南京市重點中學2025屆高三二調(diào)數(shù)學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)的定義域為，命題：，的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里4．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或5．在復平面內(nèi)，復數(shù)（為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知集合，，若AB，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．由曲線圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．8．《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學、天文學中都有廣泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深，對今天的幾何學和其它學科仍有深刻的影響．下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，陰陽太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A． B．C． D．9．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,210．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點、，過點作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．的展開式中的項的系數(shù)為（）A．120 B．80 C．60 D．4012．已知滿足，，,則在上的投影為（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在的零點個數(shù)為_________.14．記數(shù)列的前項和為，已知，且.若，則實數(shù)的取值范圍為________.15．已知向量=（1，2），=（-3，1），則=______．16．過直線上一動點向圓引兩條切線MA，MB，切點為A，B，若，則四邊形MACB的最小面積的概率為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時，求的值；利用數(shù)學歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.18．（12分）已知函數(shù)有兩個零點.(1)求的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，對于符合題意的任意，當時均有?若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．19．（12分）在銳角中，分別是角的對邊，，，且．（1）求角的大小；（2）求函數(shù)的值域．20．（12分）記為數(shù)列的前項和，已知，等比數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和.21．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右頂點分別為、，焦距為2，直線與橢圓交于兩點（均異于橢圓的左、右頂點）.當直線過橢圓的右焦點且垂直于軸時，四邊形的面積為6.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為.①若，求證：直線過定點；②若直線過橢圓的右焦點，試判斷是否為定值，并說明理由.22．（10分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用平面向量平行的坐標條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得，，，，解得.故選A.【點睛】本題考查向量平行定理，考查向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)命題的否定的定義，全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因為：，是全稱命題，所以其否定是特稱命題，即，.故選：D【點睛】本題主要考查命題的否定，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.4、B【解析】

因為,所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.5、C【解析】

化簡復數(shù)為、的形式，可以確定對應(yīng)的點位于的象限．【詳解】解：復數(shù)故復數(shù)對應(yīng)的坐標為位于第三象限故選：．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的運算，復數(shù)和復平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

先化簡，再根據(jù)，且AB求解.【詳解】因為，又因為，且AB，所以.故選：D【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

先計算出兩個圖像的交點分別為，再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點睛】本題考察定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.8、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的，兩面積作差即可求解.【詳解】由圖，正八邊形分割成個等腰三角形，頂角為，設(shè)三角形的腰為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積為：，所以每塊八卦田的面積約為：.故選：B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

先求出集合U，再根據(jù)補集的定義求出結(jié)果即可．【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C．【點睛】本題考查集合補集的運算，求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補集的定義，屬于簡單題．10、B【解析】

設(shè)點位于第二象限，可求得點的坐標，再由直線與直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值，進而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點位于第二象限，由于軸，則點的橫坐標為，縱坐標為，即點，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算，解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系，考查計算能力，屬于中等題.11、A【解析】

化簡得到，再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選：【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.12、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

本問題轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)問題，在同一直角坐標系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】問題函數(shù)在的零點個數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)問題.在同一直角坐標系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知：當時，兩個函數(shù)只有一個交點.故答案為：1【點睛】本題考查了求函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.14、【解析】

根據(jù)遞推公式，以及之間的關(guān)系，即可容易求得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，求得其最大值，則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當時，，解得.所以.因為，則，兩式相減，可得，即，則.兩式相減，可得.所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以，則.令，則.當時，，數(shù)列單調(diào)遞減，而，，，故，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式，涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷，屬綜合困難題.15、-6【解析】

由可求，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示可求.【詳解】∵=（1，2），=（-3，1），∴=（-4，-1），則=1×（-4）+2×（-1）=-6故答案為-6【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標表示，屬于基礎(chǔ)試題．16、.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為，求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率．【詳解】由圓的方程得，所以圓心為，半徑為，四邊形的面積，若四邊形的最小面積，所以的最小值為，而，即的最小值，此時最小為圓心到直線的距離，此時，因為，所以，所以的概率為．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長度有關(guān)的幾何概型,考查了學生分析問題的能力,難度一般.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；證明見解析.【解析】

當時，集合共有個子集，即可求出結(jié)果；分類討論，利用數(shù)學歸納法證明.【詳解】當時，集合共有個子集，所以；①當時，，由可知，，此時令，，，，滿足對任意，都有，且；②假設(shè)當時，存在有序集合組滿足題意，且，則當時，集合的子集個數(shù)為個，因為是4的整數(shù)倍，所以令，，，，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數(shù)的研究，結(jié)合數(shù)學歸納法的應(yīng)用，屬于難題.18、(1)；(2).【解析】

（1）對求導，對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得.（2）先根據(jù)，得，再根據(jù)零點解得，轉(zhuǎn)化不等式得，令，化簡得，因此，，最后根據(jù)導數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，確定對應(yīng)函數(shù)最值，即得取值集合.【詳解】（1），當時，對恒成立，與題意不符，當，，∴時，即函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∵和時均有，∴，解得：，綜上可知：的取值范圍；（2）由(1)可知，則，由的任意性及知，，且，∴，故，又∵，令，則，且恒成立，令，而，∴時，時，∴，令，若，則時，，即函數(shù)在單調(diào)遞減，∴，與不符；若，則時，，即函數(shù)在單調(diào)遞減，∴，與式不符；若，解得，此時恒成立，，即函數(shù)在單調(diào)遞增，又，∴時，；時，符合式，綜上，存在唯一實數(shù)符合題意.【點睛】利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.19、（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐標表示、正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡求得，進而得到；（2）利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)為，根據(jù)的范圍可確定的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可確定所求函數(shù)的值域.【詳解】（1），，由正弦定理得：，即，，，，又，.（2）在銳角中，，．．，，，，函數(shù)的值域為．【點睛】本題考查三角恒等變換、解三角形和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題；涉及到共線向量的坐標表示、利用三角恒等變換公式化簡求值、正弦定理邊化角的應(yīng)用、正弦型函數(shù)值域的求解等知識.20、（1）（2）當時，；當時，.【解析】

（1）利用數(shù)列與的關(guān)系，求得；（2）由（1）可得：，，算出公比，利用等比數(shù)列的前項和公式求出.【詳解】（1）當時，，當時，，因為適合上式，所以.（2）由（1）得，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，當時，，當時，.【點睛】本題主要考查數(shù)列與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、前項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力..21、（1）；（2）①證明見解析；②【解析】

（1）由題意焦距為2，設(shè)點，代入橢圓，解得，從而四邊形的面積，由此能求出橢圓的標準方程．（2）①由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，推導出，，，，由此猜想：直線過定點，從而能證明，，三點共線，直線過定點．②由題意設(shè)，，，，直線，代入橢圓標準方程：，得，推導出，，由此推導出（定值）．【詳解】（1）由題意焦距為2，可設(shè)點，代入橢圓，得，解得，四邊形的面積，，，橢圓的標準方程為．（2）①由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，，解得，從而，，，同理可得，，猜想：直線過定點，下證之：，，，，三點共線，直線過定點．②為定值，理由如下：由題意設(shè)，，，，直線，代入橢圓標準方程：，得，，，，（定值）．【點睛】本題考查橢圓標準方程的求法，考查直線過定點的證明，考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法，考查橢圓、直線方程、韋達定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．22、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點為，連接，，，，根據(jù)線段關(guān)系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平