3.1.2函數的單調性（第二課時）溫故知新1.函數的單調性（1）單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f（x）的定義域為I.如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2

定義當x1<x2時,都有，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數

當x1<x2時，都有，那么就說函數f（x）在區間D上是減函數

圖象描述自左向右看圖象是___________自左向右看圖象是__________f（x1）<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的溫故知新(2)單調區間的定義若函數f(x)在區間D上是________或________，則稱函數f（x）在這一區間上具有（嚴格的）單調性，________叫做f（x）的單調區間.增函數減函數區間D2.函數的最值前提設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件①對于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①對于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.結論M為最大值M為最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M題型一函數的單調性與最值【例1】已知函數x∈[1,+∞).(1)當a=時,求f(x)的最小值;(2)若對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，試求實數a的取值范圍.

第(1)問可先證明函數f(x)在[1,+∞)上的單調性,然后利用函數的單調性求解，對于第(2)問可采用轉化為求函數f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0的問題來解決.思維啟迪解

設1≤x1<x2,則f(x2)-f(x1)=∵1≤x1<x2,∴x2-x1>0,2x1x2>2,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).∴f(x)在區間[1,+∞)上為增函數，∴f(x)在區間[1,+∞)上的最小值為f(1)=(2)在區間[1,+∞)上f(x)>0恒成立

x2+2x+a>0恒成立.設y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),則函數y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在區間[1,+∞)上是增函數.∴當x=1時，ymin=3+a,于是當且僅當ymin=3+a>0時,函數f(x)>0恒成立，故a>-3.

要注意函數思想在求函數值域中的運用,(1)中用函數單調性求函數的最小值;(2)中用函數的最值解決恒成立問題.在(2)中，還可以使用分離參數法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函數的性質得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.探究提高知能遷移已知函數(a>0,x>0),(1)求證:f(x)在(0,+∞)上是單調遞增函數;(2)若f(x)在上的值域是求a的值.(1)證明

設x2>x1>0,則x2-x1>0,x1x2>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是單調遞增的.題型二函數單調性與不等式【例2】(12分)函數f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x>0時，f(x)>1.（1）求證：f(x)是R上的增函數；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

問題(1)是抽象函數單調性的證明,所以要用單調性的定義.問題(2)將函數不等式中抽象的函數符號“f”運用單調性“去掉”,為此需將右邊常數3看成某個變量的函數值.思維啟迪解（1）設x1,x2∈R，且x1<x2,則x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.2分f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.5分∴f（x2）>f(x1).即f(x)是R上的增函數.6分（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，8分∴原不等式可化為f(3m2-m-2)<f(2),∵f(x)是R上的增函數，∴3m2-m-2<2,10分解得-1<m<,故解集為12分

f(x)在定義域上（或某一單調區間上）具有單調性，則f(x1)<f(x2)f(x1)-f(x2)<0,若函數是增函數,則f(x1)<f(x2)x1<x2,函數不等式（或方程）的求解，總是想方設法去掉抽象函數的符號，化為一般不等式（或方程）求解，但無論如何都必須在定義域內或給定的范圍內進行.探究提高知能遷移4已知定義在區間（0，+∞）上的函數f(x)滿足=f(x1)-f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.（1）求f(1)的值；（2）判斷f(x）的單調性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.

解（1）令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,則由于當x>1時，f(x)<0,所以即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),所以函數f(x)在區間(0,+∞)上是單調遞減函數.（3）由=f(x1)-f(x2)得=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函數f(x)在區間（0,+∞）上是單調遞減函數，由f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9或x<-9.因此不等式的解集為{x|x>9或x<-9}.1.根據函數的單調性的定義，證明（判定）函數f(x)在其區間上的單調性，其步驟是（1）設x1、x2是該區間上的任意兩個值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），然后變形；（3）判定f（x1）-f（x2）的符號；（4）根據定義作出結論.方法與技巧思想方法感悟提高6.函數f(x)=ln(4+3x-x2)的單調遞減區間是()A.B.C.D.解析函數f(x)的定義域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4的減區間為∵e>1,∴函數f(x)的單調減區間為D8.若函數在區間(m，2m+1)上是單調遞增函數，則m∈________.

解析∵令f′(x)>0,得-1<x<1,∴f(x)的增區間為（-1，1）.又∵f(x)在（m，2m+1）上單調遞增，∵區間（m，2m+1）中2m+1>m,∴m>-1.綜上，-1<m≤0.(-1,0]9.已知定義域為D的函數f(x)，對任意x∈D,存在正數K，都有|f(x)|≤K成立，則稱函數f(x)是D上的“有界函數”.已知下列函數:①f(x)=2sinx;②f(x)=③f(x)=1-2x;④其中是“有界函數”的是______.（寫出所有滿足要求的函數的序號）解析

①中|f（x）|=|2sinx|≤2,②中|f（x）|≤1;④當x=0時，f(x)=0，總之，|f(x)|≤③f(x)<1,∴|f（x）|→+∞,故填①②④.答案

①②④三、解答題10.判斷f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上的單調性.

解∵-1<1,f（-1）=-1<f(1)=1,∴f（x）在（-∞，0）∪(0,+∞)上不是減函數.∵-2<-1,f(-2)=>f(-1)=-1,∴f(x)在（-∞，0）∪（0，+∞）上不是增函數.∴f（x）在（-∞，0）∪(0,+∞)上不具有單調性.11.已知（1）若a=-2,試證f(x)在（-∞,-2）內單調遞增；（2）若a>0且f(x)在（1,+∞）內單調遞減，求a的取值范圍.（1）證明任設x1<x2<-2,則f(x1)-f(x2)=∵(x1+2）(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)內單調遞增.（2）解任設1<x1<x2,則∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立，∴a≤1.綜上所述知0<a≤1.12.f(x)是定義在（0，+∞）上的增函數,且=

f(x)-f(y).（1）求f(1)的值；（2）若f(6)=1,解不等式

解（1）令x=y,得f(1)=0.(2)由x+3>0及得x>0,由f(6)=1及

得f[x(x+3)]<2f(6),即f[x(x+3)]-f(6)<f(6),亦即

因為f(x)在(0,+∞)上是增函數,所以

解得綜上所述，不等式的解集是含參函數的單調性例1：若二次函數

在區間

上單調遞增，求a的取值范圍。

oxy1xy1o解：二次函數的對稱軸為,由圖象可知只要，即即可.

若二次函數的單調增區間是,則a的取值情況是（）

變式1變式2請你說出一個單調減區間是的二次函數變式3請你說出一個在上單調遞減的函數A.B.C.D.

討論函數在(-2,2)內的單調性.變式4解：f(x)的開頭方向向上，對稱軸是x=a，（1）當a≤-2時，f(x)在(-2,2)單調遞增；（2）當-2<a<2時，f(x)在(-2,2)沒有單調性，但是f(x)在（-2,a）單調遞減，在(a,2)單調遞增；（3）當a≧2時，f(x)在(-2,2)單調遞減。變式5討論函數f(x)=x2-2x+3在區間(a,a+3)上的單調性。解：f(x)的開頭方向向上，對稱軸是x=1，（1）當a≥1時，f(x)在(a,a+3)單調遞增；（2）當a<1<a+3時，既-2<a<1時，f(x)在(a,a+3)沒有單調性，但是f(x)在（a，1）單調遞減，在(1，a+3)單調遞增；（3）當a+3≤1時，既a≤-2,f(x)在(a,a+3)單調遞減。復合函數單調性結論1：y＝f(x)(f(x)恒不為0），與的單調性相反。例1：判斷函數在(1,+∞)上的單調性。復合函數單調性:1.利用已知函數單調性進行判斷例2：設f(x)在定義域A上是減函數，試判斷y＝3－2f(x)在A上的單調性，并說明理由。解：y=3－2f(x)在A上是增函數，因為：任取x1，x2∈A，且x1<x2,由f(x)在A上為減函數，所以f(x1)>f(x2),故－2f(x1)<－2f(x2)所以3－2f(x1)<3－2f(x2)即有y1<y2,由定義可知，y＝3－2f(x)在A上為增函數。結論2：y＝f(x)與y＝kf(x)當k>0時，單調性相同；當k<0時，單調性相反。復合函