【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）

第32練空間點、直線、平面間的位置關系（精練）

【A組在基礎中考查功底】

一、單選題

1.若直線/是平面c的一條斜線，則在平面a內與/垂直的直線（）

A.有且只有一條B.有無數條

C.有且只有兩條D.不存在

【答案】B

【分析】依題意畫出圖形，即可判斷.

【詳解】如圖設斜線/與平面a交于點A,在平面0內過點A作直線a，/,

則在平面e內所有與直線。平行的直線均與直線/垂直，

故在平面0內與/垂直的直線有無數條.

故選：B

2.下列命題錯誤的是（）

A.不共線的三點確定一個平面B.一條直線和直線外一點，可確定一個平面

C.梯形可確定一個平面D.圓心和圓上兩點可確定一個平面

【答案】D

【分析】由平面的基本性質判斷.

【詳解】A.由平面的基本性質知：不共線的三點確定一個平面，故正確；

B.由平面的基本性質的推論知：一條直線和直線外一點，可確定一個平面，故正確；

C.梯形有一組對邊平行，由平面的基本性質的推論知：梯形可確定一個平面，故正確；

D.由平面的基本性質知：當圓心和圓上兩點共線時，不能確定平面，故錯誤；

故選：D

3.如圖所示，用符號語言可表達為（）

A.aC\/3=m,〃ua,m[yn=AB.aPl,n&a,mC\n=A

C.aC\/3=m,nua,4um,AunD.a[\{3=m,Mea,Aem,Aen

【答案】A

【分析】結合圖形及點、線、面關系的表示方法判斷即可.

【詳解】如圖所示，兩個平面。與萬相交于直線冽，直線〃在平面。內，直線加和直線〃相交于點A,

故用符號語言可表達為。0￡=加，“ua,mC\n=A,

故選：A.

4.如圖，在正方體9CD-4片&。中,異面直線/C與耳。所成的角為（）

71

A.-B.一cD.-

64-f2

【答案】D

【分析】由異面直線所成角的概念求解,

【詳解】由題意，正方體中得用2〃以九故異面直線AC與4。所成的角，即正方形對角線/C與BD的夾

嶺

故選：D

5.已知4B,C表示不同的點，l表示直線，a，B表示不同的平面，則下列推理中錯誤的是（）

A.Ael,Aea,Bcl,Beanlua

B.AeafAe0,Bea,Be/3=acf3=AB

C.A,Bea,直線AB與直線/是異面直線

D.A&a,Ael,I<za=lca=A

【答案】C

【分析】根據點、線、面的位置關系，結合公理1和公理3逐一對A、B、C、D四個選項作出判斷即可.

【詳解】對A,利用公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，則這條直線上的所有點都在這個平面內，

故A正確；

對B,根據公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這些公點的集合是一條過該點

的公共直線，故B正確；

對C,直線/u6與點4Bea,則不能判斷直線與直線/的位置關系，故C不正確；

對D,直線1與平面a內有公共點A,又lua,則直線/與平面a只能相交，故D正確.

故選:C

6.三條直線兩兩相交，最多可以確定平面（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據題意，畫出圖形，結合公理2,即可得出答案.

【詳解】在空間中，兩兩相交的三條直線最多可以確定3個平面.

如圖，尸4P3,尸C相交于一點尸，且尸4尸民尸C不共面，則尸4尸3確定一個平面P/8,

尸民尸C確定一個平面尸3C,P4PC確定一個平面R4C.

7.已知互不重合的三個平面a、￡、y,其中ac￡=a,=b,7na=c,且ap|b=尸，則下列結論一

定成立的是（）

A.b與。是異面直線B.。與c沒有公共點

C.bileD.bC\c=P

【答案】D

【分析】根據題設條件可得相應的空間圖形，從而可得正確的選項.

【詳解】。口6=尸，Pea,Peb,

'：a=a[\f3,b=/3C\y,/.Pea,PwB,Pcy,

,/an/=c,".Pec,br\c=P,ac\c=P,

如圖所示：故A,B,C錯誤；

故選：D.

8.下列說法正確的是（）

A.一個平面里有三個不同的點到另一個平面的距離都相等，則這兩個面平行

B.和同一條直線都相交的兩條直線一定相交

C.經過空間中三個點有且只有一個平面

D.經過兩條相交直線有且只有一個平面

【答案】D

【分析】根據空間中點線面的位置關系即可結合選項逐一求解.

【詳解】對于A,一個平面里有三個不同的點到另一個平面的距離都相等，則這兩個面可能相交也可能平行,

例如在正方體中，平面CDDC中的點到平面力。。4的距離均相等，但是平面CDAG與平面

NDR4相交，不平行，故A錯誤，

對于B,和同一條直線都相交的兩條直線不一定相交，例如正方體中CD,均與8C相交，但是。不

相交，故B錯誤，

對于C,經過空間中三個不共線的點有且只有一個平面，故C錯誤，

對于D,兩條相交直線可以確定一個平面，因此經過兩條相交直線有且只有一個平面，故D正確，

故選：D

9.在以下四個圖中，直線。與直線6平行的位置關系只能是（）

B

【答案】D

【分析】由平面a,p內的兩直線的位置關系，判斷直線a與直線b平行是否能夠平行.

【詳解】解：選項A中，平面a,p內的兩直線異面，則a與b異面；

選項B中，平面a,0內的兩直線異面，則a與b異面；

選項C中，平面a,p內的兩直線異面，則a與b異面；

選項D中，平面a,p內的兩直線相交，兩相交直線可以確定一個平面，

則a與b相交或平行，由圖可知，a與b平行.

故選：D.

10.點E,F,G,〃分別為空間四邊形/BCD中N3,BC,CD,/￡＞的中點，若且/C與8。所

成角的大小為90。，則四邊形￡尸6〃是（）

A.梯形B.空間四邊形

C.正方形D.有一內角為60。的菱形

【答案】c

【分析】根據已知，結合圖形，利用三角形中位線的性質以及等角定理進行判斷.

因為點E,F,G,H分別為空間四邊形ABCD中AB,BC,CD,AD的中點,

所以FG//BD,EHIIBD,HG//AC,EFIIAC,

所以EH//FG,HG//EF,所以四邊形所GH是平行四邊形，

又AC與BD所成角的大小為90。，所以〃G與FG所成角的大小為90。,

即尸G_LHG,所以四邊形￡尸GW是矩形，

又AC=BD,FG=-BD,HG=-AC,所以尸G=〃G,

22

所以四邊形EFGA是正方形，故A,B,D錯誤.

故選：C.

11.在正方體Z5CD-44GA中，E,尸分別是42的中點，則直線"與直線四所成角的正切值

為（）

A.1B.-C.—D.—

2323

【答案】A

【分析】取3。的中點G,直線EF與直線團所成的角為/EFG,在A￡FG中求其正切值即可.

【詳解】如圖，取8。的中點G,連接EG,FG,則/4〃尸G,且N4=FG

故直線EF與直線M所成的角為/EFG.

因為441，面48c。，EGu面4BCD,所以441_L￡G,FGLEG,

設/4=EG=2fl,EG=-AD=a,貝!!tan/EFG=空=工.

2FG2

故選：A

12.在中國古代數學著作《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且

均為扇環形（扇環是指圓環被扇形截的部分），現有一個如圖所示的曲池，它的高為2,BB〉CCt,

均與曲池的底面垂直，底面扇環對應的兩個圓的半徑分別為1和2,對應的圓心角為90。，則圖中異面

直線/用與CA所成角的余弦值為（）

【答案】A

【分析】根據異面直線的夾角運算求解.

【詳解】設幺8ICD=。,/"JCR=J,分別延長DC,04到E,E1,使得=OC=CAQ耳=QG=C",

連接EE300],BO?”BE，

可得/月〃801,EO\HCD\,則異面直線/片與5,所成角（或其補角）,

則BO,=EO1=45,BE=也,

在ABE。1中,由余弦定理可得cosNBC\E=產=,

2B0xE0x2xV5xV55

4

即異面直線ABX與CD.所成角的余弦值為1.

故選：A.

EOCD

13.如圖，?0/?=/,A,Bea,Ce/?,且Ce/,直線4Bc/=M,過43c三點的平面記作7,則/與

P的交線必通過（）

A.點/B.點、BC.點C但不過點MD.點C和點W

【答案】D

【分析】利用點線面的位置關系證得MCuy與MCu",從而得到夕c/=MC,據此解答即可.

【詳解】對于AB,易得43石￡,故必不在7與6的交線上，故AB錯誤；

對于CD,因為過C三點的平面記作7,所以面48c與，是同一個面，

因為直線/8c/=M,所以MwNBu面48C,則Mey,

又Ce面48C,則C，，所以MCuy；

因為/8c/=M,a[}p=l,所以Me/u〃，又Ce/3,所以MCu尸，

所以/c/=MC,

所以7與萬的交線必通過點C和點“，故C錯誤，D正確.

故選：D.

14.已知四個選項中的圖形棱長都相等，且P,Q,R,S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的是（）

【答案】D

【分析】利用空間中平行關系的轉化可判斷ABC正確，根據異面直線的定義可判斷D錯誤.

【詳解】在A圖中，分別連接

由正方體可得四邊形NBC。為矩形，則

因為P,S為中點，取PS1IAB,則PS〃QR,所以尸,叢凡。四點共面.

在B圖中，設E,尸為所在棱的中點，分別連接尸S,SR,R/，尸0,￡0,尸￡,

由A的討論可得PS〃麻，故RS,E,及四點共面，

同理可得￡及〃。尸，故PSHQF,同理可得EP//火尸，SR//EQ

故尸e平面Qe平面尸及，所以尸,S,R,Q,E,尸六點共面.

在C圖中，由尸，。為中點可得尸。〃N3,同理RS//N8,

權PQHRS,所以P,S,R,0四點共面.

8

在D圖中，P0,夫5為異面直線,

故選：D.

15.如圖，在正三棱柱中,若/3=夜他則/G與8c所成角的大小為（）

B

A.135°B.105°C.90D.60°

【答案】C

【分析】分別取CC”BC，/C的中點D,￡,尸，連接DE,DF,EF,把異面直線/G與呂。所成的角轉化為直

線DE與。尸所成的角，在9跖中，結合余弦定理，即可求解.

【詳解】如圖所示，分別取CG，gG，/C的中點2瓦尸，連接DE,DF,EF,

可得DE//BQ且DFIIAC,,

所以異面直線ZG與4C所成的角，即為直線。￡與。尸所成的角，設NEDF=O,

因為三棱柱48C-48cl為正三棱柱，旦AB3BA,

不妨設AB=4,BB\=26,

在直角A。。「中，可得Db=Jcgc尸2=芯勿2+22=c,

在直角AC'DE中，可得。￡=JG》+GE?=J(V2)2+22=V6,

再取8C的中點M,連接瓦可得瓦

因為AS】_L底面/8C,所以EN_L底面48C,

在直角中，可得EF7FM。+EM。=打+（2血￥=26,

DE?+DF?-EF?6+6—12

所以cos6=所以6=90°，

2DEDF276x76

所以異面直線AC,與所成的角為90。.

二、多選題

16.下列說法錯誤的有（）

A.三點確定一個平面

B.a平面外兩點/、8可確定一個平面。與平面a平行

C.三個平面相交，交線平行

D.棱臺的側棱延長后必交與一點

【答案】ABC

【分析】利用平面的基本性質判斷選項A；舉反例判斷選項BC；利用棱臺的定義判斷選項D即得解.

【詳解】A.不在同一條直線上的三點才能確定一個平面，所以該選項錯誤；

B.。平面外兩點A、B在平面戊的垂線上，則經過A、B不能確定一個平面「與平面。平行，所以該選項

錯誤；

C.三個平面相交，交線不一定平行，如三棱錐的三個側面，所以該選項錯誤；

D.棱臺的側棱延長后必交與一點，所以該選項正確.

故選：ABC

17.我們知道，平面幾何中有些正確的結論在空間中不一定成立.下面給出的平面幾何中的四個真命題，在

空間中仍然成立的有（）

A.平行于同一條直線的兩條直線必平行

B.垂直于同一條直線的兩條直線必平行

C.一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補

D.一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補

【答案】AC

【分析】根據線線平行傳遞性和課本中的定理可判斷AC正確；垂直于同一條直線的兩條直線位置關系不

確定，可判斷B,通過舉反例可判斷D.

【詳解】根據線線平行具有傳遞性可知A正確；

空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關系可能是異面、相交、平行，故B錯誤；

根據定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補可知C正確；

如圖，aL/3,a^/3=l,^OALl,CDLl,

則OA1CE,CD1OB,但ZAOB和ZDCE的關系不確定，

故D錯誤.

故選：AC

18.如圖，在正方體中，/、B、C、。分別是頂點或所在棱中點，則N、B、C、。四點共面的圖形（）

【答案】ACD

【分析】利用中位線、平行四邊形的性質結合平行線的傳遞性進行說明即可.

【詳解】解：對于A：取GD的中點F,連結BF、EF,

因為B、F均為相應邊的中點，則BF〃HG,且BF=HG,

又HG〃AE,HG=AE,貝!|BF〃AE,BF=AE,即ABCD為平行四邊形,

所以AB〃EF,同理CD〃EF,

貝！］AB〃CD,即A、B、C、D四點共面，故A正確；

對于B：顯然AB與CD異面，故B不正確；

對于C：連結AC、BD>EF,因為BE〃DF,即BDFE為平行四邊形，

所以BD〃EF,又A、C分別為相應邊的中點，則AC〃EF,

所以BD〃AC,即A、B、C、D四點共面，故C正確；

對于D：連結AC、BD、EF、GH,

DH

因為GE〃HF,即GEFH為平行四邊形，貝！JGH〃EF,

又A、C分別為相應邊的中點，則AC〃EF,同理BD〃GH,

所以BD〃AC,即A、B、C、D四點共面，故D正確.

故選：ACD.

19.已知直線a,6和平面且a_La,blla,則a與6的關系可以為（

A.平行B.相交C.異面D.垂直

【答案】BCD

【分析】根據。力是否共面，討論b//a時。,6之間的位置關系即可.

【詳解】當6共面，^ala,Ma則:_L）且6相交；當。力不共面，若。_La,6〃a則:_L力且。/不

相交，即異面垂直關系；

故選：BCD

20.如圖所示是正四面體的平面展開圖,G,H,分別為DE,BE,M,EC的中點，在這個正四面體中，下列命題

正確的是

C.GH與MN或60。角D.與初N垂直

【答案】BCD

【分析】首先由平面展開圖還原幾何體，在幾何體中判斷線與線的位置關系，直接判斷43C選項，再根據

線面垂直判斷線線的位置關系.

【詳解】如圖，把平面展開圖還原成正四面體，知GH與EF為異面直線,A不正確；

與兒W為異面直線，B正確；

GHI/AD,MN/1AF,而ZCUb=60°,.?.NGHM=60°,

GH與MN成60。角，C正確；

連接ZG,FG,AGLDE,FGYDE

:.DEL^-^AFG,

DEVAF,

又MN〃AF

DE'與MV垂直，

D正確.

【點睛】本題考查線與線的位置關系,意在考查空間想象能力和推理證明，屬于基礎題型.

21.一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結論，其中正確的是（）

A.ABA.EFB.與CW所成的角為60。

C.E尸與是異面直線D.〃平面/CD

【答案】ACD

【分析】將平面圖形還原為立體圖形，MC//48,42，斯，A正確B錯誤，觀察知C正確，根據平面跖VF//

平面/CD得到D正確，得到答案.

【詳解】如圖所示，將平面圖形還原為立體圖形，根據正方體的性質知:

EFLMC,MC//AB,故48，環，A正確B錯誤;

E尸與兒W是異面直線，C正確;

平面MVF//平面/CD,血Wu平面ACVF,AGV//平面ZCD,D正確.

故選：ACD

C

22.在空間四面體/BCD中，如圖，￡,EG,〃分別是/RBC,"。,DC的中點，則下列結論一定正確的為（）

A.EG=FHB.EF=GH

C.￡7/與FG相交D.EG=HG

【答案】ABC

【分析】由題易得四邊形廢HG為平行四邊形，即可得到結論.

【詳解】如圖

瓦￡G,〃分別是/民8C,DC的中點，

:.EG〃BDAEG'BD,FH〃BD且FH」BD,

22

/.EGUFH且EG=FH,

四邊形EFHG為平行四邊形，

選項ABC正確；

又由題可知〃G=；/C,EG與用不一定相等，故選項D錯誤.

故選：ABC.

23.如圖，在正方體N3CD-44GA中，P，0分別是棱N4CG的中點，平面。尸。n平面/0G2=/,

則下列結論中不正確的有（）

A./過點耳

B./不一定過點與

c.。尸的延長線與的延長線的交點不在/上

D.。。的延長線與AC的延長線的交點在/上

【答案】BC

【分析】連接尸4、DBlt在正方體中可得四邊形。P四。是平行四邊形，由點共面得點共線可判斷AB；DP

的延長線與A4的延長線的交點F,DQ的延長線與D?的延長線交點E,

由點共面得點共線可判斷CD.

【詳解】連接尸與、QBX,在正方體48co中，取的中點N,

連接CN,則DPIICNIIQB\,DP=CN=QB\,

所以四邊形DP8?是平行四邊形，4?平面。網?,4?平面4功。，，

所以4故A正確，B錯誤；

如圖DP的延長線與DXAX的延長線的交點F,DQ的延長線與AG的延長線交點E,

因為￡＞尸匚平面所以尸e平面DP40,

因為24u平面48cA,所以尸e平面4月G2,所以尸€/,

因為DQu平面DP40,所以Ee平面。尸片。，

因為DGu平面44cl2,所以Ee平面44G2,所以Ee/,

故C錯誤，D正確.

故選：BC.

三、填空題

24.如圖，在長方體/BCD-48cl，中，AB=2,BC=1,BBX=1,尸是/B的中點，則異面直線BQ與R）

所成的角等于

ac,

【答案】1/60°

【分析】取中點0,根據平行關系和異面直線所成角定義可知所求角為NGB。，由長度關系可得結果.

【詳解】取中點0,連接

DQ=BP,尸，，四邊形BP。。為平行四邊形，，尸。〃8。,

.??異面直線3G與尸。所成角即為直線8G與8。所成角，即4%（或其補角）,

2222

BQ=Vl+1=V2>BCX=71+1=V2,10=出+『=后,

TT

???ABG。為等邊三角形，???/cmou],

即異面直線BC\與PD所成角為方.

故答案為：

25.在正方體48co-4片GA中，。為面48CD的中心，則平面//C與平面上珥的交線為.

【答案】OCJCQ

【分析】依題意平面4/C即平面//CG，由正方體的性質可知/cn">=o,且￡為兩平面的公共點,

即可得解.

【詳解】解：平面4NC即平面//CG，因為NCU平面4NC,BDU平面

又/Cn8O=。，Ge平面4/C,平面

所以平面//cc平面DBG=OG.

故答案為：0a

26.在空間四邊形NBC。的邊,BC,CD,D4上分別取點￡,F,G,H,如果￡〃，FG相交于一

點W,那么W一定在直線_____上.

【答案】BD

【解析】根據題意，可得直線￡〃、尸G分別是平面/即、平面BCD內的直線，因此￡〃、FG的交點必定

在平面N8D和平面8。的交線上.而平面43。交平面8C。于AD,由此即可得到點P在直線AD

【詳解】???點￡、H分別在48、4。上，而48、是平面/皿內的直線

.-.EeABD,平面N8Q,可得直線砒u平面N3D,

???點尸、G分別在3C、CD上，而3C、CD是平面BCD內的直線，

.?.尸e平面BCD,Ge平面6cD,可得直線尸Gu平面BCD,

因此，直線EH與尸G的公共點在平面N3D與平面BCD的交線上,

???平面ABDc平面BCD=BD,

.,.點Me直線BD.

故答案為：BD.

27.在如圖所示的正方體中，下列說法中正確的是.

①點Ne平面/BCD；②點￡u平面③點Fu直線44；④CEc平面48CD于點￡；⑤C平

面于點?

【答案】①⑤

【分析】由圖判斷點與直線、直線與平面、點與平面的位置關系，注意點與直線、平面為屬于或不屬于關

系，直線與平面為包含于或不包含于關系.

【詳解】①由圖，點Ae4B,而/Bu面/BCD,故點/e平面ABCD,正確；

②由圖，點、Ee4B,而48u面48月4，故點Ee平面/3耳4，錯誤；

③由圖，點尸e直線幺4,錯誤；

④由圖，CEcAB=E,而CEu平面ABCD,錯誤；

⑤由圖，DpcAA[=F,A尸面4844，441u面4844，則￡）廠門平面48耳4于點F,正確.

故答案為：①⑤

28.已知點48,直線/與平面現有下列命題:

①：/ua,Bua,AB<za；

（2）'."Aea,B走a,ABea；

③：/e/,lea,.".AIa-

A&l,lea,.".Aea；

⑤Bel,且/la,B史a,I//a.

其中，符號表示和推理都正確的命題序號是.

【答案】④

【分析】在立體幾何中，線和面都看成是點的集合，點與線，點與面之間看成元素與集合的關系，用￡住,

線與面之間看成集合與集合的關系，用u?,由此判斷①②中的符號錯誤；然后利用點線面的有關公理或

者舉反例即可對其余的命題作出判定.

【詳解】①中的點與平面的關系應當用e符號；

②中直線48<2a；

③推理錯誤：不在直線/上的點可以在平面々內；

④根據直線在平面內的定義可知正確；

⑤中的直線/可能與平面。相交與除43之外的其它點.

故答案為：④

29.如圖，在正方體N3CD-4月。1〃中，下列說法正確的個數是.

①直線/G在平面CC\B、B上;

②由點N、0、C可以確定一個平面;

③直線OOX與點D不能確定一個平面;

④由點4、￡、⑸確定的平面與由點N、G、。確定的平面是同一平面.

【答案】1

【分析】根據立體幾何基本事實判斷各命題即可.

【詳解】因為直線ZG與平面。。蜴3相交于點。，所以錯；

因為點A、O、C三點共線，所以可以確定無數個平面，錯；

因為點。不在直線。Q上，所以直線與點D能確定一個平面，錯;

因為直線/。〃⑸a，所以點4。,綜。四點共面，故正確；

故正確的命題只有一個，

故答案為：1.

30.如圖所示./BCD-44GA是正方體，。是42的中點，直線4c交平面/4A于點給出下列結

論:

①4、M、O三點共線；②/、M、。、4不共面：

③/、M、C、。共面；④2、B、、。、M共面，

其中正確的序號為.

【答案】①③

【分析】由公理1判斷①，由公理2判斷②和③，用反證法判斷④

【詳解】連接/￡,因為。是3Q的中點，所以。e4G，

平面4BR與平面AA.C.C有公共點A與。，則平面曲、A平面AA.QC=AO,

對于①，MeC4”C4u平面44CC，則Me平面因為We平面/42，貝！jMeZO,即A,M,

。三點共線，所以①正確，

對于②③，由①知A,M,。三點共線，所以A,M,O,4共面，A,M,C,O共面，所以②錯誤，③

正確;

對于④，連接M),則氏綜。都在平面即。Q上，若Me平面即DQ,貝IJ直線(Wu平面網，。，所以Ne

平面ABQQ,顯然4任平面34DQ,所以④錯誤,

故答案為：①③

31.如圖，已知/￡C。分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且/8LCD,若該圓柱的底面圓直徑是其母線

長的2倍，則異面直線NC與3。所成角的余弦值為.

【答案】1.

【分析】利用空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】取CD的中點O,以。為原點，以CD所在直線為x軸，

以底面內過點O且與CD垂直的直線為y軸，

以過點O且與底面垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設43=2,則/(O,-M),5(0,1,1),C(-l,0,0),

￡>(1,0,0),ZC-(-l,l,-l),55=(1,-1,-1),

11

\AC-BD\==

國H而「.XVTT

所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為;.

故答案為：!

32.如圖，在正四面體。-48c中，Pe?DBA,則在平面ZX45內過點P與直線8C成60。角的直線共有

【答案】2條

【分析】由于正四面體。-NBC各個面都是正三角形，則在平面D/8內過3點有兩條直線￡)3、AB與BC

成60。,即可判斷.

【詳解】解：根據正四面體的性質可知，在平面D/8內過點3與直線8C成60。角的直線共有2條，分別為

8。和N8,

因此在平面。N8內過點P與直線8C成60。角的直線共有2條，即過點P作直線與5。和N3平行的直線；

故答案為：2條.

33.如圖，在四棱錐中，尸。，底面/BCD,底面/BCD為正方形，PD=DC=4,。為尸C上一

點，且尸。=3QC,則異面直線/C與8。所成的角的大小為.

【分析】建立以。為原點，分別以萬X皮,方的方向為x軸，V軸，z軸正方向得空間直角坐標系D-平,

設異面直線4C與8。所成的角為。，根據公式得cos。=當.絲=',即可解決.

阿盟2

【詳解】由題知，在四棱錐尸-4BC。中，尸。，底面4BC。，底面48CD為正方形，PD=DC=4,Q為PC

上一點，且PQ=3QC,

易知尸2D4DC兩兩垂直，所以建立以。為原點，分別以萬4比，麗的方向為x軸，V軸，z軸正方向得

空間直角坐標系。-孫z,

所以月(4,0,0),5(4,4,0),C(0,4,0),0(0,3,1),所以就=(一4,4,0),BQ=(-4,-1,1),

就質16-4123,所以0=60。，

設異面直線/C與B0所成的角為6,所以cos9=

|4A/2-3^224

故答案為：60°

34.已知直三棱柱/3C-4耳G的側棱與底面邊長都相等，D,b分別是和4G的中點，那么異面直線

BD和AF所成角的余弦值等于

【答案】57

［分析］根據直三棱柱ABC-A^Q的性質以及等邊三角形的性質，取的中點。，易證得，平面Z8C,

建立空間直角坐標系，運用向量與向量的夾角和直線與直線所成的角的關系，即可得出異面直線BD和AF

所成角的余弦值.

【詳解】因為直三棱柱/3C-4用G的側棱與底面邊長都相等，

所以“8C為等邊三角形，取的中點O,所以COL/B,

因為。為44的中點，所以OD///4，

又因為_L平面4BC,所以OD_L平面/3C,

如圖，以。為坐標原點，分別以03,OC,所在直線為x軸，了軸，z軸，建立空間直角坐標系,

因為直三棱柱/3C-4用G的側棱與底面邊長都相等，設43=2,

則2(1,0,0),4(-1,0,0),￡>(0,0,2),尸(_；,*,2),麗=(-1,0,2),而=(；,當,2),

設異面直線BD和AF所成角為。，

I/一?一-\iBDAF7

所以cos。=cos,BD,AF\\=__,=—,

1'〃BD^AF10

即異面直線BD和AF所成角的余弦值為27.

7

故答案為：—.

35.在正三棱錐尸中，異面直線E4與5c所成角的大小為.

【答案】5

【分析】利用線面垂直即可求得PA與BC垂直，進而得到異面直線PA與BC所成角的大小

【詳解】正三棱錐尸-4BC中，取BC中點D連接AD、PD,

則尸D_L3C,AD1BC,

又PDcAD=D,PDu平面尸40,4Du平面尸NO,

則3CJ,平面P4D,又尸Nu平面P4D,則RILBC

則異面直線PA與BC所成角的大小為

36.如圖，在三棱錐D-N8C中，AC=43BD,且4CJ.BD,E,尸分別是棱。C,的中點，則E尸和

ZC所成的角等于.

【答案】30。小

6

【分析】取BC的中點G,連接FG、EG,則/EFG為EF與AC所成的角.解AEFG.

【詳解】如圖所示，取BC的中點G,連接FG,EG.

■：E,F分另IJ是CD,AB的中點，

VFGHAC,EG//BD,且尸G=1/C,EG=-BD.

22

為EF與AC所成的角（或其補角）.

又QAC=eBD,:.FG=4^EG.

又?：AC~BD,FGLEG,ZFGE=90°,

:.AEFG為直角三角形，；tanNEFG=里=?,又/EFG為銳角,

FG3

:.ZEFG=30°,即EF與AC所成的角為30。.

故答案為：30°.

37.如圖，直三棱柱/8C-44。所有棱長均為2,“為3C的中點，則異面直線4M與C4所成角的余弦

值為.

【答案】電

7

【分析】取中點，找到異面直線4M與eg所成角，結合余弦定理可求答案.

【詳解】取84的中點N,連接兒

因為峪N分別為。氏84的中點，所以MN//CBEMN=；CB、=①,

/4MN或其補角是異面直線A.M與C5,所成角；

因為直三棱柱NBC-44G所有棱長均為2,所以/"=百，

2

AtM=yjA^+AM=V7,AXN=1/鬲+4靖=冊;

AM?+MN°-AN7+2-5V14

在中,cos/A、MN=

2AM?MN2xV7xV27

所以異面直線AXM與CB,所成角的余弦值為叵

7

故答案為：巫.

7

G

38.如圖，在直三棱柱N5C—//BG中，。為小8的中點，4B=BC=2BBi=2,AC=2叵,則異面直線

BD與4C所成的角為.

【答案】60。/。

【分析】利用平行線的轉化，將異面直線所成的角轉化為相交線所成的角，即可求解.

取B1C1的中點E,連接BE,DE,

貝（JAC〃A1C1〃DE,

則NBDE即為異面直線BD與AC所成的角.

由條件可知BD=BE=Yf+F=G,,DE=①,所以△ADE是等邊三角形，

所以/BDE=60。.

故答案為：60°

39.在正四棱錐尸-4BCD中，若高為1,底面邊長為2,E為3C的中點，則異面直線PE與。3所成角的

大小為.

【答案】1/60°

【分析】連結BD,作POL平面ABCD,交BD于O.取AB中點F,取BC中點E.以O為原點,OF為x軸QE

為y軸,OP為z軸建立空間直角坐標系.用向量法求異面直線PE與DB所成角.

【詳解】如圖，連結BD,作POL平面ABCD,交BD于O.取AB中點F,取BC中點E.以O為原點QF為x軸,OE

為y軸,OP為z軸建立空間直角坐標系.

由已知得尸(0,0,1)正(0,1,0)出(1,1,0)》(-1,-1,0),所以麗=(0,1,-1),麗=(-2,-2,0).

—?—?-21

所以|3＜尸￡,8。＞|=|萬般|=-.

因為〈麗，麗＞目0,司，所以〈屋，麗＞=g.

即異面直線PE與DB所成的角為

故答案為：

四、解答題

40.正方體/BCD-48cpi中，M,N,Q,P分別是48,BC,CCt,CR的中點.

(1)證明：M,N,Q,P四點共面.

(2)證明：PQ,MN,。。三線共點.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)連接3G，由正方體的幾何特征及平面幾何的知識可得NQ//MR,由平面的基本性質即可得

證;

(2)由題意可得CD是平面/BCD平面DCGA的交線，由平面的基本性質即可得證.

【詳解】(D連接

???Q,N分別為CC1,BC的中點，:.N@UBC\豆NQ=；BC\,

???M尸分別為的中點，，尸G〃加3且尸。=Affi.

二四邊形8GpM為平行四邊形，.1BQ〃四P且BC、=MP

NQ//MP,且NQ=；MP,M,N,尸，。四點共面.

(2)由(1)知NQIIMP,且NQ片MP,

:.PQ，上W必交于一點E.

VE6PQ,PQU平面DCCXDX,:.Ee平面DCCR.

■：E&MN,MNcABCD,:.E^ABCD.

又；平面ABCDc平面DCCXDX=CD.

:.EeCD,即尸。，MN,Z)C三線共點.

41.如圖，在空間四邊形/BCD中，E,尸分別是43"C的中點，G,〃分別在CD,上，且

CG:GD^AH:HD=2:\.

⑴求證：E,GG,〃四點共面；

(2)設昉■與尸G交于點尸，求證：3,D,P三點共線.

【答案】⑴證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(D根據題意，利用中位線定理和線段成比例，先證明跖〃“G,進而證明問題；

(2)先證明Pe平面NB。，尸€平面3。，進而證明點P在兩個平面的交線上，然后證得結論.

【詳解】(1)連接尸分別是",3c的中點，，跖〃ZC.在人⑺。中，

曾=黑，:.GH"AC,;.EF〃HG.所以E,F,G,H四煎共面.

CrDHD

(2);EHcFG=P,所以PeEH,

又：EHu平面ABD,，Pe平面ABD,

同理：PeFG,尸Gu平面BC。,.?.尸e平面BCD,

，尸為平面ABD與平面BCD的一個公共點.

又平面ABDn平面BCD=BD,PeBD,即尸,8,。三點共線.

42.如圖，在長方體/8C￡>—///GD中，點E,b分別為棱44/,48的中點.

(1)求證：四邊形EFCZ)/是梯形；

(2)證明：直線DE,DA,C尸共點.

【答案】⑴證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(1)利用平行于同一直線的兩直線相互平行得跳7/CA且斯=；cn，故四邊形EFCD1是梯形;

(2)空間中要證三線共點可使用公理：若兩平面有公共點，有且僅有一條通過該點的公共直線.

【詳解】(1)如圖，連接EF,CD1,A1B,

.AF=BF,AE=A1E,AEF/Z^B^,EF=^A1B

?在長方體ABCD-A1B1C1D1中，4“/BC且AR=BC,

四邊形為平行四邊形，

43//CQ且43=8],

:.EFHCD\且EF=；CD\,

二四邊形EFCD1是梯形；

(2)由(1)可知，與CF一定相交，設QEnCF=M,

所以MejE,QDjEu平面/口，所以Me平面/，，

同理可得Me平面AC,

所以Me平面/Cc平面40],

又平面/Cc平面=AD,所以Me/。，

所以直線DA,CF共點.

43.如圖，在棱長為1的正方體/BCD-44GA中，G、M分別是棱C。、2c的中點.

⑴證明：4MG、A共面;

⑵求四邊形/MGQ的周長.

【答案】（1）證明見解析

...3^2zr

（2）——+V5

2

【分析】（D運用基本事實的推論：兩平行線確定一個平面，證明MG〃/2即可;

（2）四邊形NMGQ為等腰梯形，分別求出四邊長即可.

【詳解】（D證明：連接8G，如下圖：

在正方體ABCD-中，48〃Z）G且48=，

.??四邊形N5GR是平行四邊形，ADX//BCX

又；G、M分別是棱CC、BC的中點

GM//BCXg//MG

?'.A、M、G、。共面

（2）因為正方體的棱長為1,所以

1

AD、=e,MG=：BC\=彳,AM=Dfi=

所以，四邊形NMG2的周長=0+也+2x亞=4囪

222

【B組在綜合中考查能力】

點線面B組

一、單選題

1.下列命題中，正確的是（）

A.一條直線和兩條平行直線中的一條相交，必和另一條也相交

B.一條直線和兩條平行直線中的一條確定一個平面，必和另一條也確定一個平面

C.一條直線和兩條平行直線中的任何一條都無公共點，當它和其中一條是異面直線時，它和另一條也

必是異面直線

D.一條直線和兩條平行直線中的任何一條都無公共點