第二章

正投影法基礎2.1投影法的概述2.2立體的投影分析2.3回轉體PPP2.1投影法概述物體投射線投影投影中心中心投影法平行投影法斜投影法一、點的投影方法二、直線和平面的投影的特征投影面投影面投影面積聚性VWH三、三視圖的形成及其投影規律俯視方向左視方向主視方向1、視圖方向及其投影2.視圖的概念

主視圖

——體的正面投影

俯視圖

——體的水平投影

左視圖

——體的側面投影3.三視圖之間的度量對應關系三等關系俯視左視寬相等且對應寬相等主視左視高相等且平齊高平齊視圖就是將物體向投影面投射所得的圖形。主視俯視長相等且對正長對正長高寬寬一、點的投影規律1、投影軸

OX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線

OY軸H面與W面的交線HWVoXZY三投影面體系2.2立體的投影分析WHVoX2、空間點A在三投影面體系上的投影a

點A的正面投影a點A的水平投影a

點A的側面投影a

●a●a

●A●ZY空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。①a

a⊥OX軸②aax=a

az=y=A到V面的距離a

ax=a

ay=z=A到H面的距離●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●YZaza

XYayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ軸aay=a

az=x=A到W面的距離Y坐標相等連影垂軸3、點的投影規律例1：已知點的兩個面的投影，求第三投影。●●a

aax●a

●●a

aaxazaz解法一:解法二:a

●通過作45°線使a

az=aax用圓規直接量取a

az=aaxb

(c

)a

abca

b

c

a

b

c

練習題1：已知各點的兩個投影，求其第三投影。

(2)ba

b

c

(1)a(c)投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統稱特殊位置直線垂直于某一投影面二、直線的投影1、各種位置直線的投影特性b

a

aba

b

b

aa

b

ba

?1?、投影面平行線①在平行投影面上反映實長以及與另外兩投影面的夾角。②另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。水平線側平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實長實長實長βγααβba

aa

b

b

BaHXVb'Oabb"YA'"aW?2?、投影面垂直線鉛垂線正垂線側垂線①在與其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)②另外兩個投影，反映線段實長；且垂直于相應的投影軸。Hb'XV'aWbOaBAa"b"Y?3?、一般位置直線

投影特性：

三個投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。HXVa'WAaO"aYBb'bb"

練習2：已知立體上直線AB、CD的空間位置，在投影圖中標注其投影位置，填。

(c’’

)

(d’’

)

鉛垂

一般位置

AB是線，反映AB實長；

AC是

線。

反映AC實長；練習3：已知直線AB、AC的二投影，求二直線的第三投影,并說明其空間位置和反映實長的投影。

水平線

Zb

a

c

c

abYHa

b

b

a

c

3、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置可分為：兩直線平行兩直線相交兩直線交叉（異面）?1?、兩直線平行空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。投影特性：aVHc

bcdABCDb

d

a

abcdc

a

b

d

例2：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①b

d

c

a

cbadd

b

a

c

對于投影面平行線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。例3：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側面投影后可知

AB與CD不平行要用兩個投影判斷空間兩直線是否平行時，其中應包括反映實長的投影。HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

?2?、兩直線相交判別方法：

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必須符合點的投影規律。交點K是兩直線的共有點d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規律。★“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。●●12●●3

4

●●HV?3?、兩直線交叉（異面）三、平面的投影平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----實形性★

平面垂直投影面-----積聚性

★平面傾斜投影面-----類似性⒈平面對一個投影面的投影特性⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜

正垂面

側垂面

鉛垂面

正平面

側平面

水平面投影面垂直面abca

c

b

c

b

a

積聚性投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。另外兩個投影面上的投影具相似性。鉛垂面相似性bHBb'Vac''c"OacAC"aYb"W實形性投影面平行面a

b

c

a

b

c

abc投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。另兩個面上的投影分別積聚成與相應投影軸平行的直線。BbHb'Vc'c"acAC'a"aOYWb"Z積聚性一般位置平面a

b

c

a

c

b

abc三個投影都類似。投影特性：XHVZa'b'c'AaBbca"c"b"CY三、平面上的直線和點⒈平面上取任意直線判斷直線在平面內的依據定理一:若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內.定理二:若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內.abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例4：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。解法一：解法二：根據定理一根據定理二例5：在平面ABC內作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab試想直線mn是否唯一呢?是唯一的！⒉平面上取點先找出過此點而又在平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例6：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。b①acc

a

k

b

●面上取點的方法：首先面上取線②●abca

b

k

c

d

d利用平面的積聚性求解通過在面內作輔助線求解k●k●bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例7：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二五、直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交和垂直。1、平行問題

直線與平面平行平面與平面平行?1?

直線與平面平行

定理：若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。n

●●a

c

b

m

abcmn例8：過M點作直線MN平行于平面ABC。ABC平面內的任一直線試想:可作多少條這樣的直線MN?無數條!●●正平線例9：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。c

●b

a

m

abcmnn

●●●試想:可作多少條這樣的直線MN?唯一的一條!?2?、兩平面平行①若一平面上的兩相交直線對應平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef2、相交問題?1?直線與平面相交其交點是直線與平面的公共點。要討論的問題：●求直線與平面的交點;

●

判別可見性,即判別兩者之間的相互遮擋關系。P直線與平面相交平面與平面相交abcmnc

n

b

a

m

⑴平面為特殊位置例10：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性。空間及投影分析平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影①求交點②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。還可通過重影點判別可見性。k

●1

(2

)作圖k●●2●1●km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直線為特殊位置空間及投影分析直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性

點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見。1

(2

)k

●2●1●●作圖用面上取點法XHVZa'b'c'AaBbca"c"b"CY（3）直線和平面都在一般位置直線和平面的交點的投影必為平面和直線的投影的共有點,且滿足投影規律.abcmnc

n

b

a

m

⑴平面為特殊位置例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性。空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①求交點②判別可見性據水平投影，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。還可通過重影點判別可見性。k

●1

(2

)作圖k●●2●1●⒉兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：①求兩平面的交線方法：確定兩平面的兩個共有點。確定一個共有點及交線的方向。只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況。②判別兩平面之間的相互遮擋關系，即判別可見性。還可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，其正面投影都積聚成直線。交線為正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖n●m●●例11：求兩平面的交線并求MN并判別可見性。⑴b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)空間及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

b

與e

f

的交點m

、b

c

與f

h

的交點n

即為兩個共有點的正面投影，故m

n

即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點Ⅰ在FH上，點Ⅱ在BC上，點Ⅰ在上，點Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n

●2

●n●m

●1

●⑵c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析

N點的水平投影n位于Δdef的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內，但不在ΔDEF這個圖形內。故ΔABC和ΔDEF的交線應為MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交2.3回轉體一、回轉面的形成

一動線（直線、圓弧或其他曲線）繞一定線（直線）回轉一周后形成的曲面，叫回轉面。回轉面的形狀取決于母線的形狀及母線與軸線的相對位置。軸線母線緯圓OO

轉向輪廓線其在回轉面上的位置取決于投射線的方向。它是回轉面上可見和不可見部分的分界線。s

s

sdd

d

cc

c

bb

b

aa

a

轉向輪廓線轉向輪廓線SA和SB是對正面