基本不等式教案?一、教學目標1.知識與技能目標理解基本不等式的內容及其證明。能夠運用基本不等式解決一些簡單的最值問題。2.過程與方法目標通過對基本不等式的推導和證明，培養學生的邏輯推理能力。在應用基本不等式解決最值問題的過程中，提高學生的數學建模能力和運算能力。3.情感態度與價值觀目標通過探究基本不等式，讓學生體會數學的嚴謹性和簡潔性，激發學生學習數學的興趣。培養學生勇于探索、善于思考的精神，增強學生的數學應用意識。二、教學重難點1.教學重點基本不等式的推導、證明及幾何意義。利用基本不等式求最值的條件和方法。2.教學難點對基本不等式等號成立條件的理解和應用。如何引導學生將實際問題轉化為可以利用基本不等式解決的數學問題。三、教學方法1.講授法：講解基本不等式的概念、證明過程和應用方法，使學生系統地掌握知識。2.討論法：組織學生討論基本不等式的推導思路、等號成立條件以及實際問題的解決方法，培養學生的思維能力和合作交流能力。3.練習法：通過針對性的練習題，讓學生鞏固所學知識，提高運用基本不等式解決問題的能力。四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）1.展示問題某商店在節前進行商品降價酬賓銷售活動，擬分兩次降價。有三種降價方案：甲方案是第一次打p折銷售，第二次打q折銷售；乙方案是第一次打q折銷售，第二次打p折銷售；丙方案是兩次都打(p+q)/2折銷售。請問：哪一種方案降價較多？2.引導思考設商品原價為a元，分別計算三種方案降價后的價格，然后比較大小。甲方案降價后的價格為$a\times\frac{p}{10}\times\frac{q}{10}=\frac{apq}{100}$元。乙方案降價后的價格為$a\times\frac{q}{10}\times\frac{p}{10}=\frac{apq}{100}$元。丙方案降價后的價格為$a\times(\frac{p+q}{2}\div10)^2=\frac{a(p+q)^2}{400}$元。比較丙方案與甲、乙方案降價后的價格大小，即比較$\frac{(p+q)^2}{400}$與$\frac{pq}{100}$的大小。對$\frac{(p+q)^2}{400}\frac{pq}{100}$進行化簡：\[\begin{align*}\frac{(p+q)^2}{400}\frac{pq}{100}&=\frac{p^2+2pq+q^2}{400}\frac{4pq}{400}\\&=\frac{p^22pq+q^2}{400}\\&=\frac{(pq)^2}{400}\end{align*}\]因為$(pq)^2\geq0$，所以$\frac{(p+q)^2}{400}\geq\frac{pq}{100}$，當且僅當$p=q$時取等號。由此引出本節課的主題基本不等式。（二）講解新課（25分鐘）1.基本不等式的推導展示一個直角三角形，直角邊分別為a和b，斜邊為c。根據勾股定理$c^2=a^2+b^2$。以斜邊c為邊長構造一個正方形，其面積為$c^2$。將直角三角形進行拼接，得到兩個以a和b為邊長的小正方形，其面積之和為$a^2+b^2$。顯然，正方形的面積大于兩個小正方形的面積之和，即$c^2\geqa^2+b^2$，當且僅當$a=b$時取等號。對$c^2=a^2+b^2$進行變形，可得$c=\sqrt{a^2+b^2}$。又因為直角三角形的面積為$\frac{1}{2}ab$，而四個直角三角形的面積之和小于等于正方形的面積，即$4\times\frac{1}{2}ab\leqc^2$，也就是$2ab\leqa^2+b^2$，當且僅當$a=b$時取等號。兩邊同時除以2，得到$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，當且僅當$a=b$時取等號。強調：這里的a和b都是正數。2.基本不等式的內容若$a,b\inR^+$，那么$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（當且僅當$a=b$時取"="號）。我們把$\frac{a+b}{2}$叫做a,b的算術平均數，把$\sqrt{ab}$叫做a,b的幾何平均數。所以基本不等式又可以表述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。3.基本不等式的證明方法一：比較法要證$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，只需證$a+b2\sqrt{ab}\geq0$，即證$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$。因為任何實數的平方都大于等于0，所以$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$成立，當且僅當$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，即$a=b$時取等號。方法二：分析法要證$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，從結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件。即要證$a+b\geq2\sqrt{ab}$，只需證$a+b2\sqrt{ab}\geq0$，也就是證$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$。顯然$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$成立，當且僅當$a=b$時取等號。方法三：綜合法因為$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$，展開可得$a2\sqrt{ab}+b\geq0$，即$a+b\geq2\sqrt{ab}$。兩邊同時除以2，得到$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，當且僅當$a=b$時取等號。4.基本不等式的幾何意義以線段AB長為$a+b$，以AB為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，使$AC=a$，$CB=b$。過點C作垂直于AB的弦DD'，連接AD、BD。由射影定理可知$CD^2=AC\cdotCB=ab$，即$CD=\sqrt{ab}$。而圓的半徑為$\frac{a+b}{2}$，顯然圓的半徑大于等于弦長的一半，即$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，當且僅當點C與圓心重合，即$a=b$時取等號。（三）例題講解（20分鐘）1.例1：已知$x\gt0$，求$y=x+\frac{1}{x}$的最小值。分析：根據基本不等式$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，當$a=x$，$b=\frac{1}{x}$時，有$y=x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2$。當且僅當$x=\frac{1}{x}$，即$x=1$時取等號。所以$y=x+\frac{1}{x}$的最小值為2。2.例2：已知$x\lt0$，求$y=x+\frac{1}{x}$的最大值。分析：因為$x\lt0$，所以$x\gt0$。則$y=x+\frac{1}{x}=\left[(x)+\frac{1}{x}\right]$。根據基本不等式，$(x)+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{(x)\cdot\frac{1}{x}}=2$，所以$y=\left[(x)+\frac{1}{x}\right]\leq2$。當且僅當$x=\frac{1}{x}$，即$x=1$時取等號。所以$y=x+\frac{1}{x}$的最大值為2。3.例3：已知$a,b\inR^+$，且$a+b=1$，求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值。分析：將$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$進行變形，得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{a}+\frac{a+b}{b}=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$。根據基本不等式，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2$。所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2+2=4$。當且僅當$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$，即$a=b=\frac{1}{2}$時取等號。所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值為4。（四）課堂練習（15分鐘）1.已知$x\gt0$，當$x$取何值時，$y=4x+\frac{9}{x}$有最小值？最小值是多少？2.已知$x\gt2$，求$y=x+\frac{1}{x2}$的最小值。3.已知$a,b\inR^+$，且$2a+b=1$，求$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值。（五）課堂小結（5分鐘）1.基本不等式的內容：若$a,b\inR^+$，那么$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（當且僅當$a=b$時取"="號）。2.基本不等式的證明方法：比較法、分析法、綜合法。3.基本不等式的幾何意義。4.利用基本不等式求最值的方法和條件："一正、二定、三相等"。（六）布置作業（5分鐘）1.書面作業已知$x\gt0$，求$y=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$的最小值。已知$a,b,c\inR^+$，且$a+b+c=1$，求證：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9$。2.拓展作業某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為$4800m^3$，深為3m。如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣