試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湘豫名校聯考2024-2025學年高三下學期第二次模擬考試數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．命題“?x∈R，2A．?x∈R，2?xC．?x?R，2?x2．已知z=1?i，則在復平面內，復數A．實軸上 B．虛軸上C．直線y=x上 D．直線3．某中學有初中生600名，高中生200名，為保障學生的身心健康，學校舉辦“校園安全知識”了競賽.現按比例分配的分層隨機抽樣的方法，分別抽取初中生m名，高中生n名，經統計：m+n名學生的平均成績為74分，其中m名初中生的平均成績為72分，n名高中生的平均成績為x分，則x=A．74 B．76 C．78 D．804．已知OA=OB=1，OC=2，OA+A．240° B．225° C．135° D．90°5．已知函數fx為R上的奇函數，若函數y=gx+2與y=A．1 B．0 C．?1 D．6．若函數fx=sinωxω>A．0,12∪32,537．已知集合M=x,y|x?12+yA．3102 B．102 C．38．已知函數fx=xlnx2+A．1,+∞ B．2,+∞二、多選題9．已知數列an的通項公式為an=A．aB．an中的最小項為C．從第三項起，anD．數列an10．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，O是BA．AO=AC．AO⊥平面A1BC D．11．已知曲線C:x2+y2+42=16x2A．曲線C關于原點O對稱B．曲線C上所有的點都在橢圓x2C．曲線C在由直線x=±2D．存在點M，使得∠F三、填空題12．某同學收集了第一屆全國學生（青年）運動會吉祥物“壯壯”和“美美”的卡片各一張，第19屆亞運會吉祥物“宸宸”“琮琮”和“蓮蓮”的卡片各一張.現該同學準備將這5張卡片貼在墻上，若將“壯壯”和“美美”的卡片貼在“宸宸”和“蓮蓮”之間，則不同的貼法種數為.（用數字作答）13．已知拋物線E:y2=4x的焦點為F，過點F且不與x軸垂直的直線與E交于A,B兩點，過AB的中點M作14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，BC邊上的高為h.若a=4，h=32，則b四、解答題15．為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將生長情況相同的80只小鼠隨機均分為兩組：對照組（不含藥物）和實驗組（添加藥物），飼養相同時間后，分別測量這兩組小鼠的體重增加量（單位：g），并對數據進行分析，得到如下頻率分布直方圖：(1)估計實驗組小鼠體重增加量的80%分位數m；(2)將這兩組小鼠的體重增加量，從低到高分為三個等級：體重增加量x/gx10x等級較輕中等較重假設對照組和實驗組小鼠體重增加量的等級結果相互獨立.根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.現從實驗組和對照組中各隨機抓取一只小鼠，求抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級的概率.16．已知數列an的各項均為正數，前n項和為Sn，且a1=1，S(1)證明：數列Sn(2)設bn=?1n?S17．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b(1)求C的標準方程；(2)過點D?1,2的直線與C交于P，Q兩點，直線A1P，A1Q分別與18．已知函數fx(1)當x≥0時，若不等式fx(2)若fx有兩個零點x1，x2（i）求a的取值范圍；（ii）證明：3e19．已知四面體AB(1)若該四面體為正四面體，球O與其四個面都相切，證明：該四面體與球O的體積之比等于它們的表面積之比；(2)設點G是滿足GA+GB+GC+GD=0，過點G的平面Ω分別與直線AB，AC，AD(3)若空間內一點H滿足aHA+bHB+cHC+答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《湘豫名校聯考2024-2025學年高三下學期第二次模擬考試數學試卷》參考答案題號12345678910答案DCDCBDABABDBC題號11答案AC1．D【分析】根據含有一個量詞命題的否定的原則，即可得答案.【詳解】含有一個量詞的命題的否定的做法為“換量詞，否結論”，所以“?x∈R，2?x故選：D.2．C【分析】利用復數的乘、除法運算化簡，由幾何意義可得復數所對應的點的坐標，從而判斷其位置.【詳解】因為z=1所以復數zi+2z所對應的點坐標為故選：C.3．D【分析】根據分層隨機抽樣的特點求出m與n的關系，再利用平均數的計算公式列出關于x的方程，進而求解x的值.【詳解】由題意，得mn=600200,故選：D.4．C【分析】利用向量的平方等于模的平方來求解夾角即可.【詳解】由OA+因為OA=OB=即cosO因為OA,O故選：C.5．B【分析】根據函數fx為R上的奇函數，可得f0=0，又由函數y=gx+2【詳解】根據題意，函數fx為R所以f?x=?f函數y=gx+2則fx+g所以g4故選：B6．D【分析】由題設y=sint【詳解】由x∈π,2π所以y=sint若0<ωπ若3π2+2kπ≤所以32綜上，ω∈故選：D7．A【分析】先求出曲線C，再應用三角換元，結合點到直線距離公式及三角函數值域得出最大距離.【詳解】因為M=x,y|設曲線C上的點Px1,所以x=x1+1所以設x1所以曲線C上的點P到直線y=d=因為cosθ+φ當且僅當cosθ-φ=1，即θ=φ時取等號，故選：A.8．B【分析】根據解析式得到f(2?x)【詳解】若x>1，則2?x<所以f(x)當x≥1，有y=所以f(x)在(對于f5?a<f所以(4故選：B9．ABD【分析】根據an【詳解】an對于A，a1=a對于B，當n=4時，an對于C，由上計算得a3=a對于D，由an顯然(a所以an故選：ABD.10．BC【分析】對A，利用向量的線性運算求解；對B，由AO=12AB+12AA【詳解】設AB=a，A對于A，A=A對于B，因為AO所以A=1則AO對于C，因為AO所以AO⊥A1B，同理，可得AO⊥所以AO⊥平面對于D，因為AO由選項C知，AO⊥平面A1BC所以點B1到平面A1B故選：BC.11．AC【分析】曲線上任意點(x,y)關于原點對稱的點為(?x,?y)，代入曲線驗證判斷A；曲線化為y24=1?【詳解】對于C:x2+y所以[(?x所以(?x,曲線可化為y2所以2≤x2+4所以曲線C在由直線x=±2又x212+所以(x所以(x2+所以曲線C上所有的點都在橢圓x2顯然M(0,2)結合B結論，易知∠F故選：AC12．20【分析】按照特殊元素優先考慮的原則，先排“壯壯”、“美美”和“宸宸”、“蓮蓮”，再與“琮琮”進行排列即可.【詳解】先將“壯壯”和“美美”的卡片貼在“宸宸”和“蓮蓮”之間，有A2再貼“琮琮”，有C5由分步乘法計數原理可得，不同的貼法種數為A2故答案為：20.13．4【分析】根據題意作示意圖，設出直線AB的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理可得點M的坐標，從而求得點N【詳解】如圖，由題意可知，直線AB因為拋物線E:y2=4x的焦點為聯立方程x=my設Ax1,設MxM,yM由拋物線的定義可知，NAB所以AB故答案為：4.14．64【分析】若a=4,h=32，根據三角形面積公式可得bcsin【詳解】若a=4,所以bcsinA=6所以bc若h=36a，由余弦定理得23整理得b2∴b2+c2故答案為：6，4.15．(1)24(2)0【分析】（1）根據百分位數的定義結合頻率計算求解；（2）應用獨立事件概率乘積公式結合互斥事件概率和公式計算求解.【詳解】（1）因為25,30的頻率為0.15，且所以m在[20,25)內，所以（2）對照組較輕的概率為0.15，中等的概率為0.實驗組較輕的概率為0.2，中等的概率為0.設抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級為事件A，則PA所以抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級的概率為0.16．(1)證明見解析(2)2【分析】（1）先根據等差中項列式，再根據完全平方公式計算化簡，由定義得出等差數列；（2）先寫出等差數列的通項公式，再應用bn的分組求和得出T【詳解】（1）因為Sn+1是1?S所以Sn因為數列an的各項均為正數，所以S所以Sn=S所以數列Sn是公差為1，首項為S（2）因為數列Sn是公差為1，首項為S所以Sn所以Sn=n2，當當n≥2時，所以an所以bnT======17．(1)x(2)證明見解析【分析】（1）根據題意列出方程，求解即可；（2）設直線PQ:y=k(x+1)+2，P(【詳解】（1）由題可得4a2+所以C的方程為x2（2）設直線PQ:y=k(x+聯立y=k(韋達定理得x1kA1P令x=0，得yMyM代入得y=2所以B10,?2為M18．(1)a(2)（i）a>【分析】（1）整理不等式并構造函數，利用導數分情況研究函數單調性，可得答案；（2）（i）利用導數分情況研究函數單調性，求得其最值，結合零點存在性定理，可得答案；（ii）明確零點的取值范圍，分析整理不等式，利用函數的單調性，構造不等式與函數，利用導數求新函數的最值，可得答案.【詳解】（1）設px則p′x=ex所以p′x在0,①當1?a≥0，即a≤1時，p′②當1?a<0，即a>1時，p′0<0，則一定存在x0綜上所述，a的取值范圍為?∞（2）（i）由題意知，fx的定義域為R當a≤0時，f′x>從而fx在R上至多有一個零點．7分當a>0時，令f當x<lna時，f當x>lna時，f所以x=lna即f(x)min=所以當0<a<1時，當a>1時，g′所以a=1是ga即g(a)一方面，由（1）可知，取a=1，當x≥0時，即x≥ln1+x所以當x>0時，x?1≥lnx因為f?3a=e?3另一方面，由（1）知，ex又lna所以f=5所以fx在區間lna,綜上所述，a的取值范圍是0,（ii）證明：由fx1=所以ex2?要證3ex1即證3ex1+ex2即證tet+設ht=e所以ht在區間0,+∞上單調遞增，所以所以不等式3e19．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據正四面體的性質，結合勾股定理可得AF（2）根據向量的線性運算，結合共面的結論可得xλ1=（3）先證明a+b+c+【詳解】（1）設正四面體AB