山東省名校聯盟20242025學年高一下學期3月校際聯考數學試題一、單選題1．已知向量，則（

）A． B． C． D．2．已知是虛數單位，則（

）A． B． C． D．3．在中，已知，則的面積為（

）A． B． C．1 D．24．在中，在線段上，為的角平分線，若，則（

）A． B．C． D．5．如圖，在測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點．現測得，在點測得塔頂的仰角為，則塔高（

）A． B． C． D．6．已知復數可以表示為，其中，是以軸非負半軸為始邊，向量所在射線為終邊的角．已知與的乘積，則將向量繞原點逆時針旋轉，長度變為原來的2倍后，得到向量的坐標為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，的三條邊均與圓相切，其中，則圓的半徑約為（

）

A．5.861 B．5.674 C．5.076 D．4.9268．已知向量是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知平面向量，則下列說法正確的是（

）A． B．C．向量與的夾角的余弦值為 D．向量在上的投影向量為10．設為復數，則下列結論正確的有（

）A． B．C．若，則 D．若，則11．已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一條直線上，且重心到垂心的距離是重心到外心距離的兩倍．若的外心為，重心為，垂心為為邊的中點，且，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．三、填空題12．已知i為虛數單位，若復數為純虛數，則的值為．13．如圖，在中，點滿足，過點的直線分別交直線于不同的兩點，設，則的值為．14．在圓內接四邊形中，，則面積的最大值為．四、解答題15．在三角形中，分別是邊的中點，已知．(1)求三角形的面積；(2)求三角形的周長．16．已知復數，其中i為虛數單位．(1)若，求；(2)若，求的值．17．已知是平面內兩個不共線的向量．(1)若，求證：三點共線；(2)試確定實數，使和共線；(3)若，求實數的值．18．已知三角形的內角的對邊分別是，且滿足．(1)求角A的大小；(2)若三角形的面積為10，內切圓的半徑為1，求；(3)若的角平分線交于，且，求三角形面積的最小值．19．個有次序的實數所組成的有序數組稱為一個維向量，其中稱為該向量的第個分量.特別地，對一個維向量，若，則稱為維信號向量．設，，則和的內積定義為，且．(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；(2)證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量；(3)已知個兩兩垂直的2024維信號向量.若它們的前個分量都是相同的，求證：．題號12345678910答案DAACABCBABDAB題號11答案ACD1．D利用向量的坐標運算求解即得.【詳解】由向量，得.故選：D2．A根據給定復數進行除法運算即可得解.【詳解】.故選：A3．A利用三角形面積公式計算.【詳解】.故選：A.4．C根據給定條件，利用三角形面積可得，再利用向量的線性運算求解判斷.【詳解】在中，為的角平分線，，，即，因此，所以.故選：C5．A利用正弦定理和銳角三角函數定義求解即可.【詳解】在中，由正弦定理得，則，在中，，所以.故選：A6．B將向量對應的復數表示為，再由給定信息求出向量對應的復數即可.【詳解】設射線為終邊的角為，而，則，，，向量對應復數，所以向量的坐標為.故選：B7．C作出輔助線，用圓半徑的表示出，結合已知求出，再用三角恒等變化求解.【詳解】令圓切直線于點，連接，設圓半徑為，依題意，，則，則，得，因此.

故選：C8．B先確定向量所表示的點的軌跡，再根據直線與圓的位置關系求出最小值．【詳解】設向量共起點，由，得，令，則，，因此點的軌跡是以線段為直徑的圓，令圓心為，則，圓半徑為1，由與的夾角為，得向量的終點在與所成角為的兩條射線上，如圖，

而是圓上的點與射線上的點間距離，過作垂直于射線于，，所以的最小值為.故選：B9．ABD根據給定條件，求出的坐標，再結合數量積的坐標運算逐項求解判斷.【詳解】由向量，得，，對于A，，則，A正確；對于B，，B正確；對于C，，則，C錯誤；對于D，，向量在上的投影向量，D正確.故選：ABD10．AB利用復數的乘法、共軛復數的意義及復數的模的公式求解判斷AB；舉例說明判斷CD.【詳解】設，對于A，，則，，A正確；對于B，，B正確；對于C，取，滿足，而，，C錯誤；對于D，取，，而，D錯誤.故選：AB11．ACD根據給定條件，利用向量與四心的性質逐項求解判斷.【詳解】對于A，由重心為G，得，則，A正確；對于B，外心為O，有，，，B錯誤；對于C，由重心為G，得，由歐拉線定理得，因此，C正確；對于D，由，得，則，，D正確.故選：ACD12．由純虛數概念可得答案.【詳解】，因為純虛數，則.故答案為：13．3運用向量線性運算及三點共線結論即可求得結果.【詳解】由，得，而，，則，又、、三點共線，則，所以.故答案為：314．根據給定條件，利用余弦定理確定的形狀，設并結合正弦定理表示出，再利用三角形面積公式求出最大值.【詳解】在中，，由余弦定理得，則，，是四邊形外接圓直徑，，

設，則，在中，，由正弦定理得，即，在中，，，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.故答案為：15．(1)(2)如圖設，利用結合余弦定理可得三角形三邊.（1）由余弦定理可得，進而可得，即可得面積；（2）三邊相加可得周長.【詳解】（1）如圖，因分別是邊的中點，則設.注意到，則.則由余弦定理：.解得.則在三角形中，.由余弦定理可得，從而.則三角形的面積為：；（2）由（1）易得三角形的周長為16．(1)(2)（1）利用復數的模和共軛復數的運算結論代入已知表達式，利用復數相等的條件：實部和虛部相等，建立方程組求解；（2）利用錯位相減法，結合復數虛數單位的冪的運算求解.【詳解】（1）首先，復數的模長平方，共軛復數.代入方程得：，展開并整理實部和虛部：，根據復數相等的條件，得到兩個方程：，解得，代入第一個方程：，因此，復數；（2）考慮.則.相減得：其中，（因為），且。因此：解得：，因此，，即，，故.17．(1)證明見解析(2)(3)（1）計算，觀察與的關系，即可得到結論；（2）根據向量共線的條件，利用向量共線定理，求得；（3）計算和的坐標，利用向量垂直的坐標表示求得.【詳解】（1）,所以，則有，又與有公共點，因此三點共線.（2）由于和共線，存在實數使得：和共線，有，則有，解得，所以.（3），則，，由，則，解得.18．(1)(2)(3)（1）由正弦定理邊角互化結合三角函數和差角公式可得答案；（2）由三角形面積及內切圓的半徑可得，由三角形面積及（1）可得，最后結合余弦定理可得答案；（3）如圖由幾何知識可設，則，據此可得面積表達式，然后由兩角和的正切公式結合基本不等式取等條件可得答案.【詳解】（1）由正弦定理邊角互化可得：又，則，從而，結合，則或（舍去）.故.（2）因三角形的面積為10，內切圓的半徑為.則，則.又由（1），.則由余弦定理：.化簡后可得：；（3）如圖，過D點做AB，AC垂線，垂足為E，F.由（1）可得，則，又由角平分線性質可得，又注意到，，則，設，則.又，則.其中.故三角形面積為：.注意到.則.要使最小，則需使最大.注意到，則由基本不等式取等條件可得，要使最大，需滿足.則，此時，即三角形為等邊三角形.19．(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析；（1）由題可寫出答案；（2）考慮存在14個兩兩垂直的14維信號向量，任取其中兩個，可得有7個分量相同，則有7個分向量不同，再通過假設第三個與他們垂直向量存在，從而利用反證法完成證明；（3）通過個2024維信號向量后個分量組成的向量的和向量模長為非負數，結合題意可完成證明.【詳解】（1）由題可得4個兩兩垂直的4維信號向量可以為：；（2）證明：假設存在14個兩兩垂直的14維信號向量，任取其中兩個不同向量，.因，則設與中，有個分量相同，則有個分向量不同.因，則.再取任意與和不同向量，設在與相同分量的7個位置中，有個分量與相同，則有個分量與相反，在與相反分量的7個位置中，有個分量與相同，則有個分量與相反.因，則.由上可得在與相同分量的7個位置中，有個