計數原理、概率、隨機變量及其分布第十一章第1講分類加法計數原理與分步乘法計數原理高考要求考情分析1.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理．2．會用分類加法計數原理和分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題．此部分一般不單獨考查，常與排列組合結合在一起考查，考查數學運算的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏1兩個計數原理分類加法計數原理分步乘法計數原理條件完成一件事有__________．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要__________．做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結論完成這件事共有N＝__________種不同的方法完成這件事共有N＝__________種不同的方法兩類方案兩個步驟m＋n

m×n

[特別提醒]分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終．1．分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類．2．分步乘法計數原理中，各個步驟相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”．1．從3名女同學和2名男同學中選1人主持主題班會，則不同的選法種數為(

)A．6種 B．5種C．3種 D．2種【答案】B2．(2019年石家莊模擬)教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有(

)A．10種 B．25種C．52種 D．24種【答案】D

【解析】每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步．由分步乘法計數原理，共有24種不同的走法．3．現有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有(

)A．24種B．30種C．36種D．48種【答案】D4．用數字2,3組成四位數，且數字2,3至少都出現一次，這樣的四位數共有____________個．(用數字作答)【答案】14

5．(一題兩空)書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數學書，第3層放有6本不同的體育書．從書架上任取1本書，不同的取法數為__________，從第1,2,3層分別各取1本書，不同的取法數為__________．【答案】15

1201．分類加法和分步乘法計數原理，都是關于做一件事的不同方法的種數的問題，區別在于：分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．2．混合問題一般是先分類再分步．3．分類時標準要明確，做到不重復、不遺漏．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(

)(2)在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(

)(3)在分步乘法計數原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成．(

)(4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法．(

)(5)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)√

(5)√重難突破能力提升2分類加法計數原理的應用

(1)甲、乙、丙三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經過4次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有(

)A．4種 B．6種C．10種 D．16種(2)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為____________．【答案】(1)B

(2)13【解析】(1)分兩類，甲第一次踢給乙時，滿足條件有3種方法：甲→乙→甲→乙→甲、甲→乙→甲→丙→甲、甲→乙→丙→乙→甲．同理，甲先傳給丙時，滿足條件有3種踢法．由分類加法計數原理，共有3＋3＝6種傳遞方法．(2)當a＝0時，b的值可以是－1,0,1,2，故(a，b)的個數為4；當a≠0時，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實數解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，則b的值可以是－1,0,1,2，(a，b)的個數為4；若a＝1，則b的值可以是－1,0,1，(a，b)的個數為3；若a＝2，則b的值可以是－1,0，(a，b)的個數為2.由分類加法計數原理可知，(a，b)的個數為4＋4＋3＋2＝13.【易錯警示】分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素、關鍵位置．(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準．(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復．(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏，如本例第(2)題中易漏a＝0這一類．【跟蹤訓練】1．一個科技小組有3名男同學，5名女同學，從中任選一名同學參加學科比賽，共有不同的選派方法__________種．【答案】8

【解析】由分類加法計數原理，不同的選派方法共有3＋5＝8(種)．分步乘法計數原理的應用

(1)將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有(

)A．12種 B．18種C．24種 D．36種(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有____________種不同的報名方法．【答案】(1)A

(2)120【解析】(1)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6種不同排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1種排法．因此共有6×2×1＝12種不同的排列方法．(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120種．【規律方法】利用分步乘法計數原理的原則：(1)要按事件發生的過程合理分步，即考慮分步的先后順序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個事件．(3)對完成各步的方法數要準確確定．【跟蹤訓練】2．(1)(2019年珠海階段性測試)某校2019年元旦晚會原定的6個節目已排成節目單，開演前又增加了3個新節目，如果將這3個新節目插入節目單中，那么不同的插法種數為(

)A．120 B．210C．336 D．504(2)設集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個數為____________．(用數字作答)【答案】(1)D

(2)10【解析】(1)分三步，先插一個新節目，有7種方法，再插第二個新節目，有8種方法，最后插第三個節目，有9種方法，故共有7×8×9＝504種不同的插法．(2)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2種取法，y有5種取法．由分步乘法計數原理，A*B的元素有2×5＝10(個)．兩個原理的綜合應用【考向分析】兩個計數原理的應用是學習排列與組合的基礎，高考中一般以選擇題或填空題的形式出現，試題難度不大，兩個原理的應用類型主要有：(1)涂色問題；(2)幾何問題；(3)集合問題．【答案】260

【解析】區域A有5種涂色方法；區域B有4種涂色方法；區域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時區域C有3種涂色方法，區域D也有3種涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260(種)涂色方法．【答案】D

【解析】第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24個；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36個．【答案】17

【解析】當A＝{1}時，B有23－1種情況；當A＝{2}時，B有22－1種情況；當A＝{3}時，B有1種情況；當A＝{1,2}時，B有22－1種情況；當A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}時，B均有1種情況；所以滿足題意的“子集對”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(個)．【規律方法】在解決綜合問題時，可能同時應用兩個計數原理，即分類的方法可能要運用分步完成，分步的方法可能會采取分類的思想求．分清完成該事情是分類還是分步，“類”間互相獨立，“步”間互相聯系．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年宛城區校級月考)現有5種不同的顏色，給四棱錐P－ABCD的五個頂點涂色，要求同一條棱上的兩個頂點顏色不能相同，方法一共有(

)A．240種 B．360種C．420種 D．480種【考查角度】計數原理的應用．【考查目的】對排列組合的運用的考查，運用了分步計算原理，是應用意識的體現，讓學生注意解題的特殊方法，考查邏輯推理和數學運算的核心素養．【思路導引】根據題意，要求符合題意的方法分兩步，①先涂頂點；②再涂底面4點；采用排列思路導引可得答案．【答案】C【拓展延伸】1．兩個計數原理的區別分類加法計數原理分步乘法計數原理區別一每類辦法都能獨立完成這件事．它是獨立的、一次的且每次得到的是最后的結果，只需一種方法就完成每一步得到的只是其中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步都不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事區別二各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是相互依存的，并且既不能重復，也不能遺漏2．利用計數原理的三個注意點(1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法；(2)分類時標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規律；(3)復雜問題一般是先分類再分步．【真題鏈接】

1．(2016年新課標Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為(

)A．24 B．18C．12 D．9【答案】B

【解析】由題意可知E→F