第八章第2講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交，則()A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】A【解析】直線l1，l2是異面直線，一定有l(wèi)1與l2不相交，因此p是q的充分條件；若l1與l2不相交，那么l1與l2可能平行，也可能是異面直線，所以p不是q的必要條件．故選A．2．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定()A．與a，b都相交B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交D．與a，b都平行【答案】C【解析】如果c與a，b都平行，那么由平行線的傳遞性知a，b平行，與異面矛盾．故選C．3．(2019年銀川一中模擬)已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，則異面直線PA與MN所成角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】A【解析】如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接DN，DM，由已知條件可得DN＝2eq\r(3)，DM＝2.在△MND中，∠DNM為異面直線PA與MN所成的角，則cos∠DNM＝eq\f(16＋12－4,2×4×2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以∠DNM＝30°.4．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是()A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c【答案】C【解析】若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C．5．如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，A．A，M，O三點(diǎn)共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面【答案】A【解析】連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四點(diǎn)共面．所以A1C?平面ACC1A1.因?yàn)镸∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．同理，O在平面ACC1A1與平面AB1D16．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1FA．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,7)【答案】B【解析】連接DF，則AE∥DF，所以∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角．設(shè)正方體棱長為a，則D1D＝a，DF＝D1F＝eq\f(\r(5),2)a，所以cos∠D1FD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).7．如果兩條直線a和b沒有公共點(diǎn)，那么a與b的位置關(guān)系是________．【答案】平行或異面【解析】空間中兩條直線的位置關(guān)系有三種：相交，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行，沒有公共點(diǎn)；異面，沒有公共點(diǎn)．由此可知，如果兩條直線a和b沒有公共點(diǎn)，那么a與b的位置關(guān)系是平行或異面.8．(2019年西安模擬)如圖，四邊形ABCD和四邊形ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．【答案】eq\f(π,3)【解析】如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD－QGHP，連接GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).9．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．【解析】(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).[B級(jí)能力提升]10．以下四個(gè)命題中，①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以①正確；②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形，④不正確．11．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定【答案】D【解析】如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時(shí)l1∥l4，可以排除選項(xiàng)A和C．若取C1D為l4，則l1與l4相交；若取BA為l4，則l1與l4異面；取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直．因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定12．(2019年成都模擬)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且直線AA1∥平面α①四邊形EFGH是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正確的命題有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③【答案】C【解析】由題意畫出草圖如圖所示，因?yàn)锳A1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF.又ABC－A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故①正確；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②錯(cuò)誤；由AA1⊥平面BCFE，結(jié)合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α，所以平面α⊥平面BCFE13．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是上底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ【答案】1【解析】由PQ∥平面AA1B1B知Q在過點(diǎn)P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知點(diǎn)Q在A1D1，B1C1中點(diǎn)的連線MN上，故PQ的最小值為PM＝eq\f(1,2)AA1＝1.14．(2019年廣東百校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，E是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1上的一點(diǎn)，且BD1∥平面B1CE，則異面直線BD1與CE所成角的余弦值為________【答案】eq\f(\r(15),5)【解析】不妨設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，連接BC1，設(shè)B1C∩BC1＝O，連接EO，如圖所示，在△BC1D1中，當(dāng)點(diǎn)E為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，BD1∥OE，則BD1∥平面B1CE，據(jù)此可得∠OEC為直線BD1與CE所成的角．在△OEC中，邊長EC＝eq\r(5)，OC＝eq\r(2)，OE＝eq\r(3)，由余弦定理可得cos∠OEC＝eq\f(3＋5－2,2\r(3)×\r(5))＝eq\f(\r(15),5)，即異面直線BD1與CE所成角的余弦值為eq\f(\r(15),5).15．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC＝2FB(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，判斷BM與EF的位置關(guān)系，說明理由；并求BM與EF所成角的余弦值．【解析】(1)如圖所示，取AE的中點(diǎn)O，連接OF，過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M.因?yàn)閭?cè)棱A1A⊥底面ABC所以C1C⊥底面ABC，所以C1C⊥AC.又因?yàn)镋C＝2所以O(shè)M∥EC∥FB且OM＝eq\f(1,2)EC＝FB.所以四邊形OMBF為矩形，BM∥OF.因?yàn)镺F?平面AEF，BM?平面AEF，故BM∥平面AEF，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．(2)由(1)知，BM與EF異面，∠OFE就是異面直線BM與EF所成的角或其補(bǔ)角．易求得AF＝EF＝eq\r(5)，OF＝eq\r(3)，EO＝eq\r(2)，又O為AE的中點(diǎn)，所以O(shè)F⊥AE.所以cos∠OFE＝eq\f(OF,EF)＝eq\f(\r(3),\r(5))＝eq\f(\r(15),5).所以BM與EF所成的角的余弦值為eq\f(\r(15),5).[C級(jí)創(chuàng)新突破]16．(多選題)(2020年濟(jì)寧模擬)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結(jié)論中正確的是()A．AC⊥AFB．AC⊥平面BEFC．AB與平面BEF所成角是45°D．△AEF面積與△BEF的面積相等【答案】BC【解析】連接BD，則AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1.對(duì)于A項(xiàng)，AC與AF不垂直，假設(shè)AC⊥AF，又A