壓軸題09電磁感應中的單雙棒問題

1.電磁感應中的單雙棒問題在高考物理中占據著舉足輕重的地位，是考查學生對電磁感應現象和力學知識綜合

運用能力的關鍵考點。

2.在命題方式上，電磁感應中的單雙棒問題通常會以綜合性較強的題目形式出現，結合電磁感應定律、安培力、

牛頓第二定律等知識點，考查學生對電磁感應現象中導體棒的運動狀態(tài)、受力情況、能量轉化等問題的理解和分

析。題目可能要求考生分析導體棒在磁場中的運動軌跡、速度變化、加速度大小等，也可能要求考生求解導體棒

產生的感應電動勢、感應電流等物理量。

3.備考時，考生應首先深入理解電磁感應的基本原理和單雙棒問題的特點，掌握電磁感應定律、安培力、牛頓

第二定律等相關知識點的應用。同時，考生需要熟悉各種類型題目的解題方法和技巧，例如通過分析導體棒受力

情況、運用動量定理和能量守恒定律等方法求解問題。

考向一：不含容單棒問題

模型規(guī)律

1、力學關系：22；22

BlvFABlv

FABIla

Rrmm(Rr)

2、能量關系：

1

mv20Q

20

阻尼式（導軌光滑）

Bls

3、動量電量關系：BIlt0mv；qn

0RrRr

1、力學關系：；

(EE反）(EBlv））

＝FBmg(EBlv

FABlBla=Blg

RrRrmm(Rr)

2、動量關系：

BLqmgtmvm0

3、能量關系：1

qEQmgSmv2

2m

電動式（導軌粗糙）4、穩(wěn)定后的能量轉化規(guī)律：2

IminEIminE反Imin(Rr)mgvm

5、兩個極值：（1）最大加速度：v=0時,E反=0,電流、加速度最大。

；

E；Fmg

IFmBImlam

mRrmm

（2）最大速度：穩(wěn)定時，速度最大，電流最小。

EBlvEBlv

Im,mgFBIlBml

minRrminminRr

1、力學關系：

FFmgFB2l2v

aBg

mmm(Rr)

2、動量關系：

FtBLqmgtmvm0

3、能量關系：1

FsQmgSmv2

2m

4、穩(wěn)定后的能量轉化規(guī)律：

(BLv)2

Fvmmgv

mRrm

5、兩個極值：

發(fā)電式（導軌粗糙）

（1）最大加速度：當v=0時，。

Fmg

a

mm

（2）最大速度：當a=0時，

FFmgFB2l2v

aBmg0

mmm(Rr)

考向二：含容單棒問題

模型規(guī)律

1、電容器充電量：

Q0CE

2、放電結束時電量：

QCUCBlvm

3、電容器放電電量：

QQ0QCECBlvm

4、動量關系：；

BlCE

BIltBlQ=mvmv

放電式（先接1，后接2。導軌mmB2l2C

光滑）

5、功能關系：2

12m(BlCE)

W安mv

2m2(mB2l2C)2

達到最終速度時：

1、電容器兩端電壓：UBlv（v為最終速度）

2、電容器電量：qCU

3、動量關系：；

mv

無外力充電式（導軌光滑）BIltBlqmvmv0v0

mB2l2C

1、力學關系：

FFAFBLIma

2、電流大小：QCUCBlv

ICBla

ttt

有外力充電式（導軌光滑）

3、加速度大小：F

a

mCB2L2

考向三：雙棒問題

模型規(guī)律

1、電流大小：

BlvBlvBl(vv)

I2121

R1R2R1R2

2、穩(wěn)定條件：兩棒達到共同速度

3、動量關系：

m2v0(m1m2)v

4、能量關系：11；

無外力等距式（導軌光滑）22＋Q1R1

m2v0(m1m2)v共Q

22Q2R2

1、電流大小：

BlvBlv

I21

R1R2

2、力學關系：；。（任意時刻兩棒加速度）

FAFFA

a1a2

m1m2

3、穩(wěn)定條件：當a2＝a1時，v2-v1恒定；I恒定；FA恒定；兩棒勻加速。

4、穩(wěn)定時的物理關系：

；；；

有外力等距式（導軌光滑）F(m1m2)aFAm1aBl(v2v1)

FABIlBl

R1R2

(R1R2)m1F

v2v122

Bl(m1m2)

1、動量關系：；

BL1Itm1v1m1v0BL2Itm2v20

2、穩(wěn)定條件：

BL1v1BL2v2

3、最終速度：2；

m1L2m1L2L1

v122v0v222v0

m1L2m2L1m1L2m2L1

4、能量關系：

無外力不等距式121212

Qm1v0m1v1m2v2

（導軌光滑）222

5、電量關系：

BL2qm2v20

F為恒力，則：

1、穩(wěn)定條件：I恒定，兩棒做勻加速直線運動

l1a1l2a2，

FFFFl

A1；A2A11

2、常用關系：a1a；lala；

m21122

1m2FA2l2

l2mllm

3、常用結果：F12F；F122F；

A122A222

l1m2l2m1l1m2l2m1

有外力不等距式l2ll

a2F；a12F；

122222

（導軌光滑）l1m2l2m1l1m2l2m1

lmF

此時回路中電流為：12與兩棒電阻無關

I22

l1m2l2m1B

01不含容單棒問題

1．如圖所示，間距為L的平行導軌固定在水平絕緣桌面上，導軌右端接有定值電阻，阻值為R，垂直導軌的虛

線PQ和MN之間存在磁感應強度大小為B、方向豎直向上的勻強磁場，其中導軌的PM和QN段光滑。在虛線PQ

L

左側、到PQ的距離為的位置垂直導軌放置質量為m的導體棒，現給處于靜止狀態(tài)的導體棒一個水平向右的恒

2

8gL4gL

力作用，經過PQ時撤去恒力，此時導體棒的速度大小v，經過MN時導體棒的速度大小v。已

055

R

知恒力大小為3mg，導體棒始終與導軌垂直且接觸良好，導體棒接入電路的電阻為，重力加速度為g，導軌

2

電阻不計，下列說法正確的是（）

A．導體棒與PQ左側導軌之間的動摩擦因數為0.66

4mL

B．導體棒經過磁場的過程中，通過導體棒的電荷量為

5Bg

16mgL

C．導體棒經過磁場的過程中，導體棒上產生的熱量為

25

6mR

D．虛線PQ和MN之間的距離為gL

5B2L2

【答案】D

【詳解】A．對導體棒從開始運動至到達虛線PQ的過程，應用動能定理，可得

LL1

Fmgmv20

2220

代入數據，解得動摩擦因數

0.44

故A錯誤；

B．對導體棒經過磁場區(qū)域的過程，應用動量定理，可得

BILtmvmv0

通過導體棒橫截面的電荷量

qIt

解得

4mg

q

5BL

故B錯誤；

C．導體棒通過磁場過程，整個回路中產生的熱量

11

Qmv2mv2

202

代入數據可得

24mgL

Q

25

根據電阻的串并聯關系，導體棒上產生的熱量

R

8mgL

QQ2

RR25

2R

2

故C錯誤；

D．設虛線PQ和MN之間的距離為x，可得

BLx

q

R

R

2

解得

6mR

xgL

5B2L2

故D正確。

故選D。

02含容單棒問題

2．如圖所示，間距為L、豎直固定的兩根光滑直桿abcd、abcd下端aa之間接有定值電阻R，上端接有電容

為C、不帶電的電容器，bc和bc兩小段等高、長度不計且用絕緣材料平滑連接，ab、cd、ab、cd電阻均不

計。兩桿之間存在磁感應強度大小為B、方向垂直兩桿所在平面向里的勻強磁場。現有一個質量為m、電阻不計、

兩端分別套在直桿上的金屬棒，t0時在大小為4mg（g為重力加速度大小）、方向豎直向上的拉力作用下由靜

止開始豎直向上運動，速度穩(wěn)定后，在tt1時到達bb位置，在cc位置，瞬間為電容器充電，金屬棒速度突變，

之后金屬棒繼續(xù)向上運動，在t2t1時金屬棒未碰到電容器。金屬棒在運動過程中始終與兩直桿垂直且接觸良好，

電容器始終未被擊穿，則（）

mgR3mgRmR

A．tt1時金屬棒的速度大小為B．0~t內金屬棒上升的高度為t1

B2L21B2L2B2L2

C．t1~2t1內通過金屬棒的電流隨時間逐漸增大D．t1~2t1內金屬棒做加速度逐漸減小的加速運動

【答案】B

【詳解】A．由題意可得tt1時金屬棒運動穩(wěn)定即勻速直線運動

4mgmgF

FILB

E

I

R

EBLv

聯立求得

3mgR

v

B2L2

A錯誤；

B．0~t1內，對金屬棒應用動量定理可得

4mgt1mgt1Ftmv0

其中

FtBqL

BLhBLh

qItt

RtR

代入數據，聯立求得

3mgRmR

ht1

B2L2B2L2

B正確；

CD．根據

q

i

t

qCUCE

EBLv

FiLB

及牛頓第二定律可得

4mg3mgFma

聯立求得

3mg

a

B2L2Cm

說明金屬棒向上做勻加速直線運動，電流不變，CD錯誤。

故選B。

03等間距雙棒問題

3．如圖所示，MN、PQ是相距為0.5m的兩平行光滑金屬軌道，傾斜軌道MC、PD分別與足夠長的水平直軌道

CN、DQ平滑相接。水平軌道CN、DQ處于方向豎直向下、磁感應強度大小為B1T的勻強磁場中。質量m0.1kg、

電阻R1、長度L0.5m的導體棒a靜置在水平軌道上，與a完全相同的導體棒b從距水平軌道高度h0.2m

的傾斜軌道上由靜止釋放，最后恰好不與a相撞，運動過程中導體棒a、b始終與導軌垂直且接觸良好，導軌電

阻不計，重力加速度g取10m/s2。下列說法正確的是（）

A．棒b剛進入磁場時的速度大小為1m/s

B．棒b剛進入磁場時，棒a所受的安培力大小為2N

C．整個過程中，通過棒a的電荷量為0.1C

D．棒a的初始位置到CD的距離為0.8m

【答案】D

【詳解】A．棒b從靜止釋放到剛進入磁場過程，根據動能定理可得

1

mghmv2

20

解得棒b剛進入磁場時的速度大小為

v02gh2100.2m/s2m/s

故A錯誤；

B．棒b剛進入磁場時，產生的電動勢為

E0BLv01V

回路電流為

E

I00.5A

02R

棒a所受的安培力大小為

FaBI0L0.25N

故B錯誤；

C．棒b進入磁場后，兩棒組成的系統滿足動量守恒，最終兩棒以相同的速度做勻速直線運動，則有

mv02mv

解得兩棒最終的速度大小為

v

v01m/s

2

對棒a，根據動量定理可得

BILtmv0

又

qIt

聯立可得整個過程中，通過棒a的電荷量為

mv

q0.2C

BL

故C錯誤；

D．由題意可知棒b最后恰好不與a相撞，則有

EBLx

qItttt

2R2R2R2R

解得

2Rq

x0.8m

BL

可知棒a的初始位置到CD的距離為0.8m，故D正確。

故選D。

04不等間距雙棒問題

4．如圖所示，用金屬制成的平行導軌由水平和弧形兩部分組成，水平導軌窄軌部分間距為L，有豎直向上的勻

強磁場，寬軌部分間距為2L，有豎直向下的勻強磁場；窄軌和寬軌部分磁場的磁感應強度大小分別為2B和B，

質量均為m金屬棒a、b垂直于導軌靜止放置。現將金屬棒a自弧形導軌上距水平導軌h高度處靜止釋放，兩金屬

棒在運動過程中始終相互平行且與導軌保持良好接觸，兩棒接入電路中的電阻均為R，其余電阻不計，寬軌和窄

軌都足夠長，a棒始終在窄軌磁場中運動，b棒始終在寬軌磁場中運動，重力加速度為g，不計一切摩擦。下列

說法不正確的是（）

A．a棒剛進入磁場時，b棒的加速度方向水平向左

B．從a棒進入磁場到兩棒達到穩(wěn)定過程，a棒和b棒組成的系統動量守恒

m2gh

C．從a棒進入磁場到兩棒達到穩(wěn)定過程，通過b棒的電量為

4BL

1

D．從a棒進入磁場到兩棒達到穩(wěn)定過程，b棒上產生的焦耳熱為mgh

4

【答案】B

【詳解】A．根據右手定則，a棒進入磁場時，a棒的電流方向向外，則b棒的電流方向向內，根據左手定則可

得，b棒的安培力方向向左，所以b棒加速度方向水平向左，故A正確；

B．根據左手定則，ab棒受到的安培力方向都向左，故ab棒組成的系統合外力不為零，動量不守恒，故B錯誤；

C．對a棒，根據動能定理

1

mghmv2

20

解得

v02gh

當ab棒達到穩(wěn)定時

EaEb

即

2BLvaB2Lvb

對a棒，由動量定理

2BILtmv0mva

對b棒，由動量定理

BI2Ltmvb

通過b棒的電荷量為

qIt

以上各式聯立，解得

v2gh

vv0

ab22

mvm2gh

q0

4BL4BL

故C正確；

D．根據能量守恒

121212

mvmvmvQ總

202a2b

解得

121

Q總mvmgh

402

則b棒上產生的焦耳熱為

R1

QQ總mgh

bRR4

故D正確。

本題選不正確的，故選B。

1．（2024·遼寧·三模）如圖甲所示，紙面內有abc和de兩光滑導體軌道，bc與de平行且足夠長，ab與bc成135°

角，兩導軌左右兩端接有定值電阻，阻值分別為R和2R。一質量為m、長度大于導軌間距的導體棒橫跨在兩導

軌上，與軌道ab接觸于G點，與軌道de接觸于H點。導體棒與軌道de垂直，GH間距為L，導體棒與b點間距

也為L。以H點為原點、沿軌道de向右為正方向建立x坐標軸。空間中存在磁感應強度大小為B、垂直紙面向里

的勻強磁場。某時刻，導體棒獲得一個沿x軸正方向的初速度v0，同時受到沿x軸方向的外力F作用，其運動至

b點前的速度的倒數與位移關系如圖乙所示。導體棒運動至b點時撤去外力F，隨后又前進一段距離后停止運動，

整個運動過程中導體棒與兩導軌始終接觸良好，不計導軌及導體棒的電阻。以下說法正確的是（）

A．流過電阻R的電流方向為da

mRv

B．導體棒在bc軌道上通過的距離為0

12B2L2

BLv

C．撤去外力F前，流過電阻R的電流為0

R

3B2vL3

D．導體棒運動過程中，電阻2R產生的焦耳熱為0

4R

【答案】BC

【詳解】A．根據右手定則，流過電阻R的電流方向為ad，故A錯誤；

v

B．由圖乙可知，導體棒運動至b點時速度為0，由幾何關系可得，ce的距離為2L，對導體棒從b點開始沿軌

2

道運動直至靜止，根據動量定理有

v

BI2Lt0m0

2

又有

EB2Ld

qItttt

2

R總R總R總R

3

解得

mRv

d0

12B2L2

故B正確；

C．導體棒在ab軌道上運動到任意位置x時，根據圖像可知

11Lx

vv0L

電動勢

EBLxvBLv0

通過導體棒的電流

E3BLv

I0

2

R2R

3

通過電阻R的電流

2

II

R3

即

BLv

I0

RR

故C正確；

D．撤去外力F前電路中的總熱量

2

QI2Rt

13

由圖像面積可知

3L

t

2v0

撤去外力F后導體棒繼續(xù)運動，整個回路產生的熱量

2

1v0

Q2m

22

電阻2R產生的熱量

13B2vL3mv2

QQQ00

3124R24

故D錯誤。

故選BC。

2．（2024·山西·二模）如圖甲所示，足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ傾斜固定，間距L1m，電阻不計。

導軌平面與水平面間的夾角30，上端MP間接有阻值R2的電阻，整個裝置處于方向垂直于導軌平面向

下的勻強磁場中。一質量m0.2kg、阻值r1的金屬棒在外力作用下垂直于導軌放置，撤去外力后，棒沿MN

方向的位移x與時間t的關系如圖乙所示，其中1.0~1.5s間為直線。已知棒運動過程中始終垂直于導軌，且在0~1.0s

4

內通過棒的電荷量是1.0~1.5s內通過棒的電荷量的倍，g取10m/s2，下列說法正確的是（）

5

A．圖乙中1.5s時對應的縱坐標是2.7m

B．勻強磁場的磁感應強度為0.5T

C．0~1.0s內通過電阻R的電荷量是0.5C

D．0~1.5s內電阻R產生的熱量1.2J

【答案】AD

【詳解】A．通過導體棒的電荷量為

ΦBLΔx

qIt

RrRr

4

在0~1.0s內通過棒的電荷量是1.0~1.5s內通過棒的電荷量的倍，則有

5

B1.2L4Bx1.2L

Rr5Rr

解得

x2.7m

A正確；

BC．1.0s后棒做勻速運動，由圖像可知

x2.71.2

vm/s3m/s

t1.51.0

受力平衡，有

mgsinBIL

根據閉合電路的歐姆定律得

BLv

I

Rr

解得

B1T

0~1.0s內通過電阻R的電荷量是

B1.2L

q0.4C

Rr

故BC錯誤；

D．在0~1.5s內，對導體棒由能量守恒得

1

mgxsinQmv2

2

在電路中，電阻R在0~1.5s內產生的熱量

R

QQ

RRr

聯立，解得

QR1.2J

故D正確。

故選AD。

3．（2024·山東泰安·二模）如圖所示，電阻不計的兩光滑平行金屬導軌相距0.5m，固定在水平絕緣桌面上，左

側圓弧部分處在豎直平面內，其間接有一電容為0.25F的電容器，右側平直部分處在磁感應強度為2T。方向豎直

向下的勻強磁場中，末端與桌面邊緣平齊。電阻為2的金屬棒ab垂直于兩導軌放置且與導軌接觸良好，質量為

1kg。棒ab從導軌左端距水平桌面高1.25m處無初速度釋放，離開水平直導軌前已勻速運動。已知電容器的儲能

1

ECU2，其中C為電容器的電容，U為電容器兩端的電壓，不計空氣阻力，重力加速度g10ms2。則金屬

2

棒ab在沿導軌運動的過程中（）

A．通過金屬棒ab的電荷量為2C

B．通過金屬棒ab的電荷量為1C

C．金屬棒ab中產生的焦耳熱為2.5J

D．金屬棒ab中產生的焦耳熱為4.5J

【答案】BC

【詳解】AB．當金屬棒落下后其速度可由動能定理求得

1

mghmv2

20

可求得

v05m/s

之后金屬棒切割磁感線，電容器充電，其兩端電壓逐漸增大，金屬棒因為安培力做減速運動，當金屬棒的動生電

動勢與電容器兩端電壓相等時，金屬棒勻速運動。

由動量定理可知

F安tmvmv0

可得

mv

v0

mB