北京市東城五中2025年下學期高三數學試題2月月考考試試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代數學巨著《九章算術》中，有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”這個問題用今天的白話敘述為：有一位善于織布的女子，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這位女子每天分別織布多少？根據上述問題的已知條件，若該女子共織布尺，則這位女子織布的天數是（）A．2 B．3 C．4 D．12．設，，，則的大小關系是()A． B． C． D．3．函數的大致圖像為（）A． B．C． D．4．設等比數列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．若集合，則（）A． B．C． D．6．等比數列的前項和為，若，，，，則（）A． B． C． D．7．已知橢圓的焦點分別為，，其中焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓與拋物線的兩個交點連線正好過點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線C：（）的左、右焦點分別為，過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點.若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．9．執行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．10．復數的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．211．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．12．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，則曲線在點處的切線方程為___________.14．已知若存在，使得成立的最大正整數為6，則的取值范圍為________.15．的展開式中的系數為__________．16．已知函數在處的切線與直線平行，則為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在四棱錐中，∥，，點分別為的中點.（1）證明：∥面；（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.18．（12分）心形線是由一個圓上的一個定點，當該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時，這個定點的軌跡，因其形狀像心形而得名，在極坐標系中，方程（）表示的曲線就是一條心形線，如圖，以極軸所在的直線為軸，極點為坐標原點的直角坐標系中.已知曲線的參數方程為（為參數）.（1）求曲線的極坐標方程；（2）若曲線與相交于、、三點，求線段的長.19．（12分）已知函數（，為自然對數的底數），.（1）若有兩個零點，求實數的取值范圍；（2）當時，對任意的恒成立，求實數的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中點．證明：；設，點M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．21．（12分）已知正項數列的前項和.（1）若數列為等比數列，求數列的公比的值；（2）設正項數列的前項和為，若，且.①求數列的通項公式；②求證：.22．（10分）在數列中，已知，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

將問題轉化為等比數列問題，最終變為求解等比數列基本量的問題.【詳解】根據實際問題可以轉化為等比數列問題，在等比數列中，公比，前項和為，，，求的值．因為，解得，，解得．故選B．【點睛】本題考查等比數列的實際應用，難度較易.熟悉等比數列中基本量的計算，對于解決實際問題很有幫助.2．A【解析】

選取中間值和，利用對數函數，和指數函數的單調性即可求解.【詳解】因為對數函數在上單調遞增,所以,因為對數函數在上單調遞減,所以，因為指數函數在上單調遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點睛】本題考查利用對數函數和指數函數的單調性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.3．D【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結果.【詳解】函數的定義域為，當時，，排除B和C；當時，，排除A.故選：D.【點睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.4．C【解析】

根據等比數列的前項和公式，判斷出正確選項.【詳解】由于數列是等比數列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要條件.故選：C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數列前項和公式，屬于基礎題.5．A【解析】

先確定集合中的元素，然后由交集定義求解．【詳解】，.故選：A．【點睛】本題考查求集合的交集運算，掌握交集定義是解題關鍵．6．D【解析】試題分析：由于在等比數列中，由可得：，又因為，所以有：是方程的二實根，又，，所以，故解得：，從而公比；那么，故選D．考點：等比數列．7．B【解析】

根據題意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.【詳解】易知，且故有，則故選：B【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質、拋物線的幾何性質，考查了學生的計算能力，屬于中檔題8．D【解析】

設，利用余弦定理，結合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】設，由雙曲線的定義可知：因此再由雙曲線的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線的漸近線方程為：.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應用，考查了余弦定理的應用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數學運算能力.9．D【解析】

根據框圖，模擬程序運行，即可求出答案.【詳解】運行程序，，

，，，，，結束循環，故輸出，故選：D.【點睛】本題主要考查了程序框圖，循環結構，條件分支結構，屬于中檔題.10．B【解析】

對復數進行化簡計算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.【點睛】本題考查復數的計算，虛部的概念，屬于簡單題.11．D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據傾斜角可得漸近線斜率，由此構造方程求得結果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.【點睛】本題考查根據雙曲線漸近線傾斜角求解參數值的問題，關鍵是明確直線傾斜角與斜率的關系；易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.12．B【解析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據導數的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.【詳解】因為，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義，切線方程，屬于容易題.14．【解析】

由題意得，分類討論作出函數圖象，求得最值解不等式組即可.【詳解】原問題等價于，當時，函數圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數圖象如圖此時，則，解得：；綜上，滿足條件的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題主要考查了對勾函數的圖象與性質，函數的最值求解，存在性問題的求解等，考查了分類討論，轉化與化歸的思想.15．3【解析】

分別用1和進行分類討論即可【詳解】當第一個因式取1時，第二個因式應取含的項，則對應系數為：；當第一個因式取時，第二個因式應取含的項，則對應系數為：；故的展開式中的系數為.故答案為：3【點睛】本題考查二項式定理中具體項對應系數的求解，屬于基礎題16．【解析】

根據題意得出，由此可得出實數的值.【詳解】，，直線的斜率為，由于函數在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數的切線與直線平行求參數，解題時要結合兩直線的位置關系得出兩直線斜率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據題意，連接交于，連接，利用三角形全等得，進而可得結論；（2）建立空間直角坐標系，利用向量求得平面的法向量，進而可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接交于，連接，，≌，且，面面，面，（2）取中點，連，.由，面面面，又由，以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，，為面的一個法向量，設面的法向量為，依題意，即，令，解得，所以，平面的法向量，，又因二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意中位線和向量法的合理運用，屬于基礎題.18．（1）（）；（2）.【解析】

（1）化簡得到直線方程為，再利用極坐標公式計算得到答案.（2）聯立方程計算得到，，計算得到答案.【詳解】（1）由消得，即，是過原點且傾斜角為的直線，∴的極坐標方程為（）.（2）由得，∴，由得∴，∴.【點睛】本題考查了參數方程，極坐標方程，意在考查學生的計算能力和應用能力.19．（1）；（2）【解析】

（1）將有兩個零點轉化為方程有兩個相異實根，令求導，利用其單調性和極值求解；（2）將問題轉化為對一切恒成立，令，求導，研究單調性，求出其最值即可得結果.【詳解】（1）有兩個零點關于的方程有兩個相異實根由，知有兩個零點有兩個相異實根.令，則，由得：，由得：，在單調遞增，在單調遞減，又當時，，當時，當時，有兩個零點時，實數的取值范圍為；（2）當時，，原命題等價于對一切恒成立對一切恒成立.令令，，則在上單增又，，使即①當時，，當時，，即在遞減，在遞增，由①知函數在單調遞增即，實數的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，極值，最值問題，考查學生轉化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.20．（1）見解析；（2）【解析】

（1）由平面平面的性質定理得平面，.在中，由勾股定理得，平面，即可得；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，由空間向量法和異面直線與所成角的余弦值為，得點M的坐標，從而求出二面角的余弦值.【詳解】（1）平面平面，平面平面=，，所以.由面面垂直的性質定理得平面，，在中，，，由正弦定理可得：，，即，平面，.（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設，則，,得，，而，設平面的法向量為，由可得：，令，則，取平面的法向量，則，故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養和向量法的合理運用，屬于中檔題.21．（1）；（2）①；②詳見解析.【解析】

（1）依題意可表示，，相減得，由等比數列通項公式轉化為首項與公比，解得答案，并由其都是正項數列舍根；（2）①由題意可表示，，兩式相減得，由其都是正項并整理可得遞推關系，由等差數列的通項公式即可得答案；②由已知關系，表示并相減即可表示遞推關系，顯然當時，成立，當，時，表示，由分組求和與正項數列性質放縮不等式得證.【詳解】解：（1）依題意可得，，兩式相減，得，所以，因為，所以，且，解得.（2）①因為，所以，兩式相減，得，即.因為，所以，即.而當時，，可得，故，所以對任意的正整數都成立，所以數列是等差數列，公差為1，首項為1，所以數列的通項公式為.②因為，所以，兩式相減，得，即，所以對任意的正整數，都有.令，而當時，顯然成立，所以當，時，，所以，即，所以，得證.