第一章數與式重難點01規律探究型問題（2種命題預測+17種題型匯總+專題訓練）【題型匯總】類型一數與式、圖形的規律問題【命題預測】數與式、圖形的規律問題該題型主要以選擇、填空形式出現，難度系數不大，需要學生學會分析各式或圖形中的“變”與“不變”的規律一一重點分析“怎樣變”，應結合各式或圖形的序號進行前后對比分析。主要考査學生閱讀理解、觀察圖形的變化規律的能力，要求學生通過觀察分析推理，探究其中蘊含的規律，進而歸納或猜想出一般性的結論.題型01個位數規律1．（2024·山西大同·模擬預測）在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示，即21=2,22=4,232．（2024·山東臨沂·二模）觀察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，743．（2021·湖北武漢·一模）觀察下列算式：21=2,22=4,23=8,24=16,A．3 B．5 C．7 D．9題型02單/多項式類規律4．（2022·西藏·中考真題）按一定規律排列的一組數據：12，-35，12，-717，926A．-19101 B．21101 C．-5．（2023·西藏·中考真題）按一定規律排列的單項式：5a，8a2，11a3，14a4，…．則按此規律排列的第n6．（2021·甘肅武威·中考真題）一組按規律排列的代數式：a+2b,a2-2b3,a3題型03單/多項式類規律7．（2024·四川德陽·中考真題）將一組數2,2,則第八行左起第1個數是（

）A．72 B．82 C．58 D8．（2022·湖南懷化·中考真題）正偶數2，4，6，8，10，…，按如下規律排列，則第27行的第21個數是．9．（2022·山東泰安·中考真題）將從1開始的連續自然數按以下規律排列：若有序數對n,m表示第n行，從左到右第m個數，如3,2表示6，則表示99的有序數對是．10．（2023·湖南常德·中考真題）觀察下邊的數表（橫排為行，豎排為列），按數表中的規律，分數202023若排在第a行b列，則a-b的值為(

112

13

2214

23

3……A．2003 B．2004 C．2022 D．2023題型04楊輝三角形類規律11．（2023·黑龍江大慶·中考真題）1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規律，(a+b)7展開的多項式中各項系數之和為12．（2023·四川巴中·中考真題）我國南宋時期數學家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了(a+b)n1

(a+b)1

1

(a+b)1

2

1

(a+b)1

3

3

1

(a+b)當代數式x4-12x3+54x2A．2 B．-4 C．2或4 D．2或-413．（2020·山東泰安·中考真題）右表被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”．其規律是：從第三行起，每行兩端的數都是“1”，其余各數都等于該數“兩肩”上的數之和．表中兩平行線之間的一列數：1，3，6，10，15，……，我們把第一個數記為a1，第二個數記為a2，第三個數記為a3，……，第n個數記為an題型05表格類規律14．（2021·湖北隨州·中考真題）根據圖中數字的規律，若第n個圖中的q=143，則p的值為（

）A．100 B．121 C．144 D．16915．（2020·湖北·中考真題）根據圖中數字的規律，若第n個圖中出現數字396，則n=（）

A．17 B．18 C．19 D．2016．（2020·湖南婁底·中考真題）下列各正方形中的四個數之間都有相同的規律，根據此規律，x的值為（

）A．135 B．153 C．170 D．18917．（2024·河南商丘·模擬預測）如圖，在2×2的網格內各有4個數字，各網格內數字都有相同的規律，c為（）A．990 B．9900 C．985 D．9850題型06跨學科類規律（化學）18．（2024·重慶·中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，下圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是（

）A．20 B．22 C．24 D．2619．（2023·四川遂寧·中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物，在生產生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養護．通常用碳原子的個數命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當碳原子數目超過10個時即用漢文數字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學式為CH4，乙烷的化學式為C2H6，丙烷的化學式為C

20．（2024·重慶·一模）有機化學中“烷烴”的分子式如CH4、C2H6、C3H8…可分別按下圖對應展開，則C100Hm中m的值是（

）

A．200 B．202 C．302 D．30021．（2024·廣東·三模）化學中直鏈烷烴的名稱用“碳原子數＋烷”來表示，當碳原子數為1~10時，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化學式為CH4，乙烷的化學式為C2H6，丙烷的化學式為題型07通過觀察已知等式求解22．（2023·四川內江·中考真題）對于正數x，規定f(x)=2xx+1，例如：f(2)=2×22+1=43，f12A．199 B．200 C．201 D．20223．（2021·四川眉山·中考真題）觀察下列等式：x1x2x3……根據以上規律，計算x1+24．（2024·四川遂寧·中考真題）在等邊△ABC三邊上分別取點D、E、F，使得AD=BE=CF，連結三點得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE如圖①當ADAB=如圖②當ADAB=如圖③當ADAB=……直接寫出，當ADAB=11025．（2024·安徽·模擬預測）觀察下列圖形，并根據圖形規律解決問題觀察圖②，我們把第1、第2、第3,、……、第n個圖形中反“L”型陰影部分面積分別記為S1、S2、S3、…、Sn，可得：S1=1=1(1)由圖①直接寫出1+2+3+?+n=___________，由圖②直接寫出Sn=(2)通過圖②可以發現：第1個圖形可得等式：13第2個圖形可得等式：13第3個圖形可得等式：13…第n個圖形可得等式：13+(3)根據以上結論計算：23題型08通過觀察已知等式，猜想第n個代數式26．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：3,5；7,10；13,17；21,26；31,37…如果單把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發現其中的規律．請寫出第n個數對：．

27．（2023·浙江·中考真題）觀察下面的等式：32-12=8×1，52-(1)嘗試：132-(2)歸納：2n+12-2n-12=8×___________(3)推理：運用所學知識，推理說明你歸納的結論是正確的．28．（2022·安徽·中考真題）觀察以下等式：第1個等式：2×1+12第2個等式：2×2+12第3個等式：2×3+12第4個等式：2×4+12……按照以上規律．解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．29．（2024·安徽宿州·三模）觀察下列圖形與等式的關系：第1個圖→2第2個圖→3第3個圖→4第4個圖→5……根據圖形及等式的關系，解決下列問題：(1)第5個圖中空白部分小正方形的個數是______，第6個圖中空白部分小正方形的個數滿足的算式：______；(2)用含n的等式表示第n個圖中空白部分小正方形的個數反映的規律：______；(3)運用上述規律計算：20242題型09圖形固定累加型30．（2023·重慶·中考真題）用圓圈按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數為（

）

A．14 B．20 C．23 D．2631．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規律所組成的圖形，第1個圖有4個三角形．第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形……按照此規律排列下去，第674個圖中三角形的個數是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．202532．（2023·山西·中考真題）如圖是一組有規律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成．第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，…依此規律，第n個圖案中有個白色圓片（用含n的代數式表示）

33．（2023·湖北十堰·中考真題）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形，第②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形，……，若按此規律拼下去，則第n個圖案需要火柴棍的根數為（用含n的式子表示）．

題型10圖形遞變累加型34．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規律拼正方形．第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規律，第六幅圖中正方形的個數為（

）A．90 B．91 C．92 D．9335．（2022·山東濟寧·中考真題）如圖，用相同的圓點按照一定的規律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規律，第一百幅圖中圓點的個數是（

）A．297 B．301 C．303 D．40036．（2024·西藏·中考真題）如圖是由若干個大小相同的“”組成的一組有規律的圖案，其中第1個圖案用了2個“”，第2個圖案用了6個“”，第3個圖案用了12個“”，第4個圖案用了20個“”，……，依照此規律，第n個圖案中“”的個數為（用含n的代數式表示）．37．（2024·安徽合肥·二模）若干個“△”和“★”按照一定規律排列成下列圖形．(1)按照上圖所示規律，圖4中有______個“△”，圖5中有______個“★”；(2)設圖n中有x個“△”，y個“★”，試求y與x之間的數量關系．38．（2023·安徽·中考真題）【觀察思考】【規律發現】請用含n的式子填空：(1)第n個圖案中“”的個數為；(2)第1個圖案中“★”的個數可表示為1×22，第2個圖案中“★”的個數可表示為2×32，第3個圖案中“★”的個數可表示為3×42，第4個圖案中“★”的個數可表示為4×52，……，第n個圖案中“★【規律應用】(3)結合圖案中“★”的排列方式及上述規律，求正整數n，使得連續的正整數之和1+2+3+?+n等于第n個圖案中“”的個數的2倍．題型11分區域累加型39．（2024·河北唐山·模擬預測）嘉嘉利用便利貼拼成一個寶塔形圖案，寶塔形圖案共有10層，每一層由三列的便利貼拼成，前3層如圖所示．若同一層中每一列皆比前一列多2張，且每一層第一列皆比前一層第一列多2張，則此寶塔形圖案是由（

）張便利貼拼成的．A．354 B．360 C．384 D．39040．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規律擺成的“小屋子”．按照此規律繼續擺下去，第個“小屋子”中圖形“○”個數是圖形“●”個數的3倍．41．（2024·安徽·模擬預測）下列圖形都是有同樣大小的小圓圈按一定規律所組成的，其中第①個圖形中一共有4個小圓圈，第②個圖形中一共有10個小圓圈，第③個圖形中一共有19個小圓圈，…，按此規律排列下去，第⑦個圖形中小圓圈的個數為．42．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，圖案1中“☆”的個數為1×2，“★”的個數為2×32，圖案2中“☆”的個數為2×3，“★”的個數為3×42，圖案3中“☆”的個數為3×4，“★”的個數為4×52(1)圖案5中“☆”的個數為；(2)圖案n中，“★”的個數為；（用含n的式子表示）(3)根據圖案中“☆”和“★”的排列方式及規律，若圖案n中“★”的個數是“☆”的個數的23，求n題型12圖形循環規律43．（2021百色市模擬）正方形紙板ABCD在數軸上的位置如圖所示，點A,D對應的數分別為1和0，若正方形紙板ABCD繞著頂點順時針方向在數軸上連續翻轉，則在數軸上與2020對應的點是（

）A．A B．B C．C D．D44．（2023·浙江衢州·模擬預測）根據圖中箭頭的指向規律，從2022到2023再到2024，箭頭的方向是以下圖示中的（

）A． B． C． D．45．（2024貴州市模擬）如圖，物體從A點出發，按照A→B（第一步）→C（第二步）→D→A→E→F→G→A→B……的順序循環運動，則第2023步到達（

）A．A點 B．C點 C．G點 D．F點46．（2022·海南省直轄縣級單位·二模）如圖，正方形ABCD邊長為1，動點P從A開始沿正方形的邊按A→B→C→D→A逆時針方向循環運動，當它的運動路程為2022時，點P所在位置為點．題型13圖形類規律47．（2022·山東聊城·中考真題）如圖，線段AB=2，以AB為直徑畫半圓，圓心為A1，以AA1為直徑畫半圓①；取A1B的中點A2，以A1A2為直徑畫半圓②；取A2B的中點48．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，∠AOB=60°，點P1在射線OA上，且OP1=1，過點P1作P1K1⊥OA交射線OB于K1，在射線OA上截取P1P2，使P1P2=P1K49．（2021·貴州黔西·中考真題）如圖，在RtΔOAB中，∠AOB=90°，OA=OB，AB=1，作正方形A1B1C1D1，使頂點A1，B1分別在OA，OB上，邊C1D1在AB上；類似地，在Rt△OA1B150．（2020·遼寧·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點E，使AE=DA，連接EB，點F1是CD的中點，連接EF1，BF1，得到ΔEF1B；點F2是CF1的中點，連接EF2，BF2，得到ΔEF2B；點F3是C

類型二平面直角坐標系中的規律問題(旋轉、平移、翻滾、漸變等)【命題預測】該題型主要以選擇、填空的形式出現，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規律得到一般的規律(如點變的循環規律或點運動的循環規律，點的橫、縱坐標的變化規律等)。主要考查對點的坐標變化規律，一般我們需要結合所給圖形，找到點或圖形的變化規律或者周期性，最后利用正確運用數的運算求解。這類問題體現了“特殊與一般”的數學思想方法，解答時往往體現“探索、歸納、猜想”等思維特點，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求。題型01沿坐標運動的點的規律51．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知A11,-3，A23,-3，A34,0，A46,0，A57,52．（2024·河南南陽·三模）如圖，點A11,1，點A1向上平移1個單位，再向右平移2個單位，得到點A2；點A2向上平移2個單位，再向右平移4個單位，得到點A3；點A3向上平移4個單位，再向右平移8個單位，得到點A4；A．2100-1,2C．2100-1,253．（2024·甘肅酒泉·三模）如圖，動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點-1，1，第2次接著運動到點-2，0，第3次接著運動到點-3，2，…，按這樣的運動規律，經過第

54．（2024·山東泰安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數點，其順序按圖中“→”方向排列，如0,1，-1,2，0,2，1,2，2,3，1,3，0,3，……，根據這個規律探索可得第2024個點的坐標是．題型02繞原點呈“回”字形運動的點的規律55．（2023·山東日照·中考真題）數學家高斯推動了數學科學的發展，被數學界譽為“數學王子”，據傳，他在計算1+2+3+4+?+100時，用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到1+2+3+4+?+100=100×(1+100)2．人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+?+n=n(1+n)2（n是正整數）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點Aixi,yi，其中i=1,2,3,?,n,?，且xi,y

A．a2023=40 B．a2024=43 C．56．（2024·山東聊城·三模）如圖是從原點開始的通道寬度為1的回形圖，OA=1，反比例函數y=1x與該回形圖的交點依次記為B1、B2、B3、……57．（2021·山東濰坊·中考真題）在直角坐標系中，點A1從原點出發，沿如圖所示的方向運動，到達位置的坐標依次為：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到達終點An（506，﹣505），則n的值為．58．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，四邊形OABC1是正方形，曲線C1C2C3C4C5?叫作“正方形的漸開線”，其中C1C2，C2C3，C3C

A．(-1，-2022) B．(-2023，1) C．題型03圖形變換的點的規律59．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，在直角坐標系中，每個網格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A

A．31.34 B．31,-34 C．32,35 D．32,060．（2023·湖南懷化·中考真題）在平面直角坐標系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標為1,0．把△AOB按如圖所示的方式放置，并將△AOB進行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉60°，同時邊長擴大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉將△A1OB1繞著原點O順時針旋轉60°，同時邊長擴大為△A1OB1，邊長的2

61．（2024河口區模擬）如圖，在單位為1的方格紙上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，?，都是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，62．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標系中，點O的坐標為(0，0)，點B的坐標為(1，0)，點C在第一象限，∠OBC=120°．將△OBC沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點O的對應點為O'，點C的對應點為C'，OC與O'C'的交點為A1，稱點A1為第一個“花朵”的花心，點A2為第二個“花朵”的花心；63．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OMNP頂點M的坐標為3,0，△OAB是等邊三角形，點B坐標是1,0，△OAB在正方形OMNP內部緊靠正方形OMNP的邊（方向為O→M→N→P→O→M→?）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應點記為A1，A1的坐標是2,0；第二次滾動后，A1的對應點記為A2，A2的坐標是2,0；第三次滾動后，A2的對應點記為A3，A3的坐標是64．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）如圖，把Rt△OAB置于平面直角坐標系中，點A的坐標為(0,4)，點B的坐標為(3,0)，將Rt△OAB沿x軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合．點P是Rt△OAB兩銳角平分線的交點，第一次滾動后得到對應點為P1；第二次滾動后得到對應點為P2；……題型04坐標軸與直線相結合類規律65．（2023·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=3x-3與x軸交于點A1，以OA1為邊作正方形A1B1C1O點C1在y軸上，延長C1B1交直線l于點A2，以C

66．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，OA=OB=4，連接AB，過點O作OA1⊥AB于點A1，過點A1作A1B1⊥x軸于點B1；過點B1作B1A2⊥AB于點A2，過點A2作A2B2⊥x軸于點

67．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線l:y=33x-33與x軸相交于點A1，以OA1為邊作等邊三角形OA1B1，點B1在第一象限內，過點B1作x軸的平行線與直線l交于點A2，與y軸交于點C1，以68．（2023·山東煙臺·模擬預測）在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為1,0，點D的坐標為0,2，延長CB交x軸于點A1，做第1個正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A

A．5×324046 B．5×942003【專項訓練】1．（2024·江蘇徐州·中考真題）觀察下列各數：3、8、18、38、…，按此規律，第5～7個數可能為（

）A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、3182．（2024·江蘇揚州·中考真題）1202年數學家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數：1，1，2，3，5，……，這一列數滿足：從第三個數開始，每一個數都等于它的前兩個數之和．則在這一列數的前2024個數中，奇數的個數為（

）A．676 B．674 C．1348 D．13503．（2024·重慶南岸·模擬預測）按照如圖所示的方法鋪設黑、白兩色的小正方形地磚，第1個圖案中有1塊黑色小正方形地磚，第2個圖案中有5塊黑色小正方形地磚，第3個圖案中有13塊黑色小正方形地磚，…，則第7個圖案中黑色小正方形地磚的塊數是（

）A．25塊 B．61塊 C．85塊 D．113塊4．如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數為a1，第2幅圖形中“●”的個數為a2，第3幅圖形中“●”的個數為a3，…，以此類推，那么1

A．2021 B．6184 C．5898405．（2024·山東威海·一模）如圖，將一張邊長為1的正方形紙片分割成7部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推，則S陰影=1-12-A．1-122023 B．1-1220246．（2024·山東濰坊·中考真題）將連續的正整數排成如圖所示的數表．記ai,j為數表中第i行第j列位置的數字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若a7．（2024·山西·模擬預測）榫卯被稱為“巧奪天工”的中國古典智慧，是中國傳統木藝的靈魂．下圖結構為固定榫槽的連接結構，