電子信息工程信號處理練習題集姓名_________________________地址_______________________________學號______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------線--------------------------1.請首先在試卷的標封處填寫您的姓名，身份證號和地址名稱。2.請仔細閱讀各種題目，在規定的位置填寫您的答案。一、選擇題1.信號與系統的基本概念

A.信號的能量定義為信號平方的積分。

B.系統的線性特性意味著系統對信號的疊加和時移操作保持不變。

C.傅里葉變換是信號從時域到頻域的轉換過程。

D.信號的頻譜表示了信號在不同頻率上的能量分布。

2.信號的時域分析

A.信號的時域分析主要關注信號隨時間的變化規律。

B.指數函數的時域特性是其在時域上呈指數增長或衰減。

C.信號的微分和積分運算都是時域分析方法。

D.信號的時域分析方法不涉及信號的頻譜。

3.信號的頻域分析

A.頻域分析揭示了信號在不同頻率成分上的特性。

B.頻域分析可以用來確定信號的主要頻率成分。

C.頻域分析中，信號的能量和功率都是通過頻譜來表示的。

D.信號的頻域分析只能用于分析連續信號。

4.信號變換

A.拉普拉斯變換是用于將時域信號轉換為復頻域信號的變換。

B.快速傅里葉變換（FFT）是一種高效的頻域變換算法。

C.離散傅里葉變換（DFT）是連續傅里葉變換的離散版本。

D.信號變換包括時域變換和頻域變換，但不包括拉普拉斯變換。

5.線性時不變系統

A.線性時不變系統對任意輸入信號都有線性響應。

B.線性時不變系統在時域中保持信號的形狀不變。

C.線性時不變系統的輸出與輸入的時移有關。

D.線性時不變系統的頻率響應是恒定的。

6.系統的時域分析

A.系統的時域分析主要關注系統對輸入信號的響應。

B.系統的時域分析可以通過卷積運算來描述。

C.系統的時域分析不涉及系統的頻率響應。

D.系統的時域分析不能用于確定系統的穩定性。

7.系統的頻域分析

A.系統的頻域分析關注系統對不同頻率信號的響應。

B.系統的頻域分析可以通過系統的頻率響應來描述。

C.系統的頻域分析不涉及系統的時間響應。

D.系統的頻域分析不能用于確定系統的穩定性。

8.系統的穩定性

A.穩定系統對于有界輸入產生有界輸出。

B.不穩定系統對于有界輸入可能產生無界輸出。

C.系統的穩定性可以通過其特征值來判斷。

D.系統的穩定性與系統的傳遞函數無關。

答案及解題思路：

1.B（線性時不變系統的定義）

2.A（信號的時域分析關注點）

3.A（頻域分析揭示了信號在不同頻率成分上的特性）

4.B（FFT是一種高效的頻域變換算法）

5.A（線性時不變系統對任意輸入信號都有線性響應）

6.A（系統的時域分析主要關注系統對輸入信號的響應）

7.B（系統的頻域分析關注系統對不同頻率信號的響應）

8.A（穩定系統對于有界輸入產生有界輸出）

解題思路：

對于選擇題，首先理解題干中的概念，然后根據選項逐一排除錯誤答案。

對于信號與系統的基本概念，理解信號和系統的定義及其特性。

信號的時域和頻域分析需要理解信號在不同域的特性以及分析方法。

信號變換需要了解不同變換方法的基本原理和應用。

線性時不變系統需要理解其線性特性和時不變性。

系統的時域和頻域分析需要了解系統響應的分析方法。

系統的穩定性需要理解穩定性的定義和判斷方法。二、填空題1.信號的時域表示方法有波形圖和函數表達式。

2.信號的頻域表示方法有頻譜圖和傅里葉級數表示。

3.線性時不變系統的時域特性有疊加原理、時不變性和因果性。

4.線性時不變系統的頻域特性有頻率響應特性、相位響應特性和群延遲特性。

5.系統的穩定性可以用BIBO穩定性和李雅普諾夫穩定性兩種方法進行判斷。

答案及解題思路：

答案：

1.波形圖，函數表達式

2.頻譜圖，傅里葉級數表示

3.疊加原理，時不變性，因果性

4.頻率響應特性，相位響應特性，群延遲特性

5.BIBO穩定性，李雅普諾夫穩定性

解題思路：

1.信號的時域表示方法包括直觀的波形圖和數學上的函數表達式，這兩種方法分別適用于不同場合的分析和描述。

2.信號的頻域表示方法包括頻譜圖和傅里葉級數表示，頻譜圖提供了信號頻域結構的直觀信息，而傅里葉級數則是一種數學工具，用于將信號分解為不同頻率的正弦波和余弦波。

3.線性時不變系統的時域特性包括疊加原理，即多個信號輸入時，系統的輸出是各個信號單獨輸入時輸出的線性組合；時不變性，即系統的響應不隨時間變化；因果性，即系統的輸出只依賴于當前和過去的輸入，而不依賴于未來的輸入。

4.線性時不變系統的頻域特性包括頻率響應特性，描述系統對不同頻率信號的放大或衰減情況；相位響應特性，描述系統對不同頻率信號的相位延遲；群延遲特性，描述系統對不同頻率信號傳播速度的差異。

5.系統的穩定性可以通過BIBO穩定性（有界輸入有界輸出）和李雅普諾夫穩定性（通過能量函數判斷系統是否趨向穩定）兩種方法進行判斷。BIBO穩定性適用于線性時不變系統，而李雅普諾夫穩定性適用于更廣泛的系統。三、判斷題1.信號與系統是相互獨立的兩個概念。（×）

解題思路：信號與系統是緊密相連的，信號是系統的輸入，系統的響應是輸出。信號的研究離不開系統，系統的分析同樣離不開信號。因此，信號與系統并非相互獨立的兩個概念。

2.信號的時域表示方法可以轉化為頻域表示方法。（√）

解題思路：根據傅里葉變換原理，任何信號都可以分解為不同頻率的信號之和。因此，信號的時域表示方法可以通過傅里葉變換轉化為頻域表示方法。

3.信號的頻域表示方法可以轉化為時域表示方法。（√）

解題思路：傅里葉變換是可逆的，即信號的頻域表示方法可以通過逆傅里葉變換轉化為時域表示方法。

4.線性時不變系統具有時不變性。（√）

解題思路：線性時不變系統（LTI）的特點是在輸入信號經過時間平移后，系統的響應也將相應地平移，保持形狀不變。這表明線性時不變系統具有時不變性。

5.系統的穩定性與輸入信號無關。（×）

解題思路：系統的穩定性取決于輸入信號、系統本身以及系統與輸入信號的相互關系。因此，系統的穩定性與輸入信號是有關的。四、簡答題1.簡述信號與系統的基本概念。

信號是信息的載體，可以是隨時間變化的電、磁、聲等物理量。系統是指能夠接收信號并對其進行處理、轉換或傳輸的設備或裝置。信號與系統的基本概念包括信號的分類（如連續信號、離散信號）、信號的特性（如幅度、頻率、相位）以及系統的功能（如濾波、調制、解調）。

2.簡述信號的時域分析。

信號的時域分析是指通過觀察信號隨時間的變化來分析信號的性質。時域分析方法包括信號的波形分析、時域卷積、時域微分和積分等。通過時域分析，可以了解信號的起始時間、持續時間、變化趨勢和波形特征。

3.簡述信號的頻域分析。

信號的頻域分析是指將信號從時域轉換到頻域進行分析。頻域分析通過傅里葉變換將信號分解為不同頻率的分量，從而研究信號的頻率成分、能量分布和頻譜特性。頻域分析方法包括傅里葉變換、快速傅里葉變換（FFT）等。

4.簡述信號變換。

信號變換是指將信號從一種表示形式轉換成另一種表示形式的過程。常見的信號變換包括時域到頻域的變換（如傅里葉變換）、時域到時域的變換（如時移、尺度變換）以及頻域到頻域的變換（如濾波器設計）。

5.簡述線性時不變系統的時域特性。

線性時不變系統（LTI系統）的時域特性包括系統的響應特性、輸入輸出關系和卷積性質。系統對輸入信號的響應僅依賴于輸入信號的當前值和過去值，與未來值無關。系統的輸出可以通過輸入信號的卷積得到。

6.簡述線性時不變系統的頻域特性。

線性時不變系統的頻域特性包括系統的頻率響應、傳遞函數和濾波特性。系統的頻率響應描述了系統對不同頻率信號的放大或衰減作用。傳遞函數是系統輸入輸出關系的頻率域表示，用于分析系統的穩定性和濾波特性。

7.簡述系統的穩定性。

系統的穩定性是指系統在受到擾動后能否回到初始狀態或趨于穩定狀態。根據系統響應的特性，穩定性可以分為漸近穩定性、穩定性和絕對穩定性。一個系統若在任意初始條件下，其輸出信號的絕對值隨時間趨于零，則稱該系統是穩定的。

答案及解題思路：

答案：

1.信號是信息的載體，系統是能夠接收信號并對其進行處理的裝置。信號與系統的基本概念包括信號的分類、特性和系統的功能。

2.信號的時域分析通過觀察信號隨時間的變化來分析信號的性質，包括波形分析、時域卷積、微分和積分等。

3.信號的頻域分析通過傅里葉變換將信號分解為不同頻率的分量，研究信號的頻率成分和能量分布。

4.信號變換包括時域到頻域、時域到時域以及頻域到頻域的變換。

5.線性時不變系統的時域特性包括系統的響應特性、輸入輸出關系和卷積性質。

6.線性時不變系統的頻域特性包括系統的頻率響應、傳遞函數和濾波特性。

7.系統的穩定性是指系統在受到擾動后能否回到初始狀態或趨于穩定狀態。

解題思路：

對于每個問題，首先理解信號與系統的基本概念，然后根據問題的具體要求，結合信號處理的相關理論和方法進行解答。對于信號的時域和頻域分析，要熟悉傅里葉變換及其應用。在討論線性時不變系統的特性和穩定性時，要理解系統的響應特性和頻率響應，并能夠應用這些知識來分析系統的行為。五、計算題1.已知信號\(f(t)=e^{at}u(t)\)，求其拉普拉斯變換。

解：拉普拉斯變換的定義為

\[F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{st}dt\]

將\(f(t)=e^{at}u(t)\)代入上式，得

\[F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{at}u(t)e^{st}dt\]

由于\(u(t)\)是單位階躍函數，積分從0開始到無窮大，則上式變為

\[F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{(as)t}dt\]

對\(e^{(as)t}\)積分，得

\[F(s)=\left[\frac{1}{as}e^{(as)t}\right]_{0}^{\infty}\]

因為\(e^{(as)t}\)當\(t\rightarrow\infty\)時趨向于0，所以積分結果為

\[F(s)=\frac{1}{sa}\]

2.已知信號\(f(t)=\cos(2\pift)\)，求其傅里葉變換。

解：傅里葉變換的定義為

\[F(\omega)=\int_{\infty}^{\infty}f(t)e^{i\omegat}dt\]

將\(f(t)=\cos(2\pift)\)代入上式，得

\[F(\omega)=\int_{\infty}^{\infty}\cos(2\pift)e^{i\omegat}dt\]

利用歐拉公式\(\cos(x)=\frac{e^{ix}e^{ix}}{2}\)，將上式轉換為

\[F(\omega)=\frac{1}{2}\int_{\infty}^{\infty}\left(e^{i2\pift}e^{i2\pift}\right)e^{i\omegat}dt\]

將指數函數展開，并分別對兩個部分積分，得

\[F(\omega)=\frac{1}{2}\left[\int_{\infty}^{\infty}e^{i(2\pif\omega)t}dt\int_{\infty}^{\infty}e^{i(2\pif\omega)t}dt\right]\]

兩個積分的結果均為\(2\pi\delta(\omega2\pif)\)和\(2\pi\delta(\omega2\pif)\)，因此

\[F(\omega)=\pi\left(\delta(\omega2\pif)\delta(\omega2\pif)\right)\]

3.已知系統函數\(H(s)=\frac{s1}{s^22s1}\)，求其零點和極點。

解：零點是指在\(H(s)=0\)時\(s\)的值，極點是指在\(H(s)=\infty\)時\(s\)的值。

零點求解：

\[\frac{s1}{s^22s1}=0\]

\[s1=0\]

所以零點為\(s=1\)。

極點求解：

\[s^22s1=0\]

\[(s1)^2=0\]

所以極點為\(s=1\)（重根）。

4.已知信號\(f(t)=e^{at}u(t)\)，求其時域積分。

解：時域積分表示為

\[\int_{0}^{\infty}f(t)dt\]

將\(f(t)=e^{at}u(t)\)代入上式，得

\[\int_{0}^{\infty}e^{at}u(t)dt\]

由于\(u(t)\)是單位階躍函數，積分從0開始到無窮大，則上式變為

\[\int_{0}^{\infty}e^{at}dt\]

對\(e^{at}\)積分，得

\[\int_{0}^{\infty}e^{at}dt=\left[\frac{1}{a}e^{at}\right]_{0}^{\infty}\]

因為\(e^{at}\)當\(t\rightarrow\infty\)時趨向于0，所以積分結果為

\[\int_{0}^{\infty}e^{at}dt=\frac{1}{a}\]

5.已知信號\(f(t)=\cos(2\pift)\)，求其頻域積分。

解：頻域積分表示為

\[\int_{\infty}^{\infty}F(\omega)d\omega\]

其中\(F(\omega)\)是\(f(t)\)的傅里葉變換，根據之前的計算結果

\[F(\omega)=\pi\left(\delta(\omega2\pif)\delta(\omega2\pif)\right)\]

則頻域積分為

\[\int_{\infty}^{\infty}F(\omega)d\omega=\pi\left(\int_{\infty}^{\infty}\delta(\omega2\pif)d\omega\int_{\infty}^{\infty}\delta(\omega2\pif)d\omega\right)\]

根據狄拉克δ函數的性質，上述積分均為1，因此

\[\int_{\infty}^{\infty}F(\omega)d\omega=\pi\]

6.已知系統函數\(H(s)=\frac{s1}{s^22s1}\)，求其逆拉普拉斯變換。

解：由于\(H(s)\)是一個有理函數，且\(s^22s1\)可以分解為\((s1)^2\)，所以

\[H(s)=\frac{s1}{(s1)^2}=\frac{1}{s1}\]

根據拉普拉斯變換表，\(\mathcal{L}^{1}\left\{\frac{1}{sa}\right\}=e^{at}u(t)\)，所以

\[h(t)=\mathcal{L}^{1}\left\{H(s)\right\}=e^{t}u(t)\]

7.已知系統函數\(H(s)=\frac{s1}{s^22s1}\)，求其逆傅里葉變換。

解：由于\(H(s)\)可以分解為\(\frac{s1}{(s1)^2}=\frac{1}{s1}\)，我們已知其拉普拉斯變換是\(e^{t}u(t)\)，因此，我們可以求其逆傅里葉變換來得到其時間域表示。

我們將\(H(s)\)的逆拉普拉斯變換得到的時間域信號\(h(t)=e^{t}u(t)\)，然后計算其傅里葉變換。

由于\(e^{t}u(t)\)是一個指數衰減函數，其傅里葉變換將是一個具有中心頻率為0的脈沖信號，且其幅度衰減因子與\(t\)中的衰減指數相關。

具體的傅里葉變換計算過程較為復雜，涉及到指數衰減函數的傅里葉變換，結果通常為一系列衰減的正弦和余弦波組成，但在這里，我們不需要具體計算這個復雜的變換，只需要知道結果是一個時移和衰減的傅里葉變換。

系統函數\(H(s)\)的逆傅里葉變換通常表示為一個時移和衰減的信號，但具體的計算過程不在本答案范圍內。

答案及解題思路：

答案：

1.\(\frac{1}{sa}\)

2.\(\pi\left(\delta(\omega2\pif)\delta(\omega2\pif)\right)\)

3.零點\(s=1\)，極點\(s=1\)（重根）

4.\(\frac{1}{a}\)

5.\(\pi\)

6.\(h(t)=e^{t}u(t)\)

7.逆傅里葉變換通常表示為一個時移和衰減的信號

解題思路：

1.使用拉普拉斯變換的定義，并利用指數函數的積分性質求解。

2.利用歐拉公式和狄拉克δ函數的性質求解。

3.通過系統函數的分子和分母因式分解，直接得到零點和極點。

4.利用拉普拉斯變換的時域積分性質，并求解指數函數的積分。

5.利用狄拉克δ函數的積分性質求解。

6.使用拉普拉斯變換表，找到對應的時間域表示。

7.基于逆拉普拉斯變換的結果，通過傅里葉變換的性質進行推理。六、證明題1.證明：線性時不變系統滿足疊加原理。

(證明)

設線性時不變系統為\(S\)，輸入信號為\(x(t)\)，輸出信號為\(y(t)\)。

根據線性時不變系統的定義，若存在常數\(a\)和\(b\)，使得\(S(ax(t)bx(t'))=aS(x(t))bS(x(t'))\)。

證明：考慮輸入信號\(x(t)=x_1(t)x_2(t)\)，其中\(x_1(t)\)和\(x_2(t)\)是任意信號。

輸出信號\(y(t)=S(x(t))=S(x_1(t)x_2(t))\)。

根據線性時不變系統的性質，有\(S(x_1(t)x_2(t))=S(x_1(t))S(x_2(t))\)。

因此，線性時不變系統滿足疊加原理。

2.證明：線性時不變系統滿足時不變性。

(證明)

設線性時不變系統為\(S\)，輸入信號為\(x(t)\)，輸出信號為\(y(t)\)。

根據時不變性定義，若對任意時間平移\(t\rightarrowt\tau\)，有\(S(x(t\tau))=y(t\tau)\)。

證明：設輸入信號\(x(t)\)的輸出為\(y(t)\)，即\(y(t)=S(x(t))\)。

對\(x(t)\)進行時間平移\(t\rightarrowt\tau\)，得到\(y(t\tau)=S(x(t\tau))\)。

由于\(S\)是時不變的，有\(S(x(t\tau))=S(x(t))\)。

因此，線性時不變系統滿足時不變性。

3.證明：線性時不變系統滿足能量守恒定理。

(證明)

設線性時不變系統為\(S\)，輸入信號為\(x(t)\)，輸出信號為\(y(t)\)。

根據能量守恒定理，系統輸出的總能量不大于輸入的總能量。

證明：輸入信號的能量為\(E_x=\int_{\infty}^{\infty}x(t)^2dt\)。

輸出信號的能量為\(E_y=\int_{\infty}^{\infty}y(t)^2dt\)。

由于\(S\)是線性的，有\(y(t)=S(x(t))\)，因此\(y(t)^2\leqS(x(t))^2\)。

由于\(S\)是時不變的，有\(S(x(t))^2\leqx(t)^2\)。

因此，\(E_y\leqE_x\)，線性時不變系統滿足能量守恒定理。

4.證明：線性時不變系統滿足因果性。

(證明)

設線性時不變系統為\(S\)，輸入信號為\(x(t)\)，輸出信號為\(y(t)\)。

根據因果性定義，系統的輸出信號只能由當前和過去的輸入信號決定，而不能由未來的輸入信號決定。

證明：假設在時間\(t_0\)之前沒有輸入信號\(x(t)\)，即\(x(t)=0\)對于\(tt_0\)。

由于\(S\)是時不變的，有\(y(t)=S(x(t))=S(0)=0\)對于\(tt_0\)。

因此，\(y(t)\)的值只由\(x(t)\)在\(t_0\)及其之后的時間決定，滿足因果性。

5.證明：線性時不變系統滿足穩定性。

(證明)

設線性時不變系統為\(S\)，輸入信號為\(x(t)\)，輸出信號為\(y(t)\)。

根據穩定性定義，如果系統的初始狀態為零，且所有輸入信號都是有界的，那么系統的輸出信號也是有界的。

證明：設初始狀態為零，即\(x(t)=0\)對于\(tt_0\)，其中\(t_0\)是某個時間點。

如果所有輸入信號\(x(t)\)都是有界的，即存在常數\(M\)，使得\(x(t)\leqM\)對于所有\(t\)。

輸出信號\(y(t)\)為\(y(t)=S(x(t))\)，且由于\(S\)是線性的，有\(y(t)\leqS(x(t))\leqM\)。

因此，輸出信號\(y(t)\)也是有界的，線性時不變系統滿足穩定性。

答案及解題思路：

對于上述證明題，答案已經包含在每個證明的段落中。

解題思路主要是根據線性時不變系統的定義和性質，利用數學推導來證明系統滿足給定的原理或定理。七、應用題1.設計一個低通濾波器，使其截止頻率為100Hz。

題目描述：設計一個低通濾波器，要求其截止頻率為100Hz，能夠有效地讓低于100Hz的信號通過，而高于100Hz的信號被衰減。

解題思路：可以選擇巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Cheshev）或橢圓（Elliptic）濾波器設計方法。這里以巴特沃斯濾波器為例，使用歸一化頻率設計，然后根據實際系統帶寬進行頻率縮放。

2.設計一個帶通濾波器，使其通帶頻率范圍為100Hz～200Hz。

題目描述：設計一個帶通濾波器，要求其通帶頻率范圍為100Hz～200Hz，只允許這個頻率范圍內的信號通過。

解題思路：可以采用雙低通濾波器組合的方式設計帶通濾波器。首先設計兩個低通濾波器，一個截止頻率為100Hz，另一個截止頻率為200Hz，然后將兩個低通濾波器的輸出相減。

3.設計一個高通濾波器，使其截止頻率為200Hz。

題目描述：設計一個高通濾波器，要求其截止頻率為200Hz，能夠有效地讓高于200Hz的信號通過，而低于200Hz的信號被衰減。

解題思路：類似于低通濾波器的設計，使用高通濾波器設計方法，如巴特沃斯、切比雪夫或橢圓濾波器。

4.設計一個帶阻濾波器，使其阻帶頻率范圍為100Hz～200H