1-2-JLI)OC

=A(OA-OC)+/i(OB-OC)+OC=ACA+/A：B+OC,得至U

CP=ACA+^iCB,因而向量畫甌而共面,即尸在A,5,C

決定的平面上。

如果P在AA5C內，貝UP在線段AR內，R在線

段6c內，于是0<jt,,jt2,Z,,/2<l,貝I]04九,//,1/41。

如果(*)成立且0<2,/z,v<1,則有所=ACA,+從CB,

這說明點尸在角ZACB內。同樣可得到

AP=^iAB+vAC,這說明點尸在角ZBAC內。故尸在AA5C

內。

7.在AA8C中，點O,E分別在邊8C與CA上，

且叫BC,CE=gcA,AD與BE交于R,試證

14

RD=—AD,RE=—BE.

77

證明：作如下示意圖，

c

EX

R.y\D

AB

由二點8,R,E共線，存在A使得而=女而+(1一.而，

由二點共線，存在/使得而=畫+(1-/)5，

由于BD=^BC,CE=^CA,有CD=^CB,CE=^CA,因而

加A瓦+9-哂=①+劍-,)麗。由于向量區麗不

共線，所以A$I?T「A),解此方程組得

k=-,l=-由此得方―而+3近，

77o77

—.—?—?4—?3—?—?4—?—?4—?

ER=CR-CE=-CB+-CE-CE^CB-CE^-EB。

同理得到麗，而。故得歡=-AD,RE=-BE.

777

8.用向量法證明A43C的三條中線交于一

點P,并且對任意一點。有

OP=^(OA+OB+OC).

證明：設D,E,尸分別是邊AB,5C,CA的中點,

則房加交于一點P,連接

CP,CDo由A,P,E二點共線，存在A使

CP=kCF+(l-k)CB=-kCA+(l-k)CB，由8,P,F二點共線，

2

存在,使CP=lCE+(l-l)CA=-lCB+(l-l)CA，于是得

2

-k=i-i,-i=i-k,解得A=/=2。從而有麗」而+,出，

22333

然而詼=；方+；萬，故方=；)，即C,p,o三點共線，

A4BC的三條中線交于一點八

任取一點0,由麗=沖+咨，得到

OP-OC=^(OB-OC)+^(OA-OC)J于是而=g(麗+麗+而).

9.用向量法證明四面體A5CO的對棱中

點連線交于一點P，且對任意一點。有

OP=~(OA+OB+OC+dD).

證明：設四面體A5CD的棱AB,AC,AO的中點

分別是一,CM,棱5C,CD,O5的中點分別是E,F,G,

如卜圖。則對棱中點連線為BF,C'G,D'Eo

則容易知道再」血=西，CD'=-CD=EG,因

22

此四邊形CDGE是平行四邊形，C"G,"E相交且交

點是各線段的中點。同理”,C，G也相交于各線

段的中點，故52CG0E交于一\點尸。

由以上結論知道，對任意一點。，由尸是

D'E的中點,有

dP=^(OD'+OE)=~^OA+^OD+^dC+^OB),

KPOP=^(OA+OB+OC+OD).

10.設A(i=l,2,…向是正〃邊形的頂點,O是

它的中心，試證為西=0.

i=l

證明：設”力西，將正〃邊形繞著中心旋

1=1

轉凡n一方面向量.繞點。旋轉了角度n多而得到

一個新的向量H；另一方面，正〃邊形繞著中

心旋轉口n后與原正〃邊形重合，因而向量.沒

有變化。方向不同的向量要相等只能是零向

量，故為兩=0.

<=1

證法2:由于4(』,2,…是正〃邊形的頂點,

。是它的中心，所以西+西;=4西;(i=l,2,…,〃)，其

中心=44,2=4o由三角不等式得到

西+西;卜同西卜西+|西;卜2西|(i=l,2,…，故有

\k\<2o所以為(西+皈)=2之兩=應可，由于同<2,

1=11=1i=l

所以石西=0.

i=l

11.試證：三點46,。共線的充要條件是

存在不全為零的實數九i使得

AOA+/nOB+vOC=0日.2+〃+v=0

其中，。是任意取定的一點。

證明：必要性，如果三點C中至少有

兩點重合，比如4,5重合，則函-而=0,所以結

論成立。如果A,3,C互不重合，由例1.1.1知道

三點C共線的充要條件是存在數A使得

kOA+(1-k)OB-0C=0,^^A=k,〃=l-k,v=-l,貝U丸,〃/

為零，有AOA+fiOB+vOC=0?A+ju+v=k+(l-k)-l=0o

充分性，設;1次+〃礪+〃而=0且;1+〃+用0,貝IJ

AOA4-juOB-(2+〃)OC=0，

A(OA-OC)+n(OB-OC)=ACA+^CB=0,由于;l,不全為零,

以及點。的任意性，可知心不全為零，否貝心

也為零。所以不妨設之/0，則瓦=一獷〃而，因而

-----4,5,C共線o

習題1.2

1.給定直角坐標系，設尸(…⑶，求尸分別關

于心平面，x軸與原點的對稱點的坐標。

解：在直角坐標系下，點—y,z)關于g平

面，*軸與原點的對稱點的坐標分別是(“/),

2.設平行四邊形45。的對角線交于點尸，設

DM==*西在仿射標架卜；函呵下，求點

PMN的坐標以及向量訴的坐標。

解：作如下示意圖，

因為P是06中點，所以不，通通.

22

-A--M---=---D--M--+——AD=-1D一B+——AD=-1(A—B-A——D)+A——D=-1A一B+-4A——D.

5555

前=:m=京海+砌.故在仿射標架{A；函到下，點

P,M,N的坐標分別為

MN=MD+DC+CN=-BD+AB--AJC

56

=-1{一AD-A一B)+A一B——1(一AB+A一D)=-19A一B+—1一AD,

563030

所以向量赤在仿射標架卜;函呵下的坐標

為(竺-)

八30,30,

3.設a=(l,5,2),)=(0,-3,4),c=(-2,3,-l),,求下列向量

的坐標：

(1)2a-b+c；(2)-3a+25+4co

解：(1)2a-b+c=2(1,5,2)-(0,-3,4)+(-2,3,-1)=(0,16,-1).

(2)-3a+2b+4c=-3(1,5,2)+2(0,-3,4)+4(-2,3,-1)=(-11,-9,-2).

4.判斷下列各組的三個向量“,c是否

共面？能否將C表示成設的線性組合？若能

表示，則寫出表示式。

(1)a=(5,2,D,b=(-1,4,2),c=(-1,-1,5);

(2)a=(6,4,2),〃=(一9,6,3),c=(-3,6,3);

(3)a=(1,2,-3),6=(-2,-4,6),c=(1,0,5).

解：(1)設k}a+k2b+k3c=0,即

5左］一左2一左3二0,、、、

2占+%-右=0,該方程

(%+2A2+5.=。?

組只有零解&=占=七=0,所以三向量不共面。

(2)設4］。+42)+左3。=0，即

［6ky-9k2-3k3=0,、、、

匕(6,4,2)+42(-9,6,3)+々3(-3,6,3)=0,貝卜占+6k2+6k3=0,該方程

+3左2+3M3=。?

組等價于由此得到y-猛&=-赳,

I?+3K12+3/i3vF?/3

只要右不為零，加的就不為零，所以三向量共

面。取—貝隊=一；此=4,所以c=；a+荻即c可表

示成2的線性組合。

（3）kxa+k2b+k3c=0,BP

k[-2k2+左彳=0,、、、

2自-%=0,該方

｛一3A]+6k2+5k3=0.

程組等價于卜-：=°，方程組有非零解（2,1,

離=0-

0）,所以三向量共面。由于心只能為零，故c

不能表示成少的線性組合。

5.在AA5C中，設O,E是邊8C的三等分點，試

用熱和恁表出而與亞。

6.設在一平面II上取一個仿射標架｛0當必｝,

n上三點匕（七,匕）"=1,2,3,共線當且僅當二；1=0.

七以1

證明：三點"…）,』,23共線當且僅當

職職，即二二五」.展開得

與一巧y3f

巧%+*23+一X1%-x3y2-x2yt=0.

I：I：I。展開行列式得

*3%1

0

*1%+*2%+“I-*逮3-“2-巧為=-故命題成立。

7.在AA5c中，設P,°,R分別是直線A8,BC,CA上

的點，并且

AP=APB^BQ=//QC^CR=vRA.

證明尸@R共線當且僅當如一.

證明：邳口下示意圖，

由于P,?,R分別是直線A5,3C,CA上的定比分點,

所以八-1豐-l,v豐-1o建仿射標架卜；函正｝,由于

AP=APB=A（AB-AP）,AP=XPB=^—AB；

1+2

AR=AC-RC=AC-vAR,AR=AC；

1+v

BQ^nQC=BC+CQ,QC=-^—BC,

l+〃

AQ=AC+CQ=AC+-^—CB=AC+—^—（AB-AJC）=-^—AB+-^—ACO

l+〃1+41+4l+〃

所以P,°,R在仿射標架卜;甌砌下的坐標分別為

p（與,0）,2（「,尸）,叫；）。根據上題的結論，P,@,R

1+21+〃1+〃1+v

共線當且僅當qqi=o.展開行列式即得

0

1+v

至UXjXV——1.

9.試證命題1.2.1o

證明：取定標架｛。當,%必,設向量

(1)Q+》=(。步］+0202+03,3)+(01，1+62。2+力遇3)

=(%+如電+%，%+%)?

=(%+4)e［+(a2+b2)e2+(a3+b3)e3

a-b=(aeae)-(瓦%+be+be)

(2)il+a2e2+332233

=(%—"1)。1+(。2-”2)。2+(“3—”3)，3=("1-b］，02-，2'03-，3)*

(3)Aa=A(alel+a2e2+a3e3)=Aaiel+Aa2e2+Aa3e3=(2ar2a2,2a3)o

習題1.3

1?+c=0,|a|=3,|ft|=l,|c|=4，<jCab+bc+cao

角牛:由a+b+L=0,同=3,1=1,卜|=4,7f寸

0=(a+1+c)3+1+c)=同，時+|cf+2(ab+bc+ca)

=9+1+16+2(。b+bc+ca),

ab+bc+ca=-13.

2.已知同=3,網=2,/(25)=生，求(3a+2b)(2a-5。)o

6

解：(3a+2Z>)(2a—58)=6同2—10時一Ilab

=54-40-1123cos生=14-33百.

6

3.已知a+3。與7a-5b垂直，a-4b與la-2b垂直，求

N(a,b)o

解：因為a+3b與la—5b幣;白.’a—4b7a—2b垂直,

所以

(a+3Z>)(7a-55)=7k「-15時+16aZ?=0,

V

(a-4b)(7a-26)=7|?|2+8|Z>|2-30a6=0

得至U|a「=時=2ab,于是3/(4,5)=91=；,故/(4,5)=].

同例23

4.證明：對任意向量.都有

卜+“+卜一葉=2同2+2時.

當。與方不共線時，說明此等式的幾何意

義。

證明:\a+b[+|a-b[=(a+〃)(a+〃)+(a-力)(a-b)

=|a|2+\b[+2a&+|a|2+時-2ab=2|a|2+2時.

當〃與萬不共線時，此等式的幾何意義是以

a與〃為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的

平方和等于四邊的平方和。

5.下列等式是否正確？說明理由（習慣上

把aa記為/)。

(1)\a\a=a2;(2)a(bb)=ab2;

(3)a(ab)=a2b;(4)(ab)2=a2b2;

(5)(ab)c=a(bc);(6)CQ=C),CW0=>Q=6.

解：(1)錯誤,因為左邊表示向量，右邊

是數。

(2)正確，因為“常。

(3)錯誤，因為左邊向量”35)與a共線，

而右邊向量汽與。共線。

22222

(4)牽曰,[^|(ab)=abcosZ(a,b)^abo

(5)錯誤，因為左邊向量(ab)c與c共線，

而右邊向量好c)與a共線。

(6)錯誤，因為c"cb.Onc(a-5)=0=c與ad垂

直。

6.證明：三角形的垂直平分線交于一點，

且交點到三頂點的距離相等。

證明：設三角形AA5C的兩條邊A3,3c的垂直

平分線交于一點0,D,E,F為AB,BC,CA邊的中點,

以。為始點，為A,B,C,D,E,F終點的向量記為

a,b,c,d,e,f。貝tld=；(a+Z>),e=；(A+c)J=；(c+a),

AB=b-a,BC=c一b,CA=a-c.

由于OO,OE是的垂直平分線，

所以用=/")=0,詼e=⑹=0,Y=T=/由此

得到川二心不。,說明。F是CA的垂直平分線，

即三角形的垂直平分線交于一點，且交點到

三頂點的距離相等。

7.證明：設““不共面，如果向量，滿足

ra=0,rb=,rc=0,

則r=0。

證明：因為不共面，所以可設r=xayb+zco

則

rr=r(xa+yb+zc)=xra+yrb+zrc=0,r=0o

8.用幾何方法證明：右4也，…也;C…,c.

都是實數，則有

+b：+c：+Ja；+b；+c；+??-+Ja：+b；+c；

N+%--------*"4J+(4+瓦■(------bb“)2+(C]+qH---------^+工?

等號成立的充分必要條件是

:a:q=a?：&:。2=…=a“:b,1:c“_13一%,。2,…,4；瓦,％,…,b“;C],Cz，…,c“)J

別同號。

證明：設在直角坐標系下，向量

?,=(a,,2,q),i=l,2,…,〃.則由二角不等式得

|…+.??+小同+同+..+%，并且等號成立的條件

是向量%=(0”“),i=1,2,…,/i同向，將坐標代入就有

[a：+b；+c：+Ja；+*+c：+…++力；+c；

之J(0[+《+,??+"〃/+(〃[+%+?一+〃“)2+(q+Q+?一+C〃)2?

等號成立的充分必要條件是

分

a,:b,:c,=a2:b2:c2=-=an:bn:cnJE,a,,a2,???,a?;Z>,,Z>2,c2,---,c?

別同號。

習題1.4

1.設/表示向量4在與向量”()垂直的平面

上的投影，則有。xb=a'xbo

證明：由于優表示向量。在與向量AwO垂直的

平面上的投影(如下圖)，則由研構

成的平行四邊形的面積與j構成的矩形

的面積相等，”仇八方的方向相同，因而，

axb=arxbo

2證明：(axb)2=a2b2-(ab)2o

證明：(axb)2=a2b2sin2Z(a,b),

a2b2-(ab)2=a2b2-a2b2cos2Z.(a,b)=a2b2sin2Z(a,Z>),

^L(axb)2=a2b2-(ab)2o

3.證明：若axb=cxd，axe=bxd則”d與…共線。

證明

(a-d)x(b-c)=axb-axc-dxb+dxc=ax5-cxd-axc+》xd=0，故^

a-db-co

4.證明：(a-b)x(a+b)=2(axb),并說明其幾何意

義。

證明：

(a-b)x(a+b)=axa+axb-bxa-bxb=O+axb+axb-O=2(axb).

以a,0為鄰邊的平行四邊形的對角線構成

的平行四邊形的面積等于可為鄰邊的平行

四邊形的面積的2倍。

5.在直角坐標系中，已知。=(2,3,-1)/=(1,一2,3)，

求與常都垂直，且滿足如下條件之一的向量

(1)c為單位向量;

(2)cd=10,其中=(2,1-7)O

解：因為向量C與d萬都垂直，所以可設

c=Aaxb，而

%e2

axb=23-1=(7,-7,-7),\axb\=7y/3o

1-23

(1)因為C為單位向量，所以k1=1,即

神、同=1,|小品=志，故，=±*(1,一1,_1)o

(2)由d=(2,l-7)，cd=10，得4(14一7+49)=10,4=包，于

28

是，=%1TT)。

6.用向量法證明:

(1)三角形的正弦定理號=4=*；

sinAsinBsmC

(2)三角形面積的海倫(Heron)公式，式

中””經，△為三角形的面積，其中為三

角形三邊的長。

證明：(1)設角43,C對應邊表示的向量為

〃小，由向量外積的模的幾何意義知道

1

#xb|=#xc|=1|cxd,于是卜||6|sinC=|&||c|sinA=|c||a|sinB，

乙乙2乙2

故，-=上=，

sinAsinBsinC

(2)A2=-\axb^=-(a2b2-(ab)2)=-(a2b2-a2b2cos2N(a,，))

444

=-a2b2(a~C)2)=+Z>2-c2)2)

4lab44

=^(4a2b2-(a2+b2-c2)2)=^(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)

=-((a+b)2-c2)(c2-(a-b)2)=—(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)

1616

=p(p-a)(p-b)(p-c)o

7.證明Jacobi恒等式Qx(5xc)+5x(cxa)+cx(ax》)=OO

證明：由雙重外積公式

ax(》xc)+6x(cxa)+cx(ax5)

=(ac)b—(ab)c4-(ba)c-(bc)〃+(cb)a-(ca)b=0o

8.設”0,而…求滿足方程”x=b的點P的軌

跡。

解：由外積的定義及外積模的幾何意義，

點尸的軌跡在與方垂直的平面上，且與過點。

平行于〃的直線的距離為2的直線，而且｛小⑶

a

保持右手系。

習題1.5

1.證明:(axb)c=(bxc)a=(exa)bo

證明：如果〃公共面，則(axb)c=(bxc)a=(cxa)b=0o

如果a,b,c不共面，則\(axb)c\=\(bxc)?|=|(cxrz)b\,

{a,b,c},{仇c,a},{c,a,b}符合相同的右手或左手規則，

因而(axb)c9(bxc)a9(cxa)b有相同的符號，故

(axb)c=(bxc)a=(cxa)bo

2.證明：a,仇c不共面當且僅當axM>xc,cxa不共

面。

T1E明：區I關J[(axZ>)x(6xc)](cxa)={[(axZ>)c]b-[(axb)Z>]c}(exa)

={[(axb)c])}(cXQ)=[(ax))c][b(cxa)]=[(axb)c]2,

(axb)c=0[(axb)x(bxc)](cxa)=0o

故2c不共面當且僅當axb,bx.c,cxa不共面。

3.在右手直角坐標系中，一個四面體的頂

點為4(1,2,0),5(一1,3,4)，C(-l,-2,-3),D(0,-l,3)，求它的體積。

解：因為

-214

(AB,AC,AD)=-2-4-3=59,

-1-33

所以四面體ABCD的體積匕?=冰福南砌|=年.

4.證明Lagrange恒等式

acad

(axb)(cxd)=

bcbd

證明：(axb)(cxd)=a[bx(cxd)]=a[(5d)c-(bc)d]

acad

=(ac)(bd)-(ad)(bc)=

bcbd

5.證明：(a+8力+c,c+a)=2(a,〃,c)o

證明因為

(a,b,d+e)=(ax〃)(d+e)=(axb)d+(axb)e=(a,b,d)+(a,b,e),W

{a+〃,〃+c,c+a)=(a++c,c)+(a+〃，方+c,a)

=(a+仇。,c)+(a+),c,c)+3,〃+c,a)+S,A+c,a)

=(a+b,b,c)+(〃,b+CM)=(a,b,c)+(b,b,c)+(b,b,a)+(b,c,a)

=2(a,〃,c)o

6.證明：(a,b,cxd)+(b,c,axd)+(c,a,bxd)=0o

證明：左邊=[(axb)xc]d+[(萬xc)xa]d+[(cxa)x》]d

={[(ac)b-(bc)a]+[Sa)c-(ca)〃]+[(cb)a-(ab)c]}d=0d=0—

邊。

7.證明：對任意四個向量a…有

(),c,d)a+(c,a,d)》+(a,)，d)c+(3，〃,c)d=0o

證明因為

(b9c9d)a+(b9a9c)d=(b,c,d)a+(c,b,a)d=[(6xc)d]a+[(cxb)a)]d

=[(/xc)d]a-[(/xc)〃)]rf=(/xc)x(Qxd),同理

(c9a9d)b+(a9b9d)c=(a,d,c)b+(d,a,b)c=(a,d,c)b-(a,d,b)c=(axd)x(bxc)

所以

(b,c,d)a+(c,a,d)b+(a,b,d)c+(b,a,c)d=Sxc)x(axd)+(Qxd)x(〃xc)=0o

8.證明：右"〃與b不共線,貝ll〃x(ax力)與Ax(ax〃)不

共線。

證明：因為。與〃不共線，所以”“0.

由JT[ax(ax6)]x[6x(ax6)]={[ax(ax6)](axb)]b-{[ax(ax6)]b}(axb)

=一{[〃x(axft)]b}(axb)={[(axb)xa]b}(axb)=[(?xft)(axb)](axb)

=(axb)2(axb)H0,|大Ifft]ax(ax6)與Ax(axA)不線o

9.已知都是非零實數，向量“，，的混合積

(a,b,c)=aft，如果向量，滿足

ra=a,rb=0,rc=0，

求此向量r。

解：由條件得到r(J3a-ab)=0,而且rc=0,因此

可設r=A(^a-ab)xc,現在兩邊分別與。作內積，

則有a=ra=Aa[(^a-ab)xc]=-aA(a^b^c)=,

2=--j=(—Z>-—a)xco

appa

10.設右必必不共面，證明：任一向量4可以

表示成

Q=7-~；(3述2，。3)6+(。述3科])。2+(。述],。2%3)O

(el9e2,e3)

證明：因為w,不共面，所以任一向量a可

以表示成a=xe,+ye2+ze3o兩邊分別與向量

02X03,63X61,61X62作內積，得至tI

3,?2，03)=”(。1,，2，03)=MR，，2，/)，(〃，，1，‘2)=)

因而

a=-^((。,？2，。3)。1+(。,，3，,1)，2+(。，，1)，3)。

(el9e29e3)

11.設a,b,c不共面，設向量r滿足

ra=a,rb=/3,rc=y,那么有

r=——-——(abxc+ficxa+yaxb)o

3,九c)

證明：因為％A,c不共面，所以axb,bxc,cxa—』

共面，從而可設

r=x(〃xc)+y(cxQ)+z(axb),兩邊分別與ab作內

積，則有

a-ar=xa(bxc),0=br=yb(cxa),/=cr=zc(axb),于是

r=——-——(abxc+ficxa-^yaxb)o

3,九c)

第二章直線與平面

習題2.1

1.求通過兩點4(2,3,4)和5(5,2,一1)的直線方程。

解：直線的方向向量為熱=(3,-1,-5),所以

直線的方程為彳=哼=三

3—1—5

2.在給定的仿射坐標系中，求下列平面

的普通方程和參數方程。

(1)過點(-1,2,0),(-2,-1,4),(3,1,-5)；

(2)過點和z軸；

(3)過點(2,0,-1)和(-1,3,4),平行于y軸；

(4)過點(-1,-5,4),平行于平面3x-2y+5=0。

解：(1)平面的方位向量為

匕=(-1,-3,4),匕=(4,-1,-5)，所以平面的參數方程

x=-1-2+4//,

<y=2-34

[z=42-5/z.

平面的普通方程為

x+1y-2Z

-1-34=0,即19x+Uy+13z-3=0.

4-1-5

(2)平面的方位向量為y,=(3,l,-2),v2=(0,0,1)，

所以平面的參數方程

工=3+34

+因為過z軸，所以也可選經過的

(z=-2—2A+

點為(0,0,0),那么參數方程也可以寫為

卜=32,

卜=4,

[z=-22+ju.

平面的普通方程為

xyz

31-2=0,即x-3y=0.

001

(3)平面的方位向量為!=(—3,3,5),“(0」,0)，

所以平面的參數方程

x=2—3%,

y=34+〃，

z=-1+54.

平面的普通方程為

x-2yz+1

-335=0,即5x+3z-7=0.

010

（4）平面的方位向量平行于平面

3x-2j+5=0,方位向量（x,y,z）滿足3x-2y=o,因此

可以選為匕=（2,3,0）,%=（0,0」）o所以平面的參數方

程

x=—1+24,

<y=-5+34,

[z=4+〃.

平面的普通方程為

x+1y+5Z-4

230=0,BP3x-2j-7=0.

001

3.在直角坐標系中，求通過點（1,。,一2）并與

平面

II]:2x+y-”2=0不口II2:x-_y-z-3=0

均垂直的平面方程。

解：平面n.,n2的法向量分別是

%=（2,1,-1）,%=（1,一1，-1），所求平面與口”風均垂直，所

以它的法向量〃與〃”2均垂直，因此

〃/x%=(2,1,-1)x(1,-1,-1)=(-2,1,-3),

平面的方程為-2(r-l)+j-3(z+2)=0,即

2x-y+3z+6=0.

4.在直角坐標系中，求經過點

監(3,-1,4),%(1,0,-3)，垂直于平面2x+5y+z+l=0的平面

方程。

解：設平面的法向量為〃，則它與兩;垂

直，它又與平面2x+5y+z+l=0的法向量(2,5,1),故

n=(-2,l,-7)x(2,5,l)=12(3,-1,-1).所以所求平面的方程為

3(x-3)-(j+l)-(z-4)=0,BP3x-j-z-6=0.

5.在直角坐標系中，設平面口的方程為

Ax+By+Cz+D=Oj其中設此平面與二坐標

軸分別交于監,也必，求三角形弧,弧,M3的面積

和四面體的體積。

解：由于ABCDX。，所以平面的三個截距分

別為A因BC此四面體。峪也%的體積為

y」/)(&/)」匹.

6ABC6\ABC\

二角形M，%,h的面積S=xM闖,

HUAf.AZx—,0)x(—,0,——)=

1213ABACBCCAAB

所以s="綽尤

2\ABC\

6.設平面TI:Ax+By+Cz+D=0與連接兩點

和加2(*2'，2'?2)的線段相交于點M，且

=J證明

_Ax,+By.+Cz+D

k=---------!--------------------}----------o

AX+

2By2+Cz2+D

證明：因為西=A麗心所以由定比分點的

坐標公式得到點M的坐標

*=任「專誓六音，將它們代入平面方

程中得

6日+C特+八。，整理即得

k_Ax,+Byx+Czi+D

AX+4-

2By2Cz2+D

習題2.2

1.求經過點Tl,3),并且通過兩平面

2x-7y+4z-3=0與3x—5y+4z+U=0的交線的平面方程。

解：經過交線的平面束方程為

21(2x-7j+4z-3)+22(3X-5J+4Z+11)=0，其中4，%不全為零。

所求平面經過點(.2,1⑶，將它代入上式得到

4一64=0，可以取4=6,4=1,因此平面的方程為

15x-47j+28z-7=0.

2.判斷下列各對平面的相關位置。

(1)x—2y+z-2=03x+j-2z-l=0

(2)3x+9j-6z+2=02x+6y-4z+：=0；

(3)x+2j—z—1=0—+j——+2=0o

解：(1)平面的法向量分別是(1,一2,1),(3,1,一2),

它們不共線，所以兩平面相交。

(2)兩平面的系數之比的關系為

14=^4，所以兩平面重合。

26-44

3

(3)第二個平面的方程化為x+2y.z+4=0,

所以兩平面的系數之比的關系為卜|=9？，

所以兩平面平行。

3.將下列直線的普通方程化為標準方

程。

(1)尸"+2=0,⑵Iy-1=0,

4y+3z+1=0；2+2=0.

解：(1)方程可寫成:;，一久內所以標

準方程為十y-2z+3

3-4

(2)標準方程為

4.求通過點N0(l,4,—2)且與兩平面

風:6x+2j+2z+3=0,n2:3x-5j-2z-1=0

均平行的直線方程。

解：直線的方向向量v=(x,y,z)與已知兩平

面均平行，所以

產+2丫+22=。，得到N：Z=L3:(-6),

(3X-5y-2Z=0

于是直線的方程為

x-1y-4z+2

13-6

5.判斷下列各對直線的位置。

x+ly-1z-2xy-6z+5.

(1)==,——?

331-123

(2)x+y+z=O,Jx+z+l=O,

J+z+1=0,+J+l=0.

解：(1)直線誓=F=彳經過點Mil,2),

方向向量是匕=(3,3,1),直線彳=?=胃經過點

—123

^,(0,6,-5)，方向向量是y2=(-1,2,3)。

15-7

混合積砥皈匕,匕)=331=一106工0,所以兩直線

-123

異面。

(2)直線方程可分別化

[y+z+l=0,[x+y+l=0.

為FW4

W=*=彳.經過的點分別是M2(-1,0,0).方

—111

向向量分別是v,=(0,l,-l),v2=(-1,1,1).混合積

(M1M2,vi,v2)=01一1=100,且”=0,所以兩直線異面

-111

且互相垂直。

6.求直線；與平面"一2k7=0的交點。