江蘇省南通市安海中學2025年高三第二次模考數學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．已知函數是偶函數，當時，函數單調遞減，設，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．3．若實數x，y滿足條件，目標函數，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．04．已知非零向量滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B． C． D．35．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（）A． B． C． D．6．已知數列是以1為首項，2為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，設，，則當時，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．117．寧波古圣王陽明的《傳習錄》專門講過易經八卦圖，下圖是易經八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“—”表示一根陽線，“——”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為（）A． B． C． D．8．公元263年左右，我國數學家劉徽發現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創立了“割圓術”，利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值，這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出的值為（）（參考數據：）A．48 B．36 C．24 D．129．函數的大致圖像為（）A． B．C． D．10．已知數列的前項和為，且，，，則的通項公式（）A． B． C． D．11．若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．12．曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關于的方程在區間上恰有兩個解，則實數的取值范圍是________14．已知實數x,y滿足(2x-y)2+4y15．戊戌年結束，己亥年伊始，小康，小梁，小譚，小楊，小劉，小林六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分別奔赴四所不同的學校參加演講，則不同的分配方案有_________種（用數字作答），16．若函數，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分別是棱AA1，AC和A1C1的中點，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.（1）求異面直線AC與BE所成角的余弦值；（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．18．（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸，且兩坐標系取相同的長度單位.已知曲線的參數方程：（為參數），直線的極坐標方程：（1）求曲線的極坐標方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的最大值.19．（12分）函數（1）證明：；（2）若存在，且，使得成立，求取值范圍.20．（12分）已知在四棱錐中，平面，，在四邊形中，，，，為的中點，連接，為的中點，連接.（1）求證：.（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產品需要費用元，設表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列．22．（10分）等差數列中，．（1）求的通項公式；（2）設，記為數列前項的和，若，求．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由三視圖可知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側棱長為，利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑，根據三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側棱長為，如圖：由底面邊長可知，底面三角形的頂角為，由正弦定理可得，解得，三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，所以，該幾何體外接球的表面積為：.故選：C【點睛】本題考查了多面體的內切球與外接球問題，由三視圖求幾何體的表面積，考查了學生的空間想象能力，屬于基礎題.2、A【解析】

根據圖象關于軸對稱可知關于對稱，從而得到在上單調遞增且；再根據自變量的大小關系得到函數值的大小關系.【詳解】為偶函數圖象關于軸對稱圖象關于對稱時，單調遞減時，單調遞增又且，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數奇偶性、對稱性和單調性比較函數值的大小關系問題，關鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數的單調性，通過自變量的大小關系求得結果.3、C【解析】

畫出可行域和目標函數，根據平移得到最大值.【詳解】若實數x，y滿足條件，目標函數如圖：當時函數取最大值為故答案選C【點睛】求線性目標函數的最值:當時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最大，在軸截距最小時，z值最小；當時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大.4、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結果即可．【詳解】解：非零向量，滿足，可知兩個向量垂直，，且與的夾角為，說明以向量，為鄰邊，為對角線的平行四邊形是正方形，所以則．故選：．【點睛】本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎題．5、D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標準方程的求解.6、B【解析】

根據題意計算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項，2為公差的等差數列，∴.∵是以1為首項，2為公比的等比數列，∴.∴.∵，∴，解得.則當時，的最大值是9.故選：.【點睛】本題考查了等差數列，等比數列，f分組求和，意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.7、B【解析】

根據古典概型的概率求法，先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數，再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數，代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數種，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數有6種，分別是（巽，坤），（兌，坤），（離，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選：B【點睛】本題主要考查古典概型的概率，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.8、C【解析】

由開始，按照框圖，依次求出s，進行判斷。【詳解】，故選C.【點睛】框圖問題，依據框圖結構，依次準確求出數值，進行判斷，是解題關鍵。9、D【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結果.【詳解】函數的定義域為，當時，，排除B和C；當時，，排除A.故選：D.【點睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.10、C【解析】

利用證得數列為常數列，并由此求得的通項公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數列，所以，故.故選：C【點睛】本小題考查數列的通項與前項和的關系等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應用意識.11、A【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數的最值，判斷a的范圍即可．【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因為的最大值為，所以在點處取得最大值，則，即.故選：A【點睛】本題主要考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵．12、A【解析】

根據題意，求導后結合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【詳解】解：由于，根據導數的幾何意義得：，即切線斜率，當且僅當等號成立，所以上任意一點處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【點睛】本題考查導數的幾何意義的應用以及運用基本不等式求最值，考查計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先換元，令，將原方程轉化為，利用參變分離法轉化為研究兩函數的圖像交點，觀察圖像，即可求出．【詳解】因為關于的方程在區間上恰有兩個解，令，所以方程在上只有一解，即有，直線與在的圖像有一個交點，由圖可知，實數的取值范圍是，但是當時，還有一個根，所以此時共有3個根.綜上實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查學生運用轉化與化歸思想的能力，方程有解問題轉化成兩函數的圖像有交點問題，是常見的轉化方式．14、2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據柯西不等式：2x-y2+4y當2x-y=2y，即x=328故答案為：2.【點睛】本題考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角換元求得答案.15、1080【解析】

按照先分組，再分配的分式，先將六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人有種，再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種，然后用分步計數原理求解.【詳解】將六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人有種，再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種，則不同的分配方案有種.故答案為：1080【點睛】本題主要考查分組分配問題，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.16、【解析】

根據題意，由函數的解析式求出的值，進而計算可得答案．【詳解】根據題意，函數，則，則；故答案為：.【點睛】本題考查分段函數的性質、對數運算法則的應用，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）.【解析】

（1）先根據空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.（2）分別求得平面BFC1的一個法向量和平面BCC1的一個法向量，再利用面面角的向量方法求解.【詳解】規范解答（1）因為AB＝1，AA1＝2，則F(0，0，0)，A，C，B，E，所以＝(－1，0，0)，＝記異面直線AC和BE所成角為α，則cosα＝|cos〈〉|＝＝，所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.（2）設平面BFC1的法向量為=(x1，y1，z1)．因為＝，＝，則取x1＝4，得平面BFC1的一個法向量為＝(4，0，1)．設平面BCC1的法向量為＝(x2，y2，z2)．因為＝，＝(0，0，2)，則取x2＝得平面BCC1的一個法向量為＝(，－1，0)，所以cos〈〉＝=根據圖形可知二面角F-BC1-C為銳二面角，所以二面角F-BC1-C的余弦值為.【點睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，面面角的求法，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）10【解析】

（1）消去參數，可得曲線C的普通方程，再根據極坐標與直角坐標的互化公式，代入即可求得曲線C的極坐標方程；（2）將代入曲線C的極坐標方程，利用根與系數的關系，求得，進而得到=，結合三角函數的性質，即可求解.【詳解】（1）由題意，曲線C的參數方程為，消去參數，可得曲線C的普通方程為，即，又由，代入可得曲線C的極坐標方程為.（2）將代入，得，即，所以=，其中，當時，取最大值，最大值為10.【點睛】本題主要考查了參數方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及曲線的極坐標方程的應用，著重考查了運算與求解能力，屬于中檔試題.19、（1）證明見詳解；（2）或或【解析】

（1）（2）首先用基本不等式得到，然后解出不等式即可【詳解】（1）因為所以（2）當時所以當且僅當即時等號成立因為存在，且，使得成立所以所以或解得：或或【點睛】1.要熟練掌握絕對值的三角不等式，即2.應用基本不等式求最值時要滿足“一正二定三相等”.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）連接，證明，得到面，得到證明.（2）以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，為平面的法向量，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）連接，在四邊形中，，平面，面，，，面，又面，，又在直角三角形中，，為的中點，，，面，面，.（2）以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，，，，，，，設為平面的法向量，，，，，令，則，，，同理可得平面的一個法向量為.設向量與的所成的角為，，由圖形知，二面角為銳二面角，所以余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.21、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率；（2）由題意可知隨機變量的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的