第一章空間解析幾何

高等數(shù)學研究的主要對象是變量，更確切地講，是變量與變量之間的依賴關系一

一函數(shù)，而使用的主要工具是極限。在講函數(shù)與極限之前，我們需要做一些準備工作，

即將平面解析幾何延伸到空間，得到空間解析幾何的有關知識；而研究空間解析幾何

需要一個工具，這就是向量。因此，我們先從向量開始講起。

§1.1向量的概念及其線性運算

內(nèi)容提要

1、向量的概念

基本概念：向量、向量的模、零向量、單位向量。

2、向量的線性運算

基本概念：向量相等、負向量、向量的加法、向量的減法、數(shù)乘。

主要結論：向量平行的充要條件、向量的單位化、線性運算的規(guī)律。

3、空間直角坐標系

基本概念：空間直角坐標系、坐標軸、坐標面、卦限、空間點的坐標。

主要結論：兩點間的距離公式。

4、向量的坐標

基本概念：向量的坐標、分量、方向角、方向余弦

主要結論：坐標表達的向量相等、負向量、向量的加法、向量的減法、數(shù)乘、向

量平行的充要條件、向量的單位化、向量的模、向量的方向余弦。

目的要求

1、理解向量的概念，會用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法和減法。

2、熟悉向量的模和方向余弦的坐標表達式。

3、熟練掌握用坐標表達式進行向量的運算和單位化。

重點難點

1、向量的概念及其在幾何和代數(shù)上的表達。

2、用坐標表達式進行向量的運算和單位化。

講授內(nèi)容

一、向量的概念（12分鐘）

在實際問題中，我們遇到的量一般分為兩類：一類是只有大小的量，例如物體的

體積、質(zhì)量和溫度等，這種只有大小的量我們稱之為數(shù)量（或者標量），另一類是既有

大小又有方向的量，例如力、位移、速度和加速度等，這種既有大小又有方向的量我

們稱之為向量（或矢量），本書采用粗體字母或字母上面加箭頭來表示，如。、葭AB

等。

數(shù)量由于只有大小，用一個數(shù)來刻畫就可以了；而向量呢，由于它既有大小又有

方向，應該如何刻畫呢？在幾何上，我們可以沿用物理上的辦法用有向線段來直觀的

刻畫向量，線段的長度表示向量的大小，線段的方向表示向量的方向。

向量的大小叫做向量的模（更狹義地叫長度，更廣泛地叫范數(shù)），記為團、同、

等。

模為0的向量叫做零向量，其方向指向東西南北中都是合理的，因此合理化地規(guī)

定零向量的方向可任意取，記為0、0o

模為1的向量叫做單位向量，并不記為1或iK不妨讓學生說出，再加以糾正加

二、向量的線性運算(38分鐘)

在介紹向量的運算之前，有必要引入兩個概念，正如我們有了數(shù)，在規(guī)定數(shù)的運

算之前，需要“數(shù)相等”和“負數(shù)”一樣，我們引入“向量相等”和“負向量”這兩

個概念。

定義1如果向量為與向量很大小相等且方向相同，則稱向量5與向量B相等，記

為a=B。

這說明我們討論的向量與起點無關，只要是大小相等且方向相同的向量，無論其

起點在哪里，均看作相同的向量。這種不管起點的向量叫自由向量。我們僅僅討論自

由向量。

定義2與向量。的大小相等而方向相反的向量稱為向量〃的負向量，記為一鼠

1、向量的加法

大家在中學物理上學過力的合成符合平行四邊形法則或三角形法則，現(xiàn)在我們以

8____________C此作為向量的加法定義。

6Z\—―7定義3向量5與向量5相加符合平行四邊形法則或

/三角形法則(如右圖)，記為5+B。

--------------OA+OB^OA+AC^OC

A2、向量的減法

定義4向量與向量相減：a—b—a+(—b)

OA-OB^BC+CA^BA

3、數(shù)乘(數(shù)與向量的乘法)

大小:\Aa\=網(wǎng)同

'當丸>0時，液與石方向相同

方向：■當2<0時，位與2方向相反

當幾=0時,質(zhì)的方向任意

根據(jù)上述數(shù)與向量的乘法定義，可以得到下面三個重要結論：

結論1⑴非零向量。〃Bm數(shù)4，3a=Ab0

J_

(2)與向量值方向相同的單位向量為同萬---------------------向量的單位

化

(3)設x軸上P點的坐標為x,與x軸正向一致的單位向量為『，則而=

xio

上述加法和數(shù)乘運算合稱線性運算。不難驗證線性運算滿足下列八條規(guī)律:

(1)加法交換律：S+b^b+a

(2)加法結合律：(G+B)+O=G+(B+C

(3)負向量特性:a+(—a)=0

(4)零向量特性：5+6=5

(5)數(shù)1特性：1?a=a

(6)數(shù)乘結合律：(A

(7)數(shù)乘對數(shù)分配律:(A-\-/j)a=Aa+jJa

(8)數(shù)乘對向量分配律:A(a+b)=Aa+Ab

上述運算規(guī)律這么多，如何掌握呢？【啟發(fā)與討論】總之，向量的線性運算規(guī)律類似

于數(shù)的運算規(guī)律，因此向量的線性運算類似于數(shù)的運算。

以上就是向量及其線性運算在幾何上的表達。

三、空間直角坐標系(16分鐘)

空間解析幾何是運用代數(shù)方法來研究空間幾何圖形，而向量作為研究空間解析幾

何的工具，因此它不僅要在幾何上表達，而且也要在代數(shù)上表達，這樣也只有這樣才

能運用代數(shù)方法來研究空間幾何圖形。為此，我們先來建立空間直角坐標系。

所謂空間直角坐標系是由空間一定點。和三條互相垂直的數(shù)軸所組成，這三條數(shù)

軸都以。點為原點，分別叫做x軸(橫軸)、y軸(縱軸)和z軸(豎軸)，統(tǒng)稱為坐標軸,

而且坐標軸的正向應符合右手法則。

在空間直角坐標系中，任意兩條坐標軸都可以確定一個平面，其中x軸和y軸確

定的平面稱為xOy平面，類似地y軸和z軸確定的平面稱為yOz平面，z軸和x軸確

定的平面稱為zOx平面，這三個平面統(tǒng)稱為坐標

面。

三個坐標面把整個空間分成八個部分，每一

部分都稱卦限(不同地，平面直角坐標系中的每一

部分都稱象限)，其中以x軸、y軸和z軸的正向

為棱的部分稱為第I卦限，在xOy平面上方的其

余三個部分，從z軸的正向看，按逆時針方向依

次叫第H、IH、IV卦限；同理，對于X。)，平面下

方的四個部分，在第I卦限正下方的部分叫第V

卦限，并按逆時針方向依次叫第VI、VD、VJD卦限。

設M是空間一點，過M點作三個平面分別垂直于x軸、)，軸和z軸(如圖)，并與

x軸、y軸和z軸交于P點、Q點和R點，設這三個點分別在x軸、y軸和z軸上的坐

標分別為x、y和z,則空間點M就唯一地確定了一個有序數(shù)組x、y、z；反之，已知

一個有序數(shù)組x、y、z,就可以在x軸、y軸和z軸上確定P點、Q點和R點，過這三

點作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，這三個平面就唯一地確定了空間點M。

總之，空間點M與有序數(shù)組x、y、z之間具有一一對應關系，我們就把這個有序數(shù)組

稱為空間點M的坐標，記為M(x,y,z)o

四、向量的坐標(34分鐘)

現(xiàn)在，我們把向量放到空間直角坐標系里，并把向量的起點放在坐標原點。，終

點不妨記為M(x,y,z)，則向量也可寫成。M(如圖)，這種以坐標原點為起點的向量

稱為向徑。當我們用『、了、［分別表示與x軸、y軸、z軸正向一致的單位向量時，

根據(jù)向量的加法和前面的結論1(3)可以得到：

0M=OP+0Q+OR=xiJ+zk

由此可見，向徑而也與有序數(shù)組X、y、Z之間具有一一對應關系，我們把這個有序

數(shù)組稱為向徑。”的坐標，區(qū)別于空間點的坐標，記為{x,y,Z}。

更一般地，設有空間兩點力，Z1）、%。2，刃，Z2），為借用前面的結論，

我們進行坐標平移，將坐標原點移到也點，則”2點的坐標為。2一犬|,以一刀，Z2—ZI）,

從而

Afi”2=。2一修），+。2一月），+仁2-Z1）［={切一X”>2一%，Z2~Z\}

即向量的坐標等于終點的坐標減起點的坐標。上述結論除利用坐標平移法外，還可采

用什么方法？【啟發(fā)與討論】

以上說明了任意向量。都與三個數(shù)組成的有序數(shù)組如、％、生之間具有一一對應

關系，我們把這個有序數(shù)組稱為該向量的坐標，一般地記為萬={處，％,,七}。其中

如、小、生稱為該向量的分量。

至此，已有了向量在幾何上的表達形式，也有了在代數(shù)上的表達形式，現(xiàn)在我們

將向量的運算及有關結果表達成代數(shù)形式：

設向量a={%,ay,a,},b={bx,by,bz},則

向量相等：a=b<^>ax=bx,ay=by,az=bz---------------------對應分量全部

相等

負向量：一］={-a”-ay,~az}-----------------------------所有分量變號

向量相加：a+b—{ax-\-hx,ay+by,a-+by}---------------------對應分量相

加

向量相減：a—b={ax—bx,ay—by,az-by}---------------------對應分量相

減

數(shù)乘向量：Aa={Aav,八小，八七}---------------------------數(shù)乘以所有分

量

向量平行的條件：非零向量W/B=/by瓦（記號而已，分母為0則分

子為0

向量的模：同="；+。；+成

1J_J_J_

向量單位化：與向量a方向一致的單位向量同1={同％,同％,，同&}=

我們再看一下上述向量的分量同處是什么含義呢？【啟發(fā)與討論】由圖可以看出，

1

它是向量值與X軸正向的夾角a的余弦cos。，類似地，同的是向量々與y軸正向的

1

夾角￡的余弦cos￡,㈤處是向量萬與z軸正向的夾角r的余弦cosy。由于向量。與

x軸、y軸和z軸正向的夾角。、￡和，表征了向量萬的方向，具有特殊的意義，因此

把它們稱為向量）的方向角，它們的余弦稱為方向余弦。

最后，我們再總結一下向量的表示方式：向量在幾何上用有向線段來直觀的刻畫,

線段的長度表示向量的大小，線段的方向表示向量的方向；向量在代數(shù)上用有序數(shù)組

{4，為，&}來準確的刻畫，向量的大小由向量的模同=巧小1確定，向量的

J_J_J_

方向由向量的方向角。、￡和，確定，其中cosa=同4、cos￡=同為，、cosY—同a-?

啟發(fā)與討論

1、線性運算的規(guī)律如何歸納總結？

K線性運算的規(guī)律是進一步學習線性空間等現(xiàn)代數(shù)學的基礎知識，對它進行討論

和設問，有助于加深學生對該知識的印象，啟發(fā)學生考慮新形勢下采用科學的學習方

法，培養(yǎng)觀察能力、歸納總結能力和抽象概括能力]]

2^對于空間兩點Mig,yi，zi)、M2(X2,”，Z2)，向量如外的坐標除利用坐標

平移法外，還可采用什么方法？

K可用向量的減法而訪=甌一西，通過提示和動畫演示，培養(yǎng)學生的觀察

能力和空間想象能力』

3、單位向量各分量的幾何意義是什么？

K通過幾何觀察，明確單位向量各分量的幾何意義，從而引導學生自己引入方向

角和方向余弦的概念》

課內(nèi)練習

A(15,8,z)(zi)=——

例1已知6,求。A的模、方向余弦、點A的坐標及

T0

0A。

解：04={15,8,z),

—=15/COS-=10A/3

|0A6

例2設AABC的三頂點的坐標是A(2,-1,4),8(3,2,-6),。(-5,0,2),求AA6C的重心

G的坐標，并求NG]

解：設邊上的中線為AO,則AG/GO=4=2。由定比分點公式得

G(。,g,。)，“|=14/3。

內(nèi)容小結

向量的概念：既有大小又有方向的量我們稱之為向量，向量的大小叫做向量的模,

模為0的向量叫做零向量，模為1的向量叫做單位向量。

向量的表示：向量在幾何上用有向線段來直觀的刻畫，線段的長度表示向量的大

小，線段的方向表示向量的方向；向量在代數(shù)上用有序數(shù)組｛外，詼，4｝來準確的刻畫,

向量的大小由向量的模同=亞+始+。2

z確定，向量的方向由向量的方向角a、￡和

111

y確定，其中cosa=Bla*、cos￡='a），、cosY=1^1az

向量的運算：向量的加法符合平行四邊形法則或三角形法則，在代數(shù)上為對應分

量相加；向量的減法符合平行四邊形法則或三角形法則，在代數(shù)上為對應分量相減；

數(shù)乘向量從大小和方向兩方面規(guī)定，在代數(shù)上為數(shù)乘以每一個分量。

重要結論：向量平行的條件為非零向量萬〃3=m數(shù)八，》3=兒

&=0=&=丸1

在。瓦bybz；與向量值方向相同的單位向量為同屋

習題及答案

習題：

1.填空題

（1）點M（4，-3,5）到X。），平面的距離是；到Ox軸的距離

是;

（2）向量q=卜,2,遮｝的模為,方向余弦為；

（3）設點A（0」,2）、8（1,-1,0）,則向量贏的坐標表達式為-

按基本單位向量的分解表達式為,兩點間的距離

為.

*（4）設向量"的方向角有關系式7=2"=2￡,則：=.

2.設點M（4,后」）、用2（3，。，2）,計算向量而"的模、方向余弦和方向角。

3.求與向量1=｛6,7,-6｝同向的單位向量二及與々平行的單位向量。

*4.如果平面上一個四邊形的兩對角線互相平分，試用向量證明它是平行四邊形。

習題答案：

/JQ.22/T?一一

1.（1）5；V34.（2）'Vw'V10V10,（3）｛1,-2,-2｝.i-2j-2k.3.

（4）I22J或｛。，0，-1｝.

1V21237

cosa=——,cospn=------,cos/=——冗,一n

2.2；22'2；343

67611676

a廠iTT'TT-TTj+二±[TT,iT,"Ti'

3.J；TCZ=IJ.

4.設四邊形為ABCD,兩條對角線AC、BD相交于O,由已知有A°=℃，8°=°D,

而而=茄+玩反=而+而推得Q=而，從而A3"C

§1.2向量間的乘法

內(nèi)容提要

1、數(shù)量積

基本概念：數(shù)量積。

主要結論：結論、運算規(guī)律、坐標表達。

2、向量積

基本概念：向量積。

主要結論：結論、運算規(guī)律、坐標表達。

目的要求

1、理解數(shù)量積和向量積的概念。

2、會求兩向量的數(shù)量積、向量積及兩向量的夾角。

3、熟練掌握兩向量垂直和平行的充分必要條件。

重點難點

1、數(shù)量積和向量積的概念及其坐標表達。

2、兩向量垂直和平行的充分必要條件。

講授內(nèi)容

上一節(jié)講了向量及其線性運算在幾何和代數(shù)上的表示形式K回顧、復習》，本節(jié)

我們來看向量的乘法。根據(jù)不同的實際背景，可以引入多種不同的向量乘法，我們只

講兩種：數(shù)量積和向量積，并采用對比的方式來學習和分析。

一、數(shù)量積二、向量積

1、定義（16分鐘）1、定義（18分鐘）

類似地，當我們考察力作用在杠桿上

由中學物理知道，一質(zhì)點在力戶作用

對支點的力矩時，便可以引入另一種向量

的乘法：

下沿直線位移尸時一，所做的功為

定義2兩個向量G與B的向量積（或

cosF,r

W=IFIIFII）稱外積或叉乘）是一個向量，記為GXB,

更一般地，我們拋棄具體意義，對抽其中：

象的向量引入數(shù)量積的概念：

sina,b

定義1兩個向量值和B的模與它們（1）大小：XB|=|1I1）

夾角的余弦的乘積叫做向量不與B的數(shù)量（2）方向：axB既垂直于〃又垂直于

積（或內(nèi)積或點乘），記為4?即b,且三向量值、B、axB符合右手法則。

由定義可以看出，的模在幾何

cosa.baxB

a?b=\a\\b\I）

上等于以葭B為鄰邊的平行四邊形的面

積。

說明：數(shù)量積與向量積的區(qū)別在于：（1）數(shù)量積得到的是一個數(shù)，而向量積得到的是一

個向量；（2）數(shù)量積的結果是兩個向量的模與它們夾角的余弦的乘積，而向量積的模是

兩個向量的模與它們夾角的正弦的乘積。【啟發(fā)與討論】

2、結論（8分鐘）2、結論（8分鐘）

根據(jù)數(shù)量積的定義易得下列重要結根據(jù)向量積的定義也易得下列重要

論：結論：

⑴不Xa=0

⑴1?ii=|a|2

（2）非零向量五//3O5X^=6

（2）非零向量2oa?b=Q

例如：iXz=jXj=kXk=0

例如：i,i=J,j=k,k=1

iXJ=k,jXk=i,iXk=

i?j=j*k=k*i=0

—7

說明：為什么會出現(xiàn)上述結論的區(qū)別呢？答案在于數(shù)量上余弦與正弦的區(qū)別。【啟發(fā)

與討論】

3、運算規(guī)律（5分鐘）3、運算規(guī)律（5分鐘）

不難驗證數(shù)量積滿足下列運算規(guī)律：也不難驗證向量積滿足下列運算規(guī)

律：

（1）交換律：5?b=b.3

（1）反交換律：aXb=-bXa

（2）結合律：（兒G）?萬=。?（43）=4

（2）結合律：（兒a）Xb=aX（Ab）=A（a

（??B）

Xb）

（3）分配律：（5+B）?c=a?c+b?c

⑶分配律：（G+B）XI=1X5+BX5

說明：數(shù)量積與向量積的運算規(guī)律基本相似h但一定要注意其不同處：數(shù)量積滿足交

換律，而向量積滿足反交換律（也稱為負交:換律）。凡是這種不同處都是應該特別注意

的。

4、坐標表達（4分鐘）4、坐標表達（10分鐘）

現(xiàn)在，我們來推導數(shù)量積的坐標表達，類似地，根據(jù)向量積的結論和運算規(guī)

設

律，可得aXb

-~t—

a={〃X，Qy,ClyJ女

=（aybz-a7by）i+（azbx'~~axbz）J+（axby—

b={bx,by,b-}=bxi+byJ+bzk

ab）k

則根據(jù)數(shù)量積的結論和運算規(guī)律，可得yx

a?b=axbx+aYby-]ra-bz

即兩個向量的數(shù)量積等于向量坐標的對應

分量乘積之和。ijk

axaya.

=b,b,bz

行列式可用對角線法則計算。

下面通過例題來實踐上述基本知識：(26分鐘)

Ex1設|口=3,④1=5,則當人為何值時，向量不十4B與之一八B互相垂直？

解：(5+Ab)?(a-43)=0一|萬F一42向2=0-A=±\a\/\b|=±3/5

Ex2設向量萬=，+/+E,求既垂直于石又垂直于y軸的單位向量。

iJk

I】1/

-o1oi-v,0,Vi

解：土ax./=±u1u=±{_i,o,]},再單位化得〔22J

Ex3設平行四邊形的相鄰兩邊分別為1—2$、a-3b,已知用1=2、01=3、向

71

量力與向量B的夾角為7,求此平行四邊形的面積。

解：平行四邊形的面積為1(1一2很)X(3—3分)|=|-3aXb-2bXa\=\-aXb\

/A

sina,bsin三

=\a\\b|IJ=2X3X6=3

啟發(fā)與討論

1、數(shù)量積與向量積有什么區(qū)別？

K正確區(qū)別和對比數(shù)量積與向量積，是進一步學習其它知識的基礎，培養(yǎng)學生歸

納總結能力和抽象概括能力1

2、為什么會出現(xiàn)結論的很大區(qū)別？

K培養(yǎng)學生的觀察能力和邏輯推理能力U

課內(nèi)練習

例1設。，乩c為三非零向量，'''3,'-6,且|〃|二1"8二2,

|c|=3,求|a+b+c|。

TT3

TTC――7Tc廠

解：由內(nèi)積的定義知，a?b=0,2,b?c=3j3。于是

—>—>—>―?—>—>/

(a+0+c)?(〃+。+。)=17+65/3,|〃+/?+(?|=J17+6y/3o

例2設三點A(l,2,3),8(2,-l,5),C(3,2,-5),求,MBC及高C。的長。

解：顯然SMBC=2\ABXAC\,\CD\=2%BC/|AB|,AB={1,-3,2},AC={2,0,-8},

/x/={24,12,6},ABxAC|=6V21,=3庖，叩=3后。

注：|A〉|=JiW,A2|=2j萬。下面可用另外兩種方法求解：

VIZ

⑴cos(W)=(4及AC)/(AB|AC|)=2V17,

sin(獺/)=，-(-篇>=噌

—>->—>->ff

IABxAC=ABIACsin(A8,AC)。

—>f—>>2—>f

2

(2)ABxAC|+(AB-^Cy=(IABIIACI)2。

內(nèi)容小結

(w

cosa.b

定義：數(shù)量積的定義：萬?B=IIIIBIIJ；向量積的定義：大小隆xBi=

sina,b

\a\\h\IJ,方向GXB既垂直于萬又垂直于B,且三向量2、B、QXB符合右手

法則。

結論：3?a=|a|2,非零向量1^_b<^>a?b=0,aXa=0,非零向量萬〃ba

xz?=6o

運算規(guī)律：數(shù)量積滿足交換律，向量積滿足負交換律。

坐標表達：兩個向量的數(shù)量積等于向量坐標的對應分量乘積之和；兩個向量的向

量積可用行列式來表示，并用對角線法則計算。

習題及答案

習題：

1.填空題

(1)設和量a=3i—j—2k,b={l,2,—l},貝i」a.b=；axb=；

(-2a)-3b=,ax2b=；cos(a,b)=.

(2)非零向量a={a,,%,aj與b=》,,b,,久}平行的充要條件

是_________________，垂直的充要條件是_________________________________;

(3)設向量a{123}、b={/l2-22,2-2},J|.alb,則常數(shù)4=.

"(4)設向量a、b、c為單位向量，JLa-b-c=0,則a-b+b-c+c-a=________.

*(5)設(axb>c=2,則［(a+b)x(b+c)〉c=t

*(6)設向量a=2i+j-l^b=i-2j+k為平行四邊形的兩鄰邊，則該平行四邊

形的兩條對角線之間的夾角為.

2.選擇題

(1)設a與b均為非零向量，則下列結論正確的是

()

(A)axb=0是a與b垂直的充要條件

(B)a-b=()是a與b平行的充要條件

(C)a與b的對應分量成比例是a與b平行的充要條件

(D)若a=kb(%是實數(shù))，則a-b=0

*(2)已知a,b都是非零向量，則H-b|=|a+b］的充要條件是

()

(A)a-b=O(B)a+b=0(C)ab=0(D)axb=0

3.已知點M(LT，2)、和加3(3,1,3),求與向量用也2、同時垂直的單位向

量。

4.已知。A=i+3k,5^=j+3k,求AOAS的面積。

5.設同=3，|b|=2,(a,b)q,求g+2b)x(a-b］。

6.已知向量a=2i-3j+k、b=i-j+3k和c=i-2j,計算：

(I)(a-b)c-(a-c)b.(2)(a+b)x(b+c)。

*7.設a、b、c為兩兩都不平行的非零向量，且a+b與c平行，b+c與a平行，

試證明a+b+c=0。

習題答案：

3a

1.(1)3；{5』，7}；.18；{10,2J4}；石.

(2)bxbybz.。也+叫々+。也=0.

3n

(3)-2或3.(4)2'(5)2.(6)2.

2.(1)(C).(2)(C).

土德(3i-2j-2k)

3.V17

1V19

4.2.

5.9.

6,-8i-24k;-j-k.

7.a+b=4c,b+c=ua,a-c=2c-wa,(1+w)a=(1+A)c,2=-1.

§1.3平面與直線

內(nèi)容提要

1、平面及其方程

基本概念：法向量、兩平面的夾角。

主要結論：點法式方程、三點式方程、截距式方程、一般方程、兩平面的夾角公

式、點到平面的距離公式。

2、直線及其方程

基本概念：方向向量、兩直線的夾角。

主要結論：點向式方程、兩點式方程、參數(shù)方程、一般方程、兩直線的夾角公式、

點到直線的距離公式。

3、平面與直線的關系

主要結論：平面束方程、平面與直線的夾角公式。

目的要求

1、掌握平面方程和直線方程的幾種形式。

2、依據(jù)一定條件會求平面方程和直線方程。

3、能解決有關直線與平面的問題，如平行、垂直、夾角、距離等。

重點難點

1、平面方程和直線方程的幾種形式。

2、求平面方程和直線方程。

3、由平面方程求法向量和由直線方程求方向向量。

講授內(nèi)容

前面講了向量的基本概念及其運算（包括加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積和向量積兩種

乘法），現(xiàn)在我們運用向量這個工具來研究空間圖形及其方程。

那么，什么是空間圖形及其方程呢？正如平面圖形及其方程一樣，如果一個空間

圖形和一個方程滿足兩點：（1）凡是圖形上的點，其坐標都滿足方程；（2）凡不是圖形上

的點，其坐標都不滿足方程，則我們稱該方程是該圖形的方程，該圖形是該方程所表

示的圖形。

我們從最簡單的空間圖形一一平面和直線講起。

一、平面及其方程（100分鐘）

首先，我們來考察這樣一個問題：即由平面的特征來確定平面的方程。

1、點法式方程（14分鐘）

由中學立體幾何我們知道，已知平面上一點和垂直于該平面的一條直線（或向量）,

就可以唯一地確定一個平面。我們把垂直于一個平面的向量稱為該平面的法向量。

設一個平面》經(jīng)過點M）（xo,yo,zo），并有法向量萬={A,B,C},則對于平面上的任意

點例（x,y,z）,向量M。"={x—xo,y-yo,z-zo}，由于萬_L",且"o"G",因此方_L

,即方?Mo"=0,故A（x—xo）+B（y—yo）+CQ—Zo）=O;反之，可以看出，不是

平面上的點的坐標就一定不滿足這個方程。因此，這個方程就是要求的該平面的方程。

這個方程稱為平面的點法式方程。

2、三點式方程（10分鐘）

由中學立體幾何我們也知道，已知平面上的三個不共線的點也可以唯一地確定一

個平面。

設一個平面”經(jīng)過三個點〃2（必,丁2之2）、加3。3,〉323），為應用前面的點

法式方程得到平面的方程，需確定該平面的法向量，如何得到該平面的法向量呢？【啟

發(fā)與討論】對于平面上的任意點M{x,y,z）,以M為起點的向量〃幽2={必一修，力一

y\,Z2~z\}-"幽3="3—xi,"―yi,Z3—zi}、="—%],y—2—zi},由于a_L

也也、方，M〃3,因此可取萬=加陷2x,又由于萬，MM,因此

.(M1M2x知1知3)=0,將坐標代入并整理可得:

x-My—必z-Zi

馬一再》2一月Z2-Z|

當一匹為一/Z3-Z|=0

這個方程稱為平面的三點式方程。

3、截距式方程(6分鐘)

特殊地，當我們已知一個平面在三個坐標軸(x軸、y軸、z軸)上的截距分別為。、

b、c時，即該平面經(jīng)過三個點MMQO)、河2(0力,0)、M3(O,O,C),由三點式方程就可得

到該平面的方程，經(jīng)整理后得到：

這個方程稱為平面的截距式方程。

4、一般方程(30分鐘)

上面得到的平面方程的三種表示形式，無論哪一種方程經(jīng)化簡后均得到一個三元

一次方程。例如點法式方程A(x—xo)+BQ—yo)+C(z—zo)=O化簡后得到下列三元一次方

程

Ax+By+Cz+D=O(其中D=—Axo—Byo-Czo)

由于三種表示形式均具有一般性，因此，一般來講，平面的方程都是三元一次方程；

反之，三元一次方程都表示平面。我們把三元一次方程稱為平面的一般方程。

以上是由平面的特征來確定平面的方程。現(xiàn)在，我們再來考慮一個相反的問題：

即由平面的方程來確定平面的特征。【啟發(fā)與討論】

設平面的一般方程為Ax+By+Cz+D=O,則轉(zhuǎn)化為三種表示形式是：

(l)x、y、z中任取兩個的值，代入方程解出第三個的值，即得一點；設一個點為

M)(xojo,zo)，即Axo+Byo+Czo+D=O則相減得A(x—xo)+B(y—yo)+CQ—zo)=O，這說明向

量方={A,B,C}始終垂直于平面內(nèi)的任意向量，即方={A,B,C}就是平面的法向量。

(2)按前面取一個點的辦法當然可以取三點。

(3)令產(chǎn)z=0，解得x=—D/A,這就是平面在x軸上的截距；類似地，平面在y軸

和z軸上的截距分別為一D/B和一D/C。

特殊地，我們來看一看特殊方程的特征：

(1)一個系數(shù)等于零：D=0表示平面經(jīng)過原點，A=0表示平面平行于x軸

({O,B,C}?{1,0,0}=0,即法向量垂直于x軸)，類似地，B=0表示平面平行于y軸，

C=0表示平面平行于z軸。

(2)兩個系數(shù)等于零：A=B=O表示平面平行于X。)，平面，類似地，B=C=O表示平

面平行于yOz平面，C=A=0表示平面平行于zOx平面；A=D=0表示平面經(jīng)過x軸

(平行于x軸且經(jīng)過原點)，類似地，B=D=0表示平面經(jīng)過y軸，C=D=0表示平面經(jīng)過

z軸。

y(3)三個系數(shù)等于零：A=B=D=0既是xOy平面，類似

、'\.、地，B=C=D=0既是yOz平面，C=A=D=0既是zOx平面。

'X'\(4)四個系數(shù)等于零：任意坐標均滿足方程，既為整個

/_____________________空間。

--------------心5、兩平面的夾角(5分鐘)

兩個平面的法向量的夾角稱為這兩個平面的夾角。

由四點共圓知，這樣定義與中學的定義是等價的。

設平面萬1：Aix+Biy+Ciz+Di=O和平面“2：A2X+B2)，+C2Z+D2=0,則其法向量為萬1

={ABC}和元2={A2,B2,C2},根據(jù)數(shù)量積的定

義得兩平面的夾角。的余弦為

何忻21ylA；+B：+C：y/A；+B；+C；

6、點到平面的距離公式(10分鐘)

設Po(xo,yo,zo)是平面"：Ax+By+Cz+D=o外一

點，由于直接求較為困難，我們在平面上任取一點PiUunZi),則根據(jù)直角三角形的

特性和數(shù)量積的定義得P。點到平面萬的距離為

方?尸勺|A(x0-x,)+B(y0-y,)+C(z0-Z,)|

d=PRcos56%=

向yjA2+B2+C2

=\Ax0+By0+CZo^g|^.q"nA/+By,+Cz,+D=0)

VA+B~+C~

下面通過例題來實踐上述基本知識：(25分鐘)

Ex1已知平面kx+y-2z=3與平面2x+4)，+3z=5垂直，則k=。

解：%={k』,-2},-={2,4,3},五」%f2a4-6=0-*A=1

Ex2一平面經(jīng)過兩點必(1,1,1)、M2(2,3,4),且垂直于平面x—y+z=l,求該平

面的方程。

解：已知平面x—y+z—1=0的法向量為瓦=[1,-1/},它平行于要求的平面，因

此要求的平面的法向量為可取為

ijk

123

11

n=M[M2x?1=={5,2,-3}

從而根據(jù)點法式方程得要求的平面的方程為

5(x—1)+2。-1)—3(z—1)=0即5x+2y—3z=l。

Ex3理解下列平面所圍成的立體K理解好并培養(yǎng)空間想象能力對今后的學習至

關重要為

⑴x+y+z=0、x=0、y=0、z=0；

(2)在第I圭卜限內(nèi)，y=x、y=2x>x+y=l、z=0、z=l。

二、直線及其方程(70分鐘)

前面講了利用向量來研究平面，著重講了兩件事情：即由平面的特征來確定平面

的方程和由平面的方程來確定平面的特征，其中前者包括平面的點法式方程、三點式

方程、截距式方程和一般方程。類似地，我們利用向量來研究直線。【啟發(fā)與討論】

1、點向式方程(15分鐘)

與平面的點法式方程相似，對于空間直線有直線的點向式方程，即如果已知直線

經(jīng)過一個點并有方向向量就可以確定該直線的方程。所謂直線的方向向量是指與直線

平行的非零向量。

設一條直線L經(jīng)過點M)(xo,yo,zo),并有方向向量6={"2,〃,p},則對于直線上的任

意點M（x,y,z）,向量"o"={x—xo,y—No,z—Zo}，由于?〃L，且"o"GL,因此6//

X_/_y一兒」z_.

即SxMoM=6,故機一“一P；反之，可以看出，不是直線

上的點的坐標就一定不滿足這個方程。因此，這個方程就是要求的該直線的方程。這

個方程稱為直線的點向式方程。

注意：直線的點向式方程是一個連等號，事實上是由兩個三元一次方程組成的方

程組，這與平面的方程是一個三元一次方程有所不同。

2、兩點式方程（5分鐘）

我們也知道，已知直線上的兩點也可以唯一地確定…條直線。

設一個直線L經(jīng)過兩個點例2（如>20），則以Mi為起點、“2為終點

的向量加1知2={也一X1,以一%,Z2—Zl}可作為該直線的方向向量，因此直線的方程為

X.X[=）'）']'Z-Z|

聲一七力一必馬一芍

這個方程稱為直線的兩點式方程。

3、參數(shù)方程（5分鐘）

在直線的點向式方程中，令公比等于《稱之為參數(shù)），就得到

x=x（）+mt,y=y（）+nt,z=Zo+pt

這個方程稱為直線的參數(shù)方程。

注意：直線的參數(shù)方程中x、y、z都是關于參數(shù)，的線性函數(shù)。

4、一般方程（面交式方程）（35分鐘）

由直線的點向式方程知道直線的方程事實上是由兩個三元一次方程組成的方程

組；反之，由于每一個三元一次方程均表示一個平面，因此由兩個三元一次方程組成

的方程組就表示兩個平面的交線，即是直線。由于這種表示方式具有普遍意義，因此

將直線表示為兩個平面

A[X+8]y+Gz+。]=0

<

A2x+當y+gz+A=0

的交線，這種方程稱為直線的一般方程或面交式方程。

現(xiàn)在，我們來考慮直線方程的四種表示形式的相互轉(zhuǎn)化。顯然，直線的前三種形

式（點向式方程、兩點式方程和參數(shù)方程）的相互轉(zhuǎn)化以及由點向式方程轉(zhuǎn)化為面交式

方程都沒有什么問題，我們只需要來看由面交式方程轉(zhuǎn)化為點向式方程這個問題。我

們以例題的形式來講解，一般的情況請自己總結。

lx+ly+lz+1=0

-：

Ex1用點向式方程表示直線[卜+2y+3z+4=0。

解：可以采用三種辦法來求直線的方向向量MK此處可讓學生思考》【啟發(fā)與討

論】

⑴取兩點的辦法：取x=0,代入方程組解得y=l、z=-2,即得直線上一點％（0』,-2）；

類似地，取），=0,代入方程組解得y=l、z=-2,即得直線上另一點隊（1/2,0,-3/2）。因

此直線的方向向量6可取為?=〃陷2={1/2,-1,1/2}=1/2{1,-2,1}O

（2）用叉乘的辦法：由于直線是兩平面的交線，因此兩平面的法向量4={1,1,1}

和％={1,2,3}均垂直于該直線，也垂直于該直線的方向向量，從而直線的方向向量可

取為