6.2.3向量的數乘運算（2）盛琪第六章

平面向量及其應用2025/4/9引

入向量的數乘定義長度和方向幾何意義向量數乘運算的運算律λ(μa)=(λμ)a

λ(a+b)=λa+λb探究新知問題1向量數乘運算具有明顯的幾何意義，根據向量數乘運算，你能發現向量

與

(

≠0，

是實數)之間的位置關系嗎？共線向量(或平行向量)?同向反向令令令令不存在所以當時,探究新知問題1向量數乘運算具有明顯的幾何意義，根據向量數乘運算，你能發現向量

與

(

≠0，

是實數)之間的位置關系嗎？對于向量

，

及實數

，（1）如果=

(

≠0)，向量

與

是否共線？（2）如果向量

與非零向量

共線，

=

成立嗎？

事實上，對于向量如果有一個實數λ，使那么由向量數乘的定義可知共線.反過來，已知向量共線，且向量的長度是向量的長度的μ倍，即，那么當同方向時，有；當反方向時，有引

入4.向量共線定理數學符號表示：思考：時，b＝λa

（1）為何要求a是非零向量？（2）b可以是零向量嗎？（3）對任意向量a，b，若b＝λa，那么a與b共線，對嗎？對任意向量a，b，若b＝λa，那么a與b方向相同或相反，對嗎？（4）對任意向量a，b，若a與b共線，那么一定有b＝λa嗎？可以.對.×，λ=0，b=0×，a=0若a=0，b≠0，a與b共線但此時λa=0，不存在實數λ，使得b＝λa.

根據這一定理，設非零向量a位于直線l上，那對于直線l上的任意一個向量b，都存在唯一的一個實數λ，使________.也就是說，位于同一直線上的向量均可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.lb＝λa

ab向量

(≠0)與

共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使________.例題講解題型三、共線向量定理及其應用ABC解：所求作如圖示，由所作圖猜想A,B,C三點共線.證明如下：例4

如圖，已知任意兩個非零向量，試作

.猜想A,B,C三點之間的位置關系，并證明你的猜想.O探究新知歸納提升證明或判斷A、B、C三點共線的方法：有公共點BACBA、B、C三點共線例題講解

l幾何意義：

a+λ2bab

例題講解例5

設e1，e2不共線，判斷下列各小題中的向量a與b是否共線.判斷e1，e2系數之比是否相等.歸納提升練習1

設e1，e2是兩個不共線的向量，a=e1-2e2，b=2e1+ke2.若a與b是共線向量，求實數k的值為

-4例題講解例6

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b-ta與

a-

b共線，求實數t.解：例題講解例7

如圖，已知A，B，P三點共線，且滿足

，

求證：

.

證明或判斷三點共線的方法利用結論：若A，B，P三點共線，O為直線外一點

存在實數x，y，使歸納提升利用向量共線定理證明：探究新知歸納提升證明或判斷三點共線的方法：探究新知追問2：如圖，若P為AB的中點，則與，的關系如何？OABP4.在△ABC中，D是AB邊上的一點，若，則λ=_______.3.試利用練習探究新知題型二、用已知向量表示其他向量例8

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，,M是BC的中點.若，則λ+μ=_______.ABCMDN探究新知題型二、用已知向量表示其他向量探究新知A.B、C、D

B.A、B、CC.A、B、D

D.A、C、D∴A、B、D三點共線.C練習5例題講解練習6例題講解5.向量共線定理應用（1）

證明向量共線：向量a與b共線b=λa（3）

證明兩直線平行:AB=λCDAB∥CDAB與CD不在同一直線上直線AB∥直線CD（2）

證明三點共線:A,B,C三點共線