人教版·數學·九年級（下）第28章銳角三角函數28.1銳角三角函數（1）正弦函數合作探究：為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上建一座揚水站，對坡面綠地進行噴灌.先測得斜坡的坡腳（∠A）為30°，為使出水口的高度為35m,需要準備多長的水管？ABC在直角三角形中，30°的角所對的邊等于斜邊的一半在直角三角形中，30°的角所對的邊等于斜邊的一半。如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB.ABC在直角三角形中，30°的角所對的邊等于斜邊的一半。實際問題建立幾何模型如果出水的高度為50m,那么需要準備多長的水管？ABCC'B'思考：由這些結果，你能得到什么結論?結論：在直角三角形中，如果一個銳角的度數是30°，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值是一個固定值，為

.其中，BC與AB的比值有什么變化？如果∠A=45°，那么BC與AB的比是一個定值嗎？因為∠A=45°，則AC=BC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2.所以,因此ABC歸納在直角三角形中，如果一個銳角等于45°，那么無論這個直角三角形大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于.任意畫Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么有什么關系．能解釋一下嗎？ABCA'B'C'因為∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.所以

這就是說，在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個固定值．ABCA'B'C'動態演示：

這就是說，在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個固定值．知識要點

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫作∠A的正弦（sine），記作sinA

即例如，當∠A＝30°時，我們有當∠A＝45°時，我們有ABCcab對邊斜邊在圖中∠A的對邊記作a∠B的對邊記作b∠C的對邊記作c當∠A＝60°時，熱身小游戲：爭分奪秒游戲規則：每大組選出4名參賽選手，依次說出以上3個角的正弦值，拍手傳遞，計時最少的一組為優勝組，每個組員獲得2個糖力值，第二少的為良好組，每個組員獲得1個糖力值。30o、45o、60o這三個角是銳角三角函數中的寵兒，它們的正弦值你記住了嗎？

“正弦”的由來1576-1630如圖：在

Rt△

ABC中，

判斷正誤并說明理由如圖，在

△ABC中，sinA=（

）sinA是在直角三角形中定義的，這是前提在Rt△ABC中，若三邊長都擴大為原來的2倍，則銳角A的正弦值（)A、擴大2倍B、不變C、縮小2倍D、無法確定BsinA大小只與∠A的大小有關,與三角形邊長無關典例精析例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA

和sinB的值.AABBCC43135圖(1)圖(2)解析：求sinA

和sinB的值，實質就是求∠A與∠B的對邊與斜邊的比.？？先利用勾股定理求未知的斜邊與直角邊的長.已知直角三角形的邊長求正弦值一因此因此ACB43CAB135例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA

和sinB的值.解：如圖(1),在Rt△ABC中，由勾股定理得如圖(2),在Rt△ABC中，由勾股定理得例2如圖，在平面直角坐標系內有一點P（3，4），連接OP，求OP與x軸正方向所夾銳角的正弦值.解：如圖，設點A（3，0），連接PA.A因此

平面直角坐標系求某角的正弦值，一般過已知點向x軸或y軸作垂線，構造直角三角形，再結合勾股定理求解.歸納在△APO中，由勾股定理得已知銳角的正弦值求直角三角形的邊長二典例精析ABC解析：已知sinA

及∠A的對邊BC的長度，可以求出斜邊AB的長.然后再利用勾股定理，求出BC的長度，進而求出sinB及Rt△ABC的面積.例3

如圖，在Rt△AB中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面積.解：∴AB=3BC=3×3=9.例3

如圖，在Rt△AB中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面積.ABC

在△ABC

中，AB=AC=17，BC=16，