第二章推理與證明

合情推理(第一課時)1.

什么是歸納推理?它有什么作用?2.在解決問題中如何運用歸納推理?學習要點

推理是根據一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程.

合情推理具有猜測和發現新結論、探索和提供解決問題的思路和方向的作用;演繹推理則具有證明結論,整理和建構知識體系的作用.合情推理又分歸納推理與類比推理.【推理】

問題1.

觀察以下幾個一元二次方程的根與常數項,你有什么發現?5x2+2x+3=0,5x2+2x-3=0,x2+x+1=0,x2+x-1=0,2x2-3x+4=0,2x2-3x-4=0.

問題2.

觀察下面幾個偶數的分解,你有什么發現?6=3+3,8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=5+11.方程5x2+2x+3=0,x2+x+1=0,2x2-3x+4=0無實根;方程5x2+2x-3=0,x2+x-1=0,2x2-3x-4=0有二不等實根.

由問題1猜測:

一元二次方程中,常數項為正時,方程無實根;常數項為負時,方程有兩不等實根.

由問題2

猜測:

任一偶數都可以寫成兩個奇素數之和.(猜測是發現新結論的開始,但不一定真.)

問題1.

觀察以下幾個一元二次方程的根的情況,你有什么發現?5x2+2x+3=0,5x2+2x-3=0,x2+x+1=0,x2+x-1=0,2x2-3x+4=0,2x2-3x-4=0.

問題2.

觀察下面幾個偶數的分解,你有什么發現?6=3+3,8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=5+11.

由某事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結論的推理,稱為歸納推理

(簡稱歸納).即由部分到整體,由個別到一般.歸納推理可以發現新事實,獲得新結論.

例1.

已知數列{an}的第1項a1=1,且(n=1,2,3,…),試歸納出這個數列的通項公式.思路:從連續的少數幾項歸納出一般規律.解:當n=1時,a1=1;當n=2時,當n=3時,當n=4時,由前4項推測,第n

項是即

例4.

如圖所示,有三根針和套在一根針上的若干金屬片,按下列規則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動1個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n

個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?123思路:由移動少數幾片歸納出移動n

片.

例4.

如圖所示,有三根針和套在一根針上的若干金屬片,按下列規則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動1個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n

個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?123移動:n=1時,只移1次.

例4.

如圖所示,有三根針和套在一根針上的若干金屬片,按下列規則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動1個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n

個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?123移動:n=1時,只移1次.n=2時,移動順序:1→2,1→3,2→3.移動了3次.

例4.

如圖所示,有三根針和套在一根針上的若干金屬片,按下列規則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動1個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n

個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?123移動:n=1時,只移1次.n=2時,移動順序:1→2,1→3,2→3.移動了3次.n=3時,移動順序:1→3,1→2,3→2,移動了7次.1→3,2→1,2→3,1→3.

例4.

如圖所示,有三根針和套在一根針上的若干金屬片,按下列規則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動1個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n

個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?123移動:n=1時,只移1次.n=2時,移動順序:1→2,1→3,2→3.移動了3次.n=3時,移動順序:1→3,1→2,3→2,移動了7次.1→3,2→1,2→3,1→3.n=4時,移動順序:1→2,1→3,2→3,移動了15次.1→2,3→1,3→2,1→2,1→3,2→3,2→1,3→1,2→3,1→2,1→3,2→3.歸納次數1,3,7,15:1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1.猜想:

移動n

片,最少需要2n-1次.練習:(課本77頁)第1、2

題.練習:(課本77頁)1.

在數列{an}中,a1=1,試猜想這個數列的通項公式.解:a1=1,=1.=1.由以上3項猜想an=1.

2.

觀察右面的“三角形”:試找出相鄰兩行數之間的關系.111121133114641……11045……45101解:每行的首尾數都是1,其它數兩數之和.1+1=21+2=31+3=43+3=6是上一行相鄰【課時小結】1.

歸納推理

由某事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結論的推理,稱為歸納推理

(簡稱歸納).即由部分到整體,由個別到一般.歸納推理可以發現新事實,獲得新結論.【課時小結】2.

歸納推理的基本思路(1)在部分對象中尋找相同點.(2)在部分對象中分析運行結果的相同點.如問題1,2.如練習第2題.(3)在部分對象中尋找相關關系.如例1,例4.習題2.1A組第1、2、3題.1.

在數列{an}中,a1=1,(nN*),試猜想這個數列的通項公式.解:a1=1.觀察前4項:∴猜想:習題2.1A組

2.

探求凸多面體的面數F、頂點數V

和棱數E之間的關系.凸多面體面數(F)頂點數(V)棱數(E)三棱柱569長方體6812五棱柱71015三棱錐446四棱錐558五棱錐6610解:每一行的前兩個數之和減去2等于第三個數.猜想:F+V=E+2.

3.

對于任意正整數n,猜想2n-1

與(n+1)2

的大小關系.解:當n=1時,2n-1=20=1,(n+1)2=22=4,21-1<(1+1)2.當n=2時,2n-1=21=2,(n+1)2=32=9,22-1<(2+1)2.當n=3時,2n-1=22=4,(n+1)2=42=16,23-1<(3+1)2.猜想:對任意正整數n,2n-1<(n+1)2.再試:當n=