試題PAGE1試題2024北京八中高一（下）期中數學年級：高一科目：數學考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.在范圍內，與角終邊相同的角是A. B. C. D.2.在三角形ABC中，“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知，則（）A. B. C. D.－4.函數圖像的一個對稱中心是A. B. C. D.5.設函數f(x)＝2sin(x＋)．若對任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則|x1－x2|的最小值為（）A.4 B.2 C.1 D.6.已知平面向量與的夾角為，，，則（）A. B.C. D.7.下列函數中，以為周期且在區間(，)單調遞增的是A.f(x)=│cos2x│ B.f(x)=│sin2x│C.f(x)=cos│x│ D.f(x)=sin│x│8.若在是減函數，則的最大值是A. B. C. D.9.如圖，已知等腰中，，，點P是邊上的動點，則（）A.為定值10 B.為定值6C.為變量且有最大值為10 D.為變量且有最小值為610.如圖，扇形的半徑為1，圓心角，點在弧上運動，，則的最小值是（）A.0 B. C.2 D.二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分．11.半徑為，圓心角為的弧長為___________.12.若函數的最小正周期為，則__________．13.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.14.的內角的對邊分別為.若，則的面積為__________.15.聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復合音．若一個復合音的數學模型是函數，則下列結論錯誤的序號是______；①的一個周期為；②的最大值為；③的圖象關于直線對稱；④在區間上有3個零點．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點（1）求的值；（2）求的值.17.如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上的一點，且AB=14，BD=6，∠ADC=，．（Ⅰ）求sin∠DAC；（Ⅱ）求AD的長和△ABC的面積．18.已知函數的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）若函數，求在區間上的最大值和最小值．19.已知函數.在下列條件①、條件②、條件③這三個條件中，選擇可以確定和值的兩個條件作為已知.(1)求的值；(2)若函數在區間上是增函數，求實數的最大值.條件①：最小正周期為；條件②：最大值與最小值之和為；條件③：.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.20.設的內角的對邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）再從以下三組條件中選擇一組條件作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求的面積.第①組條件：；第②組條件：；第③組條件：邊上的高.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.21.設函數的定義域為.若存在常數，，使得對于任意，成立，則稱函數具有性質.（1）判斷函數和具有性質？(結論不要求證明)（2）若函數具有性質，且其對應的，.已知當時，，求函數在區間上的最大值；（3）若函數具有性質，且直線為其圖像的一條對稱軸，證明：為周期函數.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】A【分析】根據與角終邊相同的角是2kπ+（），k∈z，求出結果．【詳解】與角終邊相同的角是2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得與角終邊相同的角是，故選A．【點睛】本題考查終邊相同的角的定義和表示方法，得到與角終邊相同的角是2kπ+（），k∈z，是解題的關鍵2.【答案】A【詳解】試題分析：由題意得，當，可得，而在三角形中，當時，或，所以“”是“”的充分不必要條件．考點：充分不必要條件的判定．3.【答案】C【分析】運用誘導公式化簡即可.【詳解】.故選：C.4.【答案】D【詳解】由得，當時，．所以函數圖象的一個對稱中心為．選D．5.【答案】B【分析】是函數最小值，是函數最大值，因此的最小值為周期的一半，由此可得．【詳解】由題意f(x)的周期，對任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則是函數最小值，是函數最大值，因此的最小值為周期的一半，∴|x1－x2|min＝2.故選：B．6.【答案】B【分析】根據向量的數量積公式及模長公式直接求解.【詳解】由，得，又，所以，所以，所以，故選：B.7.【答案】A【分析】本題主要考查三角函數圖象與性質，滲透直觀想象、邏輯推理等數學素養．畫出各函數圖象，即可做出選擇．【詳解】因為圖象如下圖，知其不是周期函數，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區間單調遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區間單調遞減，排除B，故選A．【點睛】利用二級結論：①函數的周期是函數周期的一半；②不是周期函數；8.【答案】A【詳解】因為，所以由得因此，從而的最大值為，故選：A.9.【答案】A【分析】設，根據平面向量數量積及加減法運算結合余弦定理可得結果.【詳解】設，因為，所以,又，，所以，故選：A.10.【答案】D【分析】以為軸，以為原點，建立坐標系，設，，根據平面向量基本定理的坐標運算可得：，再利用三角函數的有界性，即可得到答案；【詳解】解：以為軸，以為原點，建立坐標系，如圖，設，，則，，，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴當時，，即的最小值為．故選：D．二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】根據弧長公式(：扇形圓心角，：扇形的半徑)【詳解】故答案為：12.【答案】1【分析】利用二倍角的余弦公式和周期公式求解.【詳解】因為，因為最小正周期為，所以解得，故答案為:1.13.【答案】.【分析】先根據正弦定理把邊化為角，結合角的范圍可得.【詳解】由正弦定理，得．，得，即，故選D．【點睛】本題考查利用正弦定理轉化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數學運算素養．采取定理法，利用轉化與化歸思想解題．忽視三角形內角的范圍致誤，三角形內角均在范圍內，化邊為角，結合三角函數的恒等變化求角．14.【答案】【分析】本題首先應用余弦定理，建立關于的方程，應用的關系、三角形面積公式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎知識、基本方法、數學式子的變形及運算求解能力的考查．【詳解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【點睛】本題涉及正數開平方運算，易錯點往往是余弦定理應用有誤或是開方導致錯誤．解答此類問題，關鍵是在明確方法的基礎上，準確記憶公式，細心計算．15.【答案】①②③【分析】對于①，代入周期的定義，即可判斷；對于②，分別比較兩個函數取得最大值的值，即可判斷；對于③，代入對稱性的公式，即可求解；對于④，根據零點的定義，解方程，即可判斷.【詳解】對于①，，故①錯誤；對于②，，當，時，取得最大值1，，當，時，即，時，取得最大值，所以兩個函數不可能同時取得最大值，所以的最大值不是，故②錯誤；對于③，，所以函數的圖象不關于直線對稱，故③錯誤；對于④，，即，，即或，解得：或或，所以函數在區間上有3個零點，故④正確.故答案為：①②③.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用三角函數定義求得的值，進而求得的值；（2）先求得的值，再利用三角函數誘導公式即可求得該式的值.【小問1詳解】角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點，則，則；【小問2詳解】由（1）得，則，則17.【答案】（1）（2）【分析】（Ⅰ）在中，已知∠ADC=，，要求sin∠DAC，所以將∠DAC用∠ADC和∠C來表示可得∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），進而用誘導公式可得，再用兩角和的正弦公式展開，利用條件可求得結果；（Ⅱ）在△ABD中，知道一個角、兩條邊，故可用余弦定理求邊AD的長．△ACD中，根據條件由正弦定理可求CD邊長，進而可求BC邊長，根據條件分別求的面積即可得所求．【詳解】解：（Ⅰ）△ACD中，因為∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），∠ADC=，所以=；因為，0＜∠C＜π，所以；所以；（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2﹣2BD?AD?cos∠ADB，所以，所以AD2+6AD﹣160=0，即（AD+16）（AD﹣10）=0，解得AD=10或AD=﹣16（不合題意，舍去）；所以AD=10；在中，由正弦定理得，即，解得CD=15；所以，即．【點睛】三角形中已知邊和角，求其它的邊、角，應用正弦定理或余弦定理．⑴已知三邊，可用余弦定理求角；⑵已知兩邊一角，可用余弦定理求第三邊；⑶已知兩邊一對角，可用正弦定理或余弦定理求第三邊；⑷已知兩角一邊，應用正弦定理求邊．18.【答案】（1）（2）最大值為和最小值為0【分析】（1）由圖象及三角函數的性質可以得到，進而得到的解析式；（2）根據三角恒等變換化簡，進而分析在區間上的最大值和最小值.【小問1詳解】由圖象可知：，將點代入得，∴【小問2詳解】由得當時，即；當時，即；19.【答案】答案見解析【分析】利用三角函數恒等變換公式把函數化簡成，選擇①②，利用①、②分別求出和，進而求和的遞增區間即可問答問題(1)(2)；選擇①③，利用①、③分別求出和，進而求和的遞增區間即可問答問題(1)(2)；選擇②③，利用②、③都只能求出m不能求出.【詳解】.選擇條件①②：(1)由條件①得，，又因為，所以，由②知，，所以，則，所以；(2)令，所以，所以函數的單調增區間為，因為函數在上單調遞增，且，此時，所以，故實數的最大值為.選擇條件①③：(1)由條件①得，，又因為，所以，由③知，，所以，則，所以；(2)令，所以，所以函數的單調增區間為，因為函數在上單調遞增，且，此時，所以，故實數的最大值為.說明：不可以選擇條件②③：由②知，，所以；由③知，，所以；矛盾.所以函數不能同時滿足條件②和③.【點睛】涉及正余弦型函數性質(單調性、周期性、對稱性、最值等)的三角函數式問題，正確利用三角函數恒等變換公式化成的形式是解決問題的關鍵.20.【答案】（1）（2）答案見詳解【分析】（1）結合正弦定理邊化角可直接求解；（2）若選①結合余弦定理求得不唯一；若選②，由固定可確定唯一，結合第三角公式求得，再由正弦面積公式即可求解；若選③，由正弦定理可求得，結合余弦定理可求得，再由正弦面積公式即可求解.【小問1詳解】由，因為，化簡得，又【小問2詳解】若選①，則，，，由余弦定理可得，代入數據化簡得或3，故選①不成立；若選②，則，，，求得，由正弦定理可得，解得，由，因為，，唯一，則唯一，三角形存在且唯一確定，；若選③，由邊上的高可得，解得，又，由余弦定理可得，代值化簡得或（舍去），三角形存在且唯一確定，21.【答案】（1）函數不具有性質，具有性質，（2）在上有最大值，（3）證明見解析【分析】（1）直接利用性質判斷；（2）由性質，可求出的函數解析式，利用三角函數的性質可求出其最大值；（3）由直線為圖像的一條對稱軸，可得，由性質可求得，再由直線為圖像的一條對稱軸，得，從而可得結論【詳解】解：（1）因為函數是單調遞增函數，所以函