大理州2025屆高中畢業(yè)生第二次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)（全卷四個(gè)大題，共19個(gè)小題，共4頁(yè)；滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)，考場(chǎng)號(hào)，座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合交集的概念求解即可.【詳解】因，，所以，故選：A2.在中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)由，可得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】在中，，由，可得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.已知向量和的夾角為，且，，則（）A.3 B. C. D.13【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式和運(yùn)算律求解即可.【詳解】由題意可得，故選：A4.若圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓錐的特征先計(jì)算底面圓半徑，面積，周長(zhǎng)，結(jié)合圓錐的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知該圓錐母線2，高為；底面圓半徑為1，則其周長(zhǎng)為，面積為，所以該圓錐的側(cè)面積為，表面積為.故選：B5.某地區(qū)組織了一次高三全體學(xué)生的模擬考試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，已知數(shù)學(xué)成績(jī)高于115分的人數(shù)與低于75分的人數(shù)相同，那么估計(jì)本次考試的數(shù)學(xué)平均分為（）A.85 B.90 C.95 D.100【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求解即可.【詳解】由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，數(shù)學(xué)成績(jī)高于115分的人數(shù)與低于75分的人數(shù)相同，所以，故選：C6.已知等差數(shù)列中，，且公差，則其前項(xiàng)和取得最小值時(shí)的值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和下標(biāo)和的性質(zhì)求解即可.詳解】，且公差，所以，，所以，則，，所以等差數(shù)列中，前10項(xiàng)為負(fù)數(shù)，后面都為正數(shù)，所以前項(xiàng)和取得最小值時(shí)的值為10，故選：C7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，若的面積的取值范圍為，則的值為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線和圓上的點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】圓的圓心到直線的距離為，所以，記點(diǎn)到直線的距離為，則的面積，所以，又圓心到直線的距離為，所以，又，所以，故選：B8.已知，是定義域?yàn)楹瘮?shù)，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，滿足，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，的奇偶性聯(lián)立方程組得，則根據(jù)題意可得成立，構(gòu)造，按的不同取值分類討論在的單調(diào)性即可.【詳解】由題意可得，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，所以，聯(lián)立，解得，又對(duì)任意的，都有成立，所以，所以成立，構(gòu)造，則，所以在上單調(diào)遞增，①若，則對(duì)稱軸，解得；②若，則在單調(diào)遞增，滿足題意；③若，則對(duì)稱軸恒成立；綜上，,故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】由角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AC10.某校學(xué)生在研究折紙?jiān)囼?yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)對(duì)折后紙張達(dá)到一定的厚度時(shí)，便不能繼續(xù)對(duì)折了.在理想情況下，對(duì)折次數(shù)與紙的長(zhǎng)邊長(zhǎng)和厚度滿足：.根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法正確的是（參考數(shù)值：）（）A.當(dāng)對(duì)折6次時(shí)，的最小值為B.當(dāng)對(duì)折6次時(shí)，的最小值為C.一張長(zhǎng)邊長(zhǎng)為20cm，厚度為0.05cm的矩形紙最多能對(duì)折5次D.一張長(zhǎng)邊長(zhǎng)為20cm，厚度為0.05cm的矩形紙最多能對(duì)折7次【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題目所給公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】令，由題意可得，即，解得，所以當(dāng)對(duì)折6次時(shí)，的最小值為，故B正確，A錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，，所以該矩形紙最多能對(duì)折5次，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC11.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，焦點(diǎn)為，.下列判斷正確的是（）A.的方程為B.的離心率為C.若點(diǎn)為的上支上的任意一點(diǎn)，，則的最小值為D.若點(diǎn)為的上支上一點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的半徑為【答案】ABD【解析】【分析】利用雙曲線的幾何性質(zhì)、漸近線方程和離心率公式判斷AB，利用雙曲線的定義判斷C，利用三角形等面積法判斷D.【詳解】對(duì)于A，由可得，其漸近線的方程為，則，所以的方程為，故A正確；對(duì)于B，易知，，即，所以離心率為，故B正確；對(duì)于C，如圖所示：根據(jù)雙曲線定義可得，所以，又，，因此，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，滿足題意，此時(shí)的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若點(diǎn)為的上支上一點(diǎn)，則，如圖所示：由可得，，又，因此的周長(zhǎng)為，易知的面積為，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，半徑為，易知，即，解得，故D正確，故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法法則和模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，則，故答案為：513.小王參加抽獎(jiǎng)游戲，現(xiàn)有3個(gè)箱子，里面裝著大小、形狀完全一樣的卡片，3個(gè)箱子里分別有8張、10張、12張，若每箱中有2張中獎(jiǎng)卡片，則隨機(jī)選擇一個(gè)箱子抽取，中獎(jiǎng)的概率是______.【答案】【解析】【分析】利用古典概型的概率公式和全概率公式求解即可.【詳解】記事件{在第個(gè)箱子中抽獎(jiǎng)，}，事件{中獎(jiǎng)}，則由題意可得，，，由全概率公式可得，故答案為：14.若是的極值點(diǎn)，則______；在上的最小值是______.【答案】①.1②.【解析】【分析】利用極值點(diǎn)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】由可得，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)，，令得，令得或，所以在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又因?yàn)椋栽诘淖钚≈禐椋蚀鸢笧椋海凰摹⒔獯痤}：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.為了解消費(fèi)者購(gòu)買新能源汽車意向與年齡是否具有相關(guān)性，某汽車公司通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查對(duì)200名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查.數(shù)據(jù)顯示，200人中中老年人共有75人，且中老年中愿意購(gòu)買新能源車的人數(shù)是愿意購(gòu)買燃油車的2倍；青年中愿意購(gòu)買新能源車的人數(shù)是愿意購(gòu)買燃油車的4倍.年齡段購(gòu)車意向合計(jì)愿意購(gòu)買新能源車愿意購(gòu)買燃油車青年中老年合計(jì)（1）完善列聯(lián)表，請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析消費(fèi)者對(duì)新能源車和燃油車的意向購(gòu)買與年齡是否有關(guān)；（2）采用分層隨機(jī)抽樣從愿意購(gòu)買新能源車的消費(fèi)者中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中青年人數(shù)的分布列和期望.附：，.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關(guān)（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）由題意補(bǔ)全列聯(lián)表，然后利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理求解卡方判斷即可；（2）利用超幾何分布計(jì)算概率，得到離散型隨機(jī)變量的分布列，求解數(shù)學(xué)期望即可.【小問(wèn)1詳解】中老年共有75人，且愿意購(gòu)買新能源車的人數(shù)是愿意購(gòu)買燃油車的2倍，所以愿意購(gòu)買新能源車的中老年人數(shù)為50人，愿意購(gòu)買燃油車的中老年人數(shù)為25人，青年共有125人，愿意購(gòu)買新能源車是愿意購(gòu)買燃油車的4倍，所以青年中愿意購(gòu)買新能源車為100人，愿意購(gòu)買燃油車為25人.故列聯(lián)表如下：年齡段購(gòu)車意向合計(jì)愿意購(gòu)買新能源車愿意購(gòu)買燃油車青年10025125中老年502575合計(jì)15050200零假設(shè)：消費(fèi)者購(gòu)買新能源車和燃油車的意向與年齡無(wú)關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為消費(fèi)者購(gòu)買新能源車和燃油車的意向與年齡有關(guān)；【小問(wèn)2詳解】愿意購(gòu)買新能源車的共有150人，青年人與中老年人的比例為，所以分層隨機(jī)抽樣抽取的6人中4人是青年人，2人是中老年人，則的可能取值為0，1，2，則，，.所以的分布列如下：012則，所以這5人中青年人數(shù)的期望為.16.在中，角所對(duì)的邊分別為.若，且邊上的中線長(zhǎng)為.（1）求的大小；（2）求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)余弦的二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，再利用正弦定理邊化角即可求解；（2）設(shè)，，，先利用平面向量的加法法則和數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再根據(jù)基本不等式和三角形的面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由可得，因?yàn)樵谥校裕烧叶ɡ砜傻茫驗(yàn)椋裕裕矗郑裕?【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，，根據(jù)題意，，又，所以，化簡(jiǎn)得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.面積的最大值為.17.如圖，四棱錐中，，，，平面.（1）若平面，證明：平面.（2）若，，二面角的正切值為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知，由平面，得到，可得，，即可得到平面；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸，過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用坐標(biāo)運(yùn)算分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，由二面角的正切值，求得二面角的余弦值，再利用坐標(biāo)運(yùn)算即可求得，進(jìn)而求得三棱錐的體積.【小問(wèn)1詳解】平面，面，，又平面，平面，平面平面，，又，，又，平面平面.【小問(wèn)2詳解】底面，，底面，，.又，，，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸，過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以即令，則，，則；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即令，則，，則.二面角的正切值為，二面角為銳角，二面角的余弦值為，解得，所以..18.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處切線方程；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：，.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）對(duì)定義域內(nèi)，都有恒成立，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可；（3）利用（2）中結(jié)論可得恒成立，將中的替換為，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式證明即可.【小問(wèn)1詳解】若，則，，，所以切線斜率，所以切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】若對(duì)定義域內(nèi)，都有恒成立，即恒成立，只需即可，設(shè)，，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】由（2）得當(dāng)時(shí)，恒成立，即，將中的替換為，顯然，則，故，即.故.19.已知點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于軸對(duì)稱，再過(guò)作斜率為的直線交與另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于軸對(duì)稱，以此類推一直做下去，設(shè).（1）求的值；（2）求數(shù)列通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍；（3）求的面積.【答案】（1）（2），（3）16【解析】【分析】（1）將代入拋物線方程即可求解；（2）由點(diǎn)在拋物線上，可得，且，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立可得出，根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可；（3）求出直線的方程，可求出，并求出點(diǎn)到直線的距離，然后利用三角形的面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，解得.【小