什么是邏輯推理

數學的視角

Logicalreasoning

frommathematicalperspective

崔民初編

2020年7月

XuchangCityEducationSupervisionOffice

目錄

第一部分：邏輯學基礎知識........................................................1

第一章為什么要學習邏輯學.......................................................1

一、華為創新與香農公式......................................................1

二、邏輯學與“錢學森之問”..................................................7

三、邏輯學與科學研究方法...................................................10

四、邏輯學與學校教育.......................................................14

第二章邏輯學與數學的關系......................................................17

一、歷史上著名的邏輯學家兼為數學家........................................17

二、邏輯學與數學的關系.....................................................19

1.邏輯學和數學發展互相促進、互為工具.................................20

2.邏輯思維能力是數學思維能力的核心..................................22

三、邏輯學與中小學生數學學習...............................................23

第三章數學家的視角一一什么是邏輯學？.........................................29

一、邏輯推理是三大數學基本思想之一........................................29

二、數學的定義.............................................................31

1.名義定義............................................................32

2.實質定義............................................................35

三、數學的命題.............................................................37

1.性質命題............................................................38

2.關系命題............................................................40

四、數學的推理.............................................................42

1.什么樣的推理是有邏輯的？...........................................42

2.邏輯推理的思維基礎.................................................47

五、演繹推理：驗證數學結論的方法..........................................50

1.經典三段論..........................................................51

①全稱肯定型.......................................................51

②全稱否定型.......................................................53

③特稱肯定型.......................................................53

④特稱否定型.......................................................54

2.反證法..............................................................55

3.數學歸納法..........................................................56

六、歸納推理(I)：基于一個集合得到數學結論的方法.......................58

1.歸納的基礎是得到集合................................................59

2.結論可能是必然的歸納................................................62

2.結論已知是或然的歸納................................................67

七、歸納推理(II)：基于兩個集合得到數學結論的方法——類比推理...........68

1.結論可能是必然的類比................................................69

2.結論已知是或然的類比................................................74

第四章培養學生的創新精神和實踐能力............................................77

一、歸納推理和演繹推理并重.................................................77

二、發現真理的主要工具是歸納和類比........................................78

三、如何培養中小學生的歸納推理能力........................................79

1

1.讓學生體驗學習過程口...............................................79

2.善用歸納和類比，培養學生通過條件預測結果以及根據結論探究成因的意識和能

力..............................................................................86

3.把對思維方式的反思作為數學學習的終點..............................87

4.引導學生通過觀察和實驗感知數學知識。..............................88

第五章義務教育數學課程標準關于邏輯推理.......................................90

一、義務教育數學課程的性質與理念..........................................90

二、義務教育數學學習總目標對培養學生邏輯思維能力的要求...................91

三、義務教育數學課程標準關于邏輯推理的內容................................91

四、推理能力的發展應貫穿于義務教育整個數學學習過程中.....................91

五、義務教育數學教材編寫應體現整體性和過程性..............................92

六、在義務教育數學教學過程中，要處理好合情推理與演繹推理的關系...........93

第六章普通高中數學課程標準關于邏輯推理.......................................94

一、普通高中數學課程的性質與目標..........................................94

二、普通高中數學六大核心素養之------邏輯推理能力.........................95

三、邏輯推理水平的劃分.....................................................98

1.數學學科核心素養邏輯推理水平一（畢業會考）........................98

2.數學學科核心素養邏輯推理水平二（高考）............................99

3.數學學科核心素養邏輯推理水平三（自主招生）........................99

四、在普通高中數學標準中有關邏輯學的課程內容.............................100

1.普通高中必修課程中的邏輯學內容....................................100

①集合............................................................101

②常用邏輯用語....................................................101

③概率............................................................102

④統計............................................................102

2.普通高中選擇性必修課程中的邏輯學內容.............................102

3.普通高中選修課程中的邏輯學內容...................................103

①選修課A類課程..................................................104

②選修課B類課程..................................................104

③選修課C類課程..................................................105

五、高中數學課程標準教學與評價建議.......................................106

1.教學建議.........................................................106

①教學目標制定要突出數學學科核心素養.............................108

②情境創設和問題設計要有利于發展數學學科核心素養................108

③整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展......109

④既要重視教，更要重視學，促進學生學會學習......................109

2.學業水平考試與高考命題建議........................................110

①命題原則........................................................110

②考試命題路徑....................................................111

3.教師實施課程標準應注意的幾個問題.................................111

①以教師專業標準的理念為指導，提升自身的專業水平................112

②數學教師要努力提升通識素養.....................................112

③數學教師要努力提升數學專業素養.................................112

④數學教師要努力提升數學教育理論素養.............................113

2

⑤數學教師要努力提升教學實踐能力113

3

第一部分：邏輯學基礎知識

第一章為什么要學習邏輯學

一、華為創新與香農公式

2018年4月以來，中美貿易戰開打，美國制裁中興、華為.面對

美國制裁，為何中興無還手之力，而華為卻能頂住制裁不至于束手無

策？我們對比一下美國制裁中興和華為后的結果：2018年4月16H,

美國商務部發布公告稱，美國政府在未來7年內禁止中興通訊向美國

企業購買敏感產品，這就是制裁中興的開始.而最后的結果是中興再

次繳納10億美元罰金，并改組董事會.為什么有個再次呢？其實早在

2017年3月，中興就因被控違反美國的制裁，同意接受處罰，支付

1L9億美元的罰款，又來一次，中興簡直成了美國政府的搖錢樹.讓

很多國人憤慨的是，除了交納巨額罰款外，美國還向中興派駐執行小

組，監督中興更換董事會和管理層，以后更是監控公司日常運營，這

對任何一家企業來說都是莫大的恥辱.

2019年5月，美國又對華為下手了，但這一次的結果卻與中興

事件完全不同，華為扛住了.美國不允許美企向華為出售配件，華為

創始人任正非表示沒有美國配件也可以.美國要給華為三個月的緩沖

期，任正非表示不需要，直接開始都可以.最后的結果是，美國政府

竟然一次次的自動延長緩沖期，目前已延長了三次.盡管也有斷供的

可能，但是華為有海思的各種芯片，還有能力自研手機操作系統.

面對美國制裁，中興束手無策，而華為卻能硬抗美國政府，兩家

公司為何有此截然不同的結果？

首要原因在于中興通訊創新能力不足，核心技術受制于人，在國

1

際前沿性科技創新領域原創性產品匱乏，貿易制裁導致中興通訊直接

休克，不得不接受美國罰款.而華為對創新人才的重視超過任何一家

中國企業，任正非給那些全球創新員工非常高的工資，通過算法理論

的創新，華為才很容易突破了3G、4G和5G技術.

這個突破是怎么來的？華為在全球各地都有研發中心，看全球基

礎研究中哪些東西可以變成技術。十幾年前他們發現了一個土耳其數

學家的一篇論文提到了一個新概念“極化碼(PolarCode)”，是一

種新算法。

極化碼的提出者是土耳其畢爾肯大學電氣工程系教授埃爾達

爾?阿里坎(ErdalArikan),通信技術專家，被稱為"PolarCode

之父”。2008年，ErdalArikan在國際信息論ISIT會議上首次提

出了信道極化(ChannelPolarization)的概念；2009年他在“IEEE

TransactiononInformationTheory”期刊上發表了一篇長達23頁

的論文，更加詳細地闡述了信道極化，正式提出了一種新的編碼方式,

名稱為極化碼(PolarCode)。

以往所有實用的編碼方法都未能達到香農于1948年所給出的信

道傳輸的容量極限(也稱為香農限)［，］o而極化碼(PolarCode)是

基于信道極化所給出的一種新的編碼方式，具有確定性的構造方法，

并且是已知的唯——種能夠被嚴格證明“達到”信道容量的信道編

碼方法。Polar碼被認為是第一種可以被理論證明逼近香濃信道容量

的編碼方案，解決了香農信息論領域塵封近60年的難題。從代數編

碼和概率編碼的角度來說，極化碼具備了兩者各自的特點⑵。極化碼

在編碼調制、有記憶信道、竊聽信道等方面的應用中展現了優異的性

[1]ShannonCE..AMathematicalTheoryofCommunication.BellSystemTechnical

Journal,[2020-03-29]

⑵伍株儀.5G信道編碼研究.[2020-03-29]

2

華為公司非常重視這種算法在通訊領域的重要意義，對該項目投

資長達十年之久，投入了幾十億美元的研發費用，把這篇論文的構想

變成專利，變成標準，再變成產品，變成基站，變成5G可以布局的

產業，變成5G全球電信聯盟的標準之一。

2018年7月26日，華為創始人任正非為5G極化碼（Polar碼）

發現者埃爾達爾?阿里坎教授頒發特別獎項，致敬其為通信事業發展

所作出的突出貢獻小。

而他的導師RobertGallagei'正是LDPC碼的提出者。LDPC碼是

高通主導的5G標準的信道長碼和短碼編碼方案。華為與高通的5G標

準爭奪戰實際上也就是LDPC碼與Polar碼的對決，是師傅Robert

Gallager與徒弟ErdalArikan之間的成果的較量。

⑴任正非頒獎Polar碼之父.人民網.深圳頻道.2018年07月27日.

http://sz.people,com.cn/GB/n2/2018/0727/c202846-31864526.html

3

RobertGallager

2016年11月18日,在美國內華達州里諾召開的3GPPRAN1#87

次會議上，確定PolarCode作為5GeMBB（增強移動寬帶）場景下

控制信道編碼方案。⑴在此次會議上，對于華為主導的數據短碼部分,

以及控制信道部分的兩個方案，聯想、摩托羅拉移動，以及華為、博

通、小米等企業都投了贊成票。最終由于Polar的權重不夠，華為在

數據信道短碼部分未通過，仍采用高通主導的LDPC短碼方案，但在

控制信道編碼部分華為獲得了勝利。

閨伍株儀.5G信道編碼研究.[2020-03-29]

4

更有意思的是，RobertGallager的老師，ErdalArikan教授的

師祖，就是鼎鼎大名的“信息論之父”香農。香農是20世紀最有影

響力的科學家之一，在通信領域，他屬于“牛頓”式的人物。香農生

前為人低調，極少露面，1985年他破例去英國參加一次學術會議，

當主持人念到香農的名字時，現場的科學家都瘋狂地擁到他身邊，排

隊等候他的簽名，可見香農在學術界的地位。他的成果奠定了現代通

信的理論基礎，香農也是數字電路、密碼學的奠基人。

ClaudeElwoodShannon（1916-2001）,1949年，香農在《噪

聲下的通信》提出了計算最大信息傳送速率C公式”：

C=Blog2（l+S/N）o式中：B是信道帶寬（赫茲），S是信道內所傳信

號的平均功率（瓦），N是信道內部的高斯噪聲功率（瓦）。該式即

為著名的香農公式。

香農同樣畢業于麻省理工學院，晚年一直擔任麻省理工學院的教

授。香農、RobertGallager＞到ErdalArikan都出自麻省理工學院,

5

三位科學家一脈相承，都為人類的通信事業作出了杰出的貢獻，堪稱

奇跡。

這也反映了美國在基礎研究領域的強大，推動現代信息通信理論

創新的幾大科學家都來自美國，美國在通信領域領先也就不意外了。

這次華為能在Polar碼上異軍突起，一方面是因為華為的實力和膽

識，另一方面也有運氣的成分。因為恰好ErdalArikan教授早在1987

年就回到了土耳其，而土耳其缺乏進行通信應用研究的人才，他的理

論并未受到西方國家應有的重視。Arikan教授也多次回到美國講解

他的Polar理論，但美國的通信企業反應平淡，高通等公司依然將主

要力量放在他老師Gallager的LDPC碼上。這讓華為抓住了機會，在

Polar碼上發力取得成功。

可以說，基礎研究是應用創新的源泉，也是培養一流科技人才的

重要渠道。創新能力強是華為公司面對美國制裁能夠勉強應對的技術

基礎.即便如此，令人遺憾之處的是，華為公司重金投資的這個通訊

技術創新人才是美國教育培養出來的.

中國人口基數大，數學天才眾多，但是在數學界有原始創新貢獻

的數學天才卻是鳳毛麟角。甚至有些少年數學天才，年紀輕輕已經遁

入佛門。中國奧數天才柳智宇，2006年在第32屆國際數學奧林匹克

循環賽上，柳智宇在奧數決賽中以滿分成績擊敗了德國數學天才舒爾

茨，奪得金牌。十多年后，二人的發展結果截然不同：舒爾茨不到

31歲時就拿到了菲爾茲獎，這個獎相當于數學領域的諾貝爾獎，含

金量相當的高。柳智宇奧數拿冠軍后，直接被保送進了北京大學數學

院，剛入校就加入了北大的禪學社和耕讀社。這個禪學社、耕讀社的

關注點在佛教，與邏輯學研究人的思維方法的學問大相徑庭，根本不

在一個頻道上。耕讀社的創始人是一位叫賢慶法師的僧人，他就在北

6

京龍泉寺出家。在2008年5月，柳智宇帶領社團成員去參觀龍泉寺。

說起這個龍泉市，那簡直讓很多求賢若渴的地方高校領導羨慕，寺內

禪興法師是清華大學流體力學博士，賢啟法師是清華大學核能和熱能

物理博士，賢威法師是中國科學院生物物理研究所博士，賢兆法師是

北京航空航天大學教授，賢慶法師是北京大學哲學系研究生。柳智宇

在寺里見到了賢慶法師，聊了很久。在臨近畢業之時，柳智宇已經申

請到了美國麻省理工學院全額獎學金。但令人意外的事情發生了，柳

智宇并沒有選擇去美國留學，而是到龍泉市出家。一個數學天才，就

這樣遠離了數學研究領域。這不僅是柳智宇個人的損失，也是中國高

科技人才的損失，更是需要中國文化和中國教育反思的一個現代版

《傷仲永》。同是頂級數學天才，一個獲得“數學諾貝爾”，一個卻

在北京當和尚。

實事求是的講，像華為這樣的高科技創新企業在中國并不是很多.

在某種意義上說，邏輯學研究的滯后，以及學校對大中小學生邏輯學

教育的不足，是我國原創性科學研究成果匱乏、企業創新能力不足的

根本原因之一.這不由得讓我們想起那著名的“李約瑟難題”和“錢

學森之問”.

二、邏輯學與“錢學森之問”

“李約瑟難題”，又稱“李約瑟之謎”，由英國學者李約瑟(Joseph

Needham,1900T995)博士提出.1944年2月，李約瑟在重慶舉辦的

中國農學會會議上做了題為《中國與西方的科學與農業》的演講，在

演講中提到：“事實上作為一個整體的近代科學沒有發生在中國，它

發生在西方一一歐美，即歐洲文明的廣大范圍內，這有什么原因呢？

我以為我們必須找出這個原因.”[1]1954年李約瑟在15卷《中國科學

111潘吉星.李約瑟文集[M]:遼寧科學技術出版社，1986:87.

7

技術史》中譯本第一章提出：“為什么現代科學，亦即經得起全世界

的考驗、并得到合理贊揚的伽利略、哈維、凡薩里烏斯、牛頓的傳統

——這一傳統肯定會成為統一的世界大家庭理論基礎一一是在地中

海和大西洋沿岸發展起來，而不是在中國或亞洲其它任何地方得到發

展呢？⑴”這個問題在1976年由美國經濟學家肯尼思?博爾丁稱之

為李約瑟難題.

“錢學森之問”與“李約瑟難題”一脈相承，都是對中國原創性

科學發展相對落后的深切關懷.2005年7月29日，溫家寶總理在解

放軍總醫院探望錢學森時，溫總理談了未來十五年科技工作指導方

針，錢老說：“我要補充一個教育問題，培養具有創新能力的人才的

問題”，“現在中國沒有完全發展起來，一個重要原因是沒有一所大

學能夠按照培養科學技術發明創造人才的模式去辦學，沒有自己獨特

的創新的東西，老是‘冒'不出杰出人才，這是很大的問題”.病榻

上的錢學森坦誠建言.“我們的教育還有些缺陷，”溫家寶坦率承認,

“全面培養人才，這個意見我將帶回去和有關部門研究.”⑵

a李約瑟.中國科學技術史（中文版）[M].北京：科學出版社，1975:43-44.

[2]李斌.親切的交談一一溫家寶探望季羨林、錢學森側記.人民日報2005.7.31.

參見：李斌.溫家寶在京看望季羨林和錢學森并親切交談.中華人民共和國中央人民政府網站

http:〃www.gov.cn/ldhd/2005_07/31/content18454.htm

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L

上圖為“錢學森之問”提出的場景：2005年7月29日，中共中央政治局常委、國務院

總理溫家寶在北京親切看望我國杰出的科學家、航天科學的奠基人之一的錢學森先生.新華

社記者劉建生攝

這就是著名的“錢學森之問”，是關于中國教育事業發展的一道

艱深命題，需要整個教育界乃至社會各界共同破解.

對“李約瑟難題”和“錢學森之問”，不同領域的專家學者在不

同的角度進行了回答，我們每個人也都會有自己的答案.對“李約瑟

難題”的各種解答中，尤其以愛因斯坦的回答流傳甚廣：“西方科學

的發展是以兩個偉大成就為基礎，那就是：希臘哲學家發明的形式邏

輯體系（在歐幾里德幾何中），以及通過系統的實驗發現有可能找出

的因果關系（在文藝復興時期）”⑴.這是現代科學之所以在西方產生

而沒有在中國出現的兩大根本原因.愛因斯坦所說的前者就是指演繹

能力，后者是指歸納能力.

中國古代在這兩方面處于缺失的狀態，所以，近現代科學不會在

中國產生.這種回答無論我們心理上是否能夠接受，我們仍需要承認,

[11《愛因斯坦文集》第一卷（M），許良英、范岱年編譯，北京：商務印書館，1976年版，第574頁.

9

這確實是國人思維中的兩項軟肋：一是不善使用或不常使用形式邏輯

的思維方式，重結果、重權威、崇尚古人、不重邏輯推演形式.二是

不習慣于通過實驗用數據找出事物之間的因果關系或相關關系，習慣

于陰陽五行八卦定性思維.實際上，沒有邏輯學就沒有科學，邏輯思

維能力是科學家的基本素養，比較和分類、歸納和演繹、分析和綜合、

證明和反駁，以及類比、公理化等等都是科學家在理論應用和創新中

常用的邏輯方法.

對此，楊振寧在《我的生平》中指出，“我很有幸能夠在兩個具

有不同文化背景的國度里學習和工作，我在中國學到了演繹能力（指

數學推理訓練），我在美國學到了歸納能力”.

實際上，愛因斯坦回答的這兩個方面可以歸結為一個問題：邏輯

思維.無論是形式邏輯還是通過實驗探求因果關系（相關關系），都

是屬于邏輯學的研究范疇.因此，從教育的角度來看，為了培養新時

代的科技創新人才，中小學校應該對學生傳授一點兒邏輯學基礎知

識，對學生進行基本的邏輯推理能力訓練.中小學生應該主動學習邏

輯學知識，鍛煉自己的邏輯推理能力，掌握一定的科學研究方法，為

把自己培養成為國家棟梁之才打下堅實的基礎.只有這樣，中國才能

成為科學創新之國，中國才能成長出來一大批擁有核心技術的世界一

流創新企業.

三'邏輯學與科學研究方法

科學研究方法最早可以溯源到亞里斯多德（Aristotle,384年

BC—322年BC）的演繹推理（三段論），亞里士多德在哲學上最大的

貢獻在于創立了形式邏輯這一重要分支學科，為后來科學研究方法的

產生與發展提供了邏輯學基礎.

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上圖為文藝復興三杰之一、意大利著名畫家拉斐爾經典名著《雅典學院》，現收藏于意

大利梵蒂岡博物館.該畫以古希臘哲學家柏拉圖舉辦雅典學院為題材，把代表著哲學、數學、

音樂、天文等不同學科領域的文化名人會聚一堂，以回憶歷史上的黃金時代.整幅畫氣勢恢

宏、場面宏大.畫中人物栩栩如生、活靈活現.中心人物是古希臘哲學家柏拉圖和亞里士多德,

從他們一上一下對立的手勢，似乎表達著亞里士多德的一句經典名言“吾愛吾師，吾更愛真

理”，明顯地表達了他們在思想上的原則分歧.

古希臘數學家歐幾里德(Euclid,325年BC—265年BC)是第一

個將亞里士多德三段論演繹推理用于構建實際知識體系的人.其傳世

之作《幾何原本》不僅在于建立了一種幾何學，而且在于首創了一種

科學方法，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學.比起歐幾里德幾

何學中的幾何知識而言，它所蘊含的方法論意義更為重大.這種方法

對后人產生的影響，甚至超過了幾何學本身，對于西方人的整個思維

方法都有極大的影響.

伽利略?伽利萊(GalileoGalilei,1564年—1642年)創物理

學實驗先河，成功地把實驗和數學論證相結合,開始采用真正的物理

學實驗方法，即“觀察一假設一檢驗一演繹推理一更大范圍檢驗”的

方法，來驗證科學假設.伽利略是這種科學研究方法的創立者和集大

成者，這也是今天自然科學的主要研究方法，具有里程碑的意義.后

11

來，這種以實驗為基礎的探求因果關系的科學研究方法又逐漸擴展到

化學、生物學、醫學、心理學、教育學、經濟學、社會學等領域.

現代邏輯學中最早進行因果關系研究的是英國邏輯學家大衛?休

謨和約翰?穆勒.作為懷疑論哲學家的大衛?休謨（DavidHume,1711

年一1776年）認為，雖然我們能觀察到一件事物伴隨著另一件事物

而來，我們并不能觀察到兩件事物之間的關聯，因此我們無從得知事

物之間的因果關系.休謨提出了"經常連結"（constantconjunction）

的概念，當我們看到某件事物總是“造成”另一事物時，我們所看到

的其實是一件事物總是與另一件事物“經常連結”.我們之所以把“經

常連結”相信為因果關系并非因為這個因果關系是事物的本質，而是

因為我們所養成的心理習慣和人性所造成的.歸納思考的原則在于假

設我們過去的行動可以做為未來行動的可靠指導，這樣的思考在基本

上是先驗的，我們不能以先驗的知識證明未來就會和過去一致.這就

是歷史有名的“休謨問題”，是對歸納結果合理性、可靠性的質疑，

又稱為“休謨質疑”.“休謨問題”的提出進一步推動了哲學上對歸

納推理和因果關系的研究.

世界上最偉大的邏輯學作品一一《邏輯體系：演繹與歸納》，是

英國哲學家、政治學家、心理學家、經濟學家約翰?穆勒（JohnStuart

Mill,1806年一1873年，或譯約翰?斯圖爾特?密爾）的經典之作，

全書共六卷，120萬字.第一卷論概念與命題，第二卷論演繹推理，

第三卷論歸納推理，第四卷論歸納法的輔助推演方法，第五卷論謬誤,

第六卷論倫理科學.該書出版于1843年，是一部帶總結性的歸納邏輯

學名著.約翰-穆勒在該書中討論歸納法的時候，提出了探求因果關

系的“求同法”、“求異法”、“共變法”和“剩余法”，后人又把

他討論過的“求同求異并用法”合稱“穆勒五法”，使歸納邏輯形成

12

了完整的體系，把古典歸納邏輯推向高峰.約翰?穆勒還采用概率的

方法來研究因果關系.

現代科學研究方法除了形式邏輯和探求因果關系外，在“穆勒五

法”歸納推理的基礎上，大量引入統計學和數學研究方法，對因果關

系或相關關系進行統計推斷和多元歸因分析.費希爾（Fisher）提出方

差分析和實驗設計三原則（對照、重復、隨機）.華人生物統計學家

李景均（1912—2003）于50年代在世界上第一個提出隨機雙盲對照

實驗.科克倫（ArchiebaldL.Cochrane,1909—1988）在二戰后提出了

循證醫學研究方法.現在已經發展到循證研究（Evidence-Based

Practise）和元分析（Meta-Analysis,即分析的分析）階段.

現代科學研究方法是建立在邏輯學基礎之上的，抑或本身就是邏

輯學的研究方法，主要是圍繞邏輯學和運用實驗探求因果關系的方法

展開的，離不開邏輯學的基礎知識.隨著定量分析的引入，邏輯學與

數學相結合，演繹與歸納相結合，理論研究與實證研究相結合，現代

科學研究方法開始真正發展成熟起來.統計學的發展又進一步推動了

邏輯學因果關系（或相關關系）的研究，完善了科學研究方法.

科學研究方法雖然是一個舶來品，但實際上，科學研究方法距離

我們并不遙遠，它不僅是高等學校、科研院所專業人員研究用的方法,

也是我們大中小學校學生探究問題的一種學習方法，甚至是在我們日

常生活中都能用得上一種處理問題的思維方法.遺憾的是，對于科學

研究方法類的知識，或者說是關于思維方法的知識，我們中小學校對

學生的相關引導相對較少，在我國中小學課程教學中也一直缺乏這種

邏輯學科學思維方法的訓練.

在某種意義上說，我們對邏輯學研究也沒有引起足夠重視.世界

上最偉大的邏輯學作品，約翰?穆勒的經典之作一一《邏輯體系：演

13

繹與歸納》，1903年由嚴復翻譯，金粟齋木刻出版了前2卷半，書

名為《穆勒名學》.直到2014年，郭武軍、楊航翻譯了新的版本，上

海交大出版社出版了前兩卷.中國目前只有這兩個版本，沒有中文全

譯本的《邏輯體系》一書.邏輯學中最重要的邏輯歸納法一一穆勒五

法也找不到權威的原文翻譯.這不得不令人感到遺憾，也說明我們對

邏輯學研究重視不夠.

自2001年以來，雖然中小學新課程改革一直倡導“自主、合作、

探究”，但對于如何進行探究性學習，大多數中小學教師說不清.如

果教師自己都沒有受過探究性學習（科學研究方法）的專門訓練，又

怎么可能指導學生進行探究性學習呢？

科學研究方法，是科學的思維方法，也是科學的生活方法.掌握

了科學研究方法，能使我們的專業性研究少走彎路，能使我們的日常

生活少受江湖騙術的蒙蔽，能使我們的學習（思維）方法更加科學，

能使我們面對各種實際困難作出的決策更加合理，能使我們抓住事物

主要矛盾，看清事物的內在邏輯真相，采取有效措施甚至獨辟蹊徑解

決問題.因此確有必要學習邏輯學，學習科學研究方法.

四、邏輯學與學校教育

根據聯合國教科文組織（1974年）的學科分類，基礎學科包括:

數學、邏輯學、天文學和天體物理學、地理科學和空間科學、物理學、

化學、生命科學。把邏輯學排在了第二位，其重要性僅次于數學。在

智力測驗、GRE、GMAT等國際性大學招生考試中，歐美等西方國家常

將進行邏輯思維能力訓練時七個方面的測試內容，即數學運算、概念

與定義判斷、邏輯判斷與推理、言語理解與表達、數字推理、類比推

理和圖形推理，作為重要的考試內容。國內的一些國際學校入學筆試,

14

對于低年級的學生，側重考察學生的英語能力和綜合能力，例如德威

國際學校，對于6年級的學生，會安排3小時的上機考試，包括英

語、數學和邏輯。

實際上，不但數學的學習研究離不開邏輯學，物理、化學、生物

等基礎學科以及在此基礎之上的所有自然科學的學習研究都離不開

邏輯學，社會科學的研究方法也離不開邏輯學。可以毫不夸張地說，

有沒有接受過邏輯學訓練，對于大中小學生學習自然科學知識影響很

大，對于科研工作者搞科學研究影響更大。

在科學假設提出的過程中離不開觀察、演繹與歸納推理，沒有演

繹與歸納就很難產生符合邏輯的問題假設。那么，如何提出符合邏輯

的問題假設？現代實驗（實證experiment）研究方法為什么要采用

統計學方法，背后的邏輯基礎是什么？中國為什么培養不出來世界一

流的科學家（即錢學森之問）？現代中國的原創性發明創造為什么相

對匱乏？中國中小學教學模式是否有利于學生創造力的培養？中小

學校理化生學科教學中動手實驗課程是否重要？這些問題都牽涉到

思維方式問題，而馬克思主義哲學教材一開始就告訴我們：哲學是關

于人類思維的科學，是指導自然科學和社會科學研究方法的科學。

因此從哲學層面，簡單回顧一下歸納和演繹思維方式的發展歷

史，有助于我們理解現代科學研究方法的哲學思維基礎。無論我們承

認不承認，歸納和演繹，在現代科學研究中是必須具備的思維品質。

無論我們承認不承認，在我們每一個人的日常生活中，我們都在有意

無意地使用歸納和演繹推理。只不過歸納法是一種非常容易得出錯誤

結論的思維方法，如何保證歸納思維的科學性、正確性、合理性，我

們非常有必要了解一下西方哲學發展過程中諸多流派的哲學家對這

15

一問題的長期的經久不衰的討論，這對于我們教育研究或是日常生活

都是非常有益的。因此，真正的教育工作者非常有必要學習和推廣邏

輯學，培養邏輯思維方法。

16

第二章邏輯學與數學的關系

邏輯推理能力是中小學數學課程標準六大核心素養之一，也是三

大基本數學思想之一，在中小學數學教學中，注重培養學生的邏輯推

理能力，不但是貫徹中小學課程標準的需要，也是保證學生能夠深刻

理解數學論證方法本質的需要.學好邏輯推理能力，有利于學生加深

對數學的理解和應用，也有利于提高學業考試成績.就目前的現狀來

看，大部分中小學校沒有重視培養學生的邏輯推理能力，甚至部分中

小學數學教師對邏輯學也沒有基本的認識，這對我們目前的中小學數

學教學是不利的.因此，確有必要在中小學數學教學中普及邏輯學基

礎知識.

一'歷史上著名的邏輯學家兼為數學家

邏輯學作為人們進行思維所必須運用的思維工具，是任何學

科都離不開的，它對提高人們的思維能力具有重要意義.從邏輯學

與數學的發展歷史來看：邏輯學是數學的思維工具，邏輯學的發展也

離不開數學的支撐.比如，演繹推理的最典型、最重要的應用，通常

存在于邏輯和數學證明中.亞里士多德(Aristotle,384年BC—322

年BC)把他的邏輯發現運用到科學理論上來，作為例證，他選擇了

數學學科，特別是幾何學.

古希臘數學家歐幾里德(Euclid,325年BC—265年BC)的經典

名著《幾何學原理》，是現代數學推理的典范，甚至是開源.它的演繹

推理是基于公理、定義和符號的,按照規定的法則進行命題的證明或

者公式的推導.從這個意義上來說,計算也是一種演繹的推理，因為計

17

算也是對符號在規定的法則下進行的一種推理.⑴歐幾里得《幾何學

原理》與其說是幾何學經典，倒不如說是邏輯學經典.事實上，歐幾

里德本人對幾何學的實際應用并不關心，他關心的是他的幾何體系內

在邏輯的嚴密性，作者本人也公開宣稱更關心的是幾何體系內在邏輯

的嚴密性.

英國物理學家艾薩克?牛頓(IsaacNewton,1643年一1727年)

1687年首次出版了他的物理學哲學著作《自然哲學的數學原理》.在

該書序言里，牛頓開宗明義地宣稱：“因此我在這本書中，也致力于

用數學來探討有關的哲學問題”.在這本書第一卷“論物體的運動”

里，牛頓闡述了物體運動的基礎理論，并嚴密地證明了在各種不同條

件的引力作用下物體運動的規律.也是在這部分，牛頓第一次正式公

布了他發明的微積分.牛頓用了若干個輔助定理說明極限的意義，導

出微積分方法(即流數術和反流數術).

英國哲學家大衛?休謨(DavidHume,1711—1776)在1739年

出版的《人性論》第一卷第三部分"ofknowledgeandprobability”

中闡述了休謨哲學的概率思想，對概率問題的思考在他的整個哲學思

想中扮演著十分重要的角色。他說：“如果一個骰子，四面有相同的

形象或點數，另兩面有另一種相同的形象或點數，則前者翻起的可然

性要比后者大”⑵。他通過對“已知”范圍內的界定和對因果關系的

梳理，將概率分為機會(chance)概率和原因(cause)概率，并認

為對機會概率的研究是為了引出對原因概率的探討.⑶

1848年，英國數學家及邏輯學家喬治?布爾(GeorgeBoole,

1815-1864)出版了《邏輯的數學分析，論演繹推理的演算法》.1854

年，他又出版了《思維規律的研究——邏輯與概率的數學理論基礎》.

111史寧中《數學課程標準》的若干思考.數學通報.2007(5).

121人類理解研究.休謨著.關文運譯.北京：商務印書館.1972().

⑶雷婿博.休謨哲學的概率思想研究加］.上海師范大學2014年碩士學位論文

18

布爾以這兩部著作建立了一門新的數學學科一一布爾代數(Boolean

algebra).布爾強調數學的本質不是探究對象的內容，而是研究其形

式，因而數學不必限于討論數和連續量的問題，可由符號表示的一切

事物都可納入數學領域.在布爾代數里，布爾構思出一個關于0和1

的代數系統，用基礎的邏輯符號系統描述物體和概念.這種代數不僅

廣泛用于概率和統計等領域，更重要的是，它為以后數字計算機開關

電路的設計提供了最重要的邏輯方法和數學方法.

阿蘭?麥席森?圖靈(AlanMathisonTuring,1912—1954),

英國著名的數學家和邏輯學家，被稱為計算機科學之父、人工智能之

父，是計算機邏輯的奠基者，提出了“圖靈機”和“圖靈測試”等重

要概念.說起阿蘭?圖靈這個人，在數學和邏輯學方面的研究成果是

開創性的，可以說，沒有他的“圖靈機”和“圖靈測試”理論，是不

可能出現后來的計算機技術的.1936年，阿蘭?圖靈發表《論數字計

算在決斷難題中的應用》.1943T945年曾協助英國軍方破解德國的

著名密碼系統“謎”(Enigma),幫助盟軍取得了二戰的勝利.1950年,

他提出關于機器思維的問題，發表論文“計算機和智能(Computing

machineryandintelligence)v,引起了廣泛的注意和深遠的影響.

同年，發表了另一篇論文''機器能思考嗎”，其中提出了一種用于判

定機器是否具有智能的試驗方法，即圖靈試驗.后人為紀念其在計算

機領域的卓越貢獻而設立“圖靈獎”.

二、邏輯學與數學的關系

邏輯(Logic)是人的一種抽象思維，是人通過概念、判斷、推

理、論證來理解和區分客觀世界的思維過程.

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Logic最早被清末的嚴復翻譯成中文“邏輯”，主要是音譯，后

由中國傳入日本，但在日語中則注明只是對Logic的注音，Logic在

日語中的正式漢語翻譯詞為“論理”.

邏輯學是研究思維的學科.所有思維都有內容和形式兩個方面.

思維內容是指思維所反映的對象及其屬性；思維形式是指用以反映對

象及其屬性的不同方式，即表達思維內容的不同方式.從邏輯學角度

看，抽象思維的三種基本形式是概念，命題和推理.⑴

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學.數學源于對現實世

界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，

理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律.⑵

黑格爾說：“一切科學都是應用邏輯.”列寧說：“任何科學都

是應用邏輯，數學更是這樣，從它產生的年代起，數學與邏輯知識就

是不可分的.”⑶

邏輯學和數學各有獨立的研究對象和研究方法，但二者之間存在

著密切的關系：

1.邏輯學和數學發展互相促進、互為工具

一方面，邏輯學為數學發展提供了基礎性思維工具.

從邏輯學對數學發展所起的作用來看：邏輯學是數學演繹證明與

回顧性總結（歸納）的主要工具；邏輯學是統一數學客觀性和主觀性

的主要方法；邏輯學是探索和發現數學新問題的手段之一.⑷

由于數學具有高度的抽象性特征，數學中每個公式、定理的正確

性無法由具體實驗和經驗來直接證明，必須從邏輯上加以嚴格推理才

111邏輯學基礎教程.彭漪漣.華東師范大學出版社.1999.

⑶普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）.人民教育出版社.2020（1）.

B1列寧全集[M].北京:人民出版社，1984.216.

⑷孫明符等.數學?邏輯與教育[M],高等教育出版社，1994.

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能被確認.⑴由于邏輯推理的規則是普遍有效的，在數學中運用邏輯

推理能夠保證數學結論的正確性，這樣就避免了僅僅依靠幾個特殊例

子來證明數學定理，保證了數學定理證明的嚴謹性和普適性.在推理

過程中，歸納推理有利于在數學研究中提出新的假設或猜想，而演繹

推理可以進一步證明這些假設或猜想的正確性，證明具有創造性的新

理論.因此，數學的發展依賴于邏輯學工具在數學中的具體運用.運用

邏輯的規則和方法是數學顯著的特點，體現出它結論的確定性和邏

輯的嚴謹性.在已經修訂的《普通高中數學課程標準》（2017版2020

年修訂）提出了6個數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、

直觀想象、數學運算和數據分析.⑵其中一個是邏輯推理.如果離開了

邏輯學，數學將成為一些經驗材料的堆砌，也不可能成為一門科學⑶

邏輯學的發展突破常常能給數學發展提供新的思考點，甚至可以

開辟一個新的研究領域.例如大衛?休謨在質疑“歸納問題”的同時,

提出了運用概率研究“歸納問題”的思想萌芽，這為以后概率論的研

究，并將概率論應用于其他學科研究（比如數理邏輯學、經濟學、社

會學、教育學等）開辟了一個新的領域.

另一方面，數學不僅是運算和推理的工具,還是表達和交流的語

言⑷.數學發展的新問題、新領域、新成果又反過來為邏輯學的研究

提供了新思路、新工具和新手段.

數學發展過程中出現的新問題，會對邏輯學提出新的要求和挑

戰，進而推動邏輯學研究的進步.數學發展開辟的新領域，也為邏輯

學研究提供了新的思路、工具和手段，豐富和發展了邏輯學理論.例

如，數學上統計推斷的研究反過來又進一步豐富和完善了邏輯學的歸

閨鄭麗娟.中學數學邏輯知識教學的調查研究[M].華東師范大學2007年碩士研究生學位論文.

121普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）.人民教育出版社.2020（4）.

⑶李景琴，《邏輯與中學數學教學的關系》，赤峰學院學報，2006年第3期.

141普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）.人民教育出版社.2020（1）.

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納推理或然性問題.數學與邏輯學的結合，產生了新的交叉學科-

數理邏輯學.

2.邏輯思維能力是數學思維能力的核心

什么是數學思維能力呢？用數學的觀點、方法和角度思考問題和

解決問題的能力總稱為數學思維能力，其核心是邏輯思維能力.

數學思維包括下面四層思維能力：

第一層：比較、猜想、轉化、歸類，分析和綜合.

這是學習數學的基本思維能力，應用范圍極為廣泛，貫穿整個數

學學習的始終.比較是找出事物之間的差異；猜想是建立在數字、圖

形或一定符號思維基礎之上的一種基于現有認識水平的合理假設，假

設是科學發現的重要步驟；轉化是將某類不易解決的問題轉化為在現

有認識水平下容易解決的問題，或者是換一種思維方法考慮問題；歸

類是根據事物的主要特征，進行抽象分類.分類的目的是為了加深理

解某類事物的一般特征；分析是指從條件出發，一步步得出結果的思

維過程；綜合是指從要解決的問題出發，往后倒推，看需要滿足什么

條件，再一步步推導到已知的思考過程.綜合往往含有逆向思維過程.

第二層：特殊到一般、一般到特殊、抽象化、模型化、概括化.

這是比第一層級更高一點的思維能力，也是第三層級的簡化，實

際上也是認知的一般規律.先從特殊的事物，概括出一般屬性，或抽

象提煉為一般性的模型，得出一般的特征.再從一般性屬性或特征出

發，推理出特殊事物應具有的一般性特征.也可以從一般的特性中去

尋找一些特殊性，進而全面地認知事物.

第三層：歸納推理、演繹推理和類比推理.

這個層級是數學的邏輯思維層面，也是建立在前兩個層級之上的

核心數學思維能力.到了這個層級，邏輯推理能力是思維的基礎.

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亞里斯多德提出的三段論思維方法，就是典型的演繹推理：大前

提+小前提推導出結論.也可以理解為理由+理由推導出結論.學生做

作業的過程，大多是一種數學課本上的一般原理、公理（大前提）在

特殊情境（小前提）下的應用過程，是一種演繹推理過程.

歸納推理就是：A1是B,A2是B,A3是B……，所以所有A都是

B.歸納推理主要是在認真觀察事物特性的基礎上，提出一個假設猜想

并進行驗證的過程.科學研究和學生探究性學習大多是運用歸納推理

的思維過程.

類比推理是指將兩個或兩類具有相同屬性的事物進行對比，找出

其他屬性可能相同的部分.類比推理的方法屬于邏輯思維分析的一

種，其推理結果的可靠性較低，但比較適合小學生的心理年齡特點.

他們從總體來說是以直覺感受為主的思維方法思考問題，其邏輯思維

能力較弱，數學老師可以讓小學生學習以形象思維方式為主的簡單類

比推理的.小學生學好類比推理的形象思維方式，能使其邏輯思維能

力和抽象思維能力都得到培養，綜合應用能力也能得到提高.

第四層：合乎邏輯的闡述思想和觀點，總結出事物的一般性規律

并應用于實踐.

到了這一層，就到了數學思維的最終目的和最高要求，能夠把數

學思維用自己的觀點清晰地表達出來，能歸納出事物的一般性、本質

性規律，并能遷移到其他實際場景中解決具體問題.

綜上所述，邏輯思維能力是數學思維能力的核心.邏輯學與數學

密切相關，二者之間互相影響，互相促進，互為工具.

三、邏輯學與中小學生數學學習

有人說：得語文者得天下，語文才是拉分王.教育部部編本中小

學語文教科書總編溫儒敏在2017年說：“高考語文每年有15%的學

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生做不完卷子，有15%做不完也正常”.其實不但是語文，如果我們

看看數學、物理、化學的高考試卷和中招試卷，做不完的何止有15%?

數理化考不好的學生，在中招時已經被提前淘汰了，中招考試總成績

達不到普通高中錄取分數線，就沒有上普通高中的機會，只能到中等

職業學校接受技能培訓，以后接受高等教育的機會相對來說是比較少

的.在普通高中學校，數理化成績好的，在高中學理科；數理化成績

一般的或者比較差的，在高中學文科.2020年河南省高考本科一批文

理科招生比例1:5.15,文科生被985、2n高校錄取的比例和概率輸

于理科生一大截.一般來說，數學成績好的學生，理化生成績（尤其

是物理成績）也相對較好，數學成績差的學生，理化生成績也會大概

率較差.這不是說在學習理化生的過程中有大量數學運算，而是數學

思維方式尤其是數學中的邏輯思維方式（邏輯推理能力）是通用的思

維方式，對于學習物理、化學、生物起著引導思維方向作用.拋開別

的暫且不說，如果單純從對考試總成績排名的影響來看，語文確實重

要，但數學更重要.在某種意義上來說，數學才是真正的拉分王，對

學生未來能否贏得高一級學校學習機會影響更大.

那么，中小學生怎么提高數學成績呢？有意識地培養和強化邏輯

推理能力是提高數學成績的途徑之一.

從某種意義上說，數學是學習思維的方法，是教人嚴密思維的科

學.數學學習是數學思維能力的訓練，邏輯思維能力是數學思維能力

的核心，更是個體創造力的基礎⑴，邏輯學知識在中小學數學教學中

具有舉足輕重的地位和作用.

義務教育數學課程標準明確要求學生能體會通過合情推理探索

數學結論，運用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數學活動中，

卬林崇德.教育與發展-----創新人才的心理學整合研究卬］.北京大學出版社，2004年12月第2版

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發展合情推理與演繹推理的能力.能獨立思考，體會數學的基本思想

和思維方式⑴.邏輯推理能力是高中數學課程標準的六大數學核心素

養之一，也是高考評價的重要考試內容.邏輯推理能力的培養，是數

學教學中的重要組成部分，它有利于學生進一步學習其他數學知識.