山東省荷澤一中、單縣一中2024屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/(%)=欣一3+〃在141同上有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

-X

2.已知函數(shù)/*)=，7+工一2的零點(diǎn)為孫若存在實(shí)數(shù)〃使d一以一〃+3=()且〃區(qū)1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

77

A.[2,4]B.2,-C.-,3D.[2,3]

x

3.若xe[0,l]時(shí)，e-\2x-a\>0t則。的取值范圍為()

A.B.[2——2]C.[2—e,1]D.[21n2—2,1]

4.若函數(shù)f(x)=aRxr(a>0,a￥l)滿足則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-oo,2]B.[2,+oo)

C.[-2,+co)D.(-8,-2]

5.在中，角A、B、。所對(duì)的邊分別為叫b、c,若acosB—兒osA=$,貝1]匚三=()

42c2

3111

A.—B.—C.—D.—

2248

2

6.己知雙曲線C:/一表_=1(力>0)的一條漸近線方程為),=20%，氏,尼分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸

在雙曲線。上，且閥|=3,則朋|=()

A.9B.5C.2或9D.1或5

2

7.雙曲線工?y2=i的漸近線方程是()

4

A.xi2y=0B.2x±y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

8.在中，角所對(duì)的邊分別為已知C=號(hào)，c=l.當(dāng)變化時(shí)，若z=>+/la存在最大值,

則正數(shù)義的取值范圍為

A.（0,1）B.（0,2）C.（-,2）D.（1,3）

2

9.達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者

對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角AC處作圓弧的切線,

兩條切線交于3點(diǎn)，測得如下數(shù)據(jù)：A8=6C7%8C=6C"7,AC=10.392C7〃（其中立BO.866）根據(jù)測量得到的結(jié)

2

果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于（）

27

11.已知小心是雙曲線，白9。,。＞。）的左右焦點(diǎn),過點(diǎn)外與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另

一條漸近線于點(diǎn)若點(diǎn)M在以線段月用為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.（2,4oo）B.（73,2）C.（72,73）D.（1,夜）

4I

12.已知曲線y=+1（。＞0且。。1）過定點(diǎn)（攵,匕），若〃z+〃=〃且加則一+一的最小值為（）.

mn

95

A.-B.9C.5D.-

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在平面四邊形口皿］口中，卬口［=工|口口|=4'則（三+三）?（三+三）=---------

B

14.電影《厲害了，我的國》于2018年3月正式登陸全國院線，網(wǎng)友紛紛表示，看完電影熱血沸騰“我為我的國家驕

傲，我為我是中國人驕傲！”《厲害了，我的國》正在召喚我們每一個(gè)人，不忘初心，用奮斗書寫無悔人生，小明想約

甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了，我的國》，并把標(biāo)識(shí)為A氏的四張電影票放在編號(hào)分別為1,2,

3,4的四個(gè)不同的盒子里，讓四位好朋友進(jìn)行猜測:

甲說：第1個(gè)盒子里放的是8,第3個(gè)盒子里放的是。

乙說：第2個(gè)盒子里放的是8,第3個(gè)盒子里放的是。

丙說：第4個(gè)盒子里放的是。，第2個(gè)盒子里放的是。

丁說：第4個(gè)盒子里放的是A,第3個(gè)盒子里放的是。

小明說：“四位朋友你們都只說對(duì)了一半”

可以預(yù)測，第4個(gè)盒子里放的電影票為

15.已知過點(diǎn)。的直線與函數(shù)），=3、的圖象交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在線段。8上，過4作）'軸的平行線交函數(shù)=9,

的圖象干C點(diǎn).當(dāng)AC〃.丫軸，點(diǎn)4的橫坐標(biāo)是

16.若關(guān)于x的不等式㈤一22d"在［1,48）上恒成立，則"的最大值為_________.

1+lnx2m

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

221Q

17.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系rOy中，已知橢圓C：「+乜.=13>8>0）的離心率為二.且經(jīng)過點(diǎn)（1,二）,

A,〃分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過左焦點(diǎn)尸的直線，交橢圓。于O,E兩點(diǎn)（其中。在x軸上方）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若A4E尸與△尸的面積之比為1：7,求直線/的方程.

18.（12分）已知橢圓C:二十馬=1（。>〃>0）的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-行,（）），A,5分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，尸是橢

b~

圓上異于A,B的一點(diǎn),且現(xiàn),廢所在直線斜率之積為-!?

4

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點(diǎn)。（0,1）作兩條直線，分別交橢圓。于"，N兩點(diǎn)（異于。點(diǎn)）.當(dāng)直線QM,QN的斜率之和為定值fQfO）

時(shí)，直線MN是否恒過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理.

InV

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=——.

X

(1)求函數(shù)/(力的極值；

(II)若〃7>〃>0,且加,=nm，求證：〃>e~.

20.(12分)如圖為某大江的一段支流，岸線人與4近似滿足4〃4,寬度為7切?.圓。為江中的一個(gè)半徑為2k〃的

小島，小鎮(zhèn)A位于岸線，上，且滿足岸線OA=3/an,現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)4經(jīng)小島。至對(duì)岸《的水上

通道ABC(圖中粗線部分折線段，3在A右側(cè))，為保護(hù)小島，8c段設(shè)計(jì)成與圓O相切.設(shè)

/A8c=不一。(0<0<3

(1)試將通道A8C的長L表示成。的函數(shù)，并指出定義域；

(2)若建造通道的費(fèi)用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元?

21.(12分)設(shè)不等式一2<,一1|一卜+2|<0的解集為M,a,bjM.

(1)證明：8<!；

364

(2)比較|1-4聞與2,一母的大小，并說明理由.

22.(10分)已知矩形A3CQ中，AB=2BC=4,E,尸分別為46,CO的中點(diǎn).沿所將矩形折起，使

ZAE5=I35°,如圖所示.設(shè)尸、。分別為線段Db,8C的中點(diǎn)，連接產(chǎn)。.

(D求證：PQ〃平面DEB；

(2)求二面角4一5七一。的余弦值.

參考答案

一、選擇題：木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，分別求得函數(shù)/(X)的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.

【詳解】

vr(^)=-+4=三工

xxx

當(dāng)aN-1時(shí),r(x)“，/(x)在［10上單調(diào)遞增，不合題意.

當(dāng)a〈一c時(shí)，f\x)<0f/(x)在［10上單調(diào)遞減，也不合題意.

當(dāng)一6<"-1時(shí)，則RW［1,—4)時(shí)，/\x)<0,/(x)在［1,一。)上單調(diào)遞減，時(shí)，/z(x)>0,/(力在

(一〃,百上單調(diào)遞增，又/(1)=0,所以/(/)在大￡口目上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需/(e)=l—0即可，解得

e

1-e

綜上，。的取值范圍是白，一1.

Ll-e)

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題.

2、D

【解析】

易知f(x)單調(diào)遞增，由/(1)=0可得唯一零點(diǎn),77=1,通過已知可求得0W〃W2,則問題轉(zhuǎn)化為使方程

f—公—a+3=0在區(qū)間［0,2］上有解，化簡可得。=工+1++-2,借助對(duì)號(hào)函數(shù)即可解得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

易知函數(shù)/(X)=/T+X—2單調(diào)遞增且有惟一的零點(diǎn)為m=1,所以|1一〃區(qū)1,???04〃K2,問題轉(zhuǎn)化為：使方程

f—ca—4+3=0在區(qū)間［0,2］上有解，即〃=立0=父土121二亞!m3=工+1+，__2

在區(qū)間［0,2］上有解，而根據(jù)“對(duì)勾函數(shù)”可知函數(shù)y=X+1+9-2在區(qū)間［0,2］的值域?yàn)椋?,3］,,??2Wa43.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了方程有解問題，分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，考查了利用“對(duì)勾函數(shù)”求參數(shù)取值

范圍問題，難度較難.

【解析】

由題得2刀一夕WaW2x+e'對(duì)Vx￡［(),1］恒成立，令/(x)=2x-,g(x)=2x+ex,然后分別求出

g(￡L即可得。的取值范圍,

【詳解】

由題得2x-ex<a<2x+，對(duì)Exe［0,l］恒成立，

令/(x)=2x-e',g(x)=2x+ex,

???/'(x)=2-，在［0,1］單調(diào)遞減，且r(ln2)=0,

.-./(x)在(0,In2)上單調(diào)遞增，在(In2,1)上單調(diào)遞減，

/.6Z>/(x)ilttX=/(ln2)=21n2-2,

又g3=2x+e'在［0』單調(diào)遞增，."<g(x)*=g(O)=l,

的取值范圍為［21n2-2,l］.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了不等式恒成立問題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問題，可采用參變

量分離法去求解.

4、B

【解析】

由f(l)q得a2=^,

或a=q(舍)，

即f(x)=9.由于y=|2x?4|在(?8,2］上單調(diào)遞減，在|2,+功上單調(diào)遞增所以f(x)在(-8,2］上單調(diào)遞增，在|2,+oc)上單調(diào)遞減,

故選B.

5、D

【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.

【詳解】

1+c~-b~b~+c1—ci~c

由余弦定理得：a----------------h---------------=-,

lac2bc4

整理可得：a2-*4b2=—,

42c28

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考杳余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

根據(jù)漸近線方程求得〃，再利用雙曲線定義即可求得尸死.

【詳解】

由于2=2應(yīng)，所以8=2立，

a

又歸61Tp剛=2且|P周2c-a=2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查由漸近線方程求雙曲線方程，涉及雙曲線的定義，屬基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

2

試題分析：漸近線方程是工-y2=i,整理后就得到雙曲線的漸近線.

4

2

解:雙曲線工-y2=l

2

其漸近線方程是2-y2=i

4

整理得xi2y=l.

故選A.

點(diǎn)評(píng)；本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程.屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

因?yàn)镃=4，C=l，所以根據(jù)正弦定理可得一、=—W=——=一,所以。=下疝］4,b=-=sinBt所以

3sinAsinBsinCJ3＜3力

,】2.22.2,.°M“2.

z=。+Au=-f=sinBD+-^sinAx-—p=r|sinB+Asin(—o)l=-r|/(11)sin3D+

V3V3V33x/32

-^^cosB］=~^=^(1-y)2+sin(B+。)，其中tan。=，。＜B＜三,

因?yàn)閦=0+&/存在最大值，所以由8+0=2+2k7c,keZ,可得2質(zhì)+2＜。＜2々兀+：Z:wZ,

262

所以tan”＞且，所以也＞正，解得1v/l＜2,所以正數(shù)丸的取值范圍為(［，2),故選C.

32-2322

9、A

【解析】

由已知行8=8。=6,設(shè)NA4C=2g.可得sin8=工^=0.866.于是可得6,進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

解：依題意A3=BC=6,設(shè)NA3C=2。.

則sin6=^^=0.866H避.

72

：.9=-t20=—.

33

設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為

貝Ua+26=萬，

/.?=—.

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考有了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì)，考查了推理能力與“算能力，屬于中檔題.

10＞C

【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

【詳解】

22

由(1+i)Z=|3+4I|=73+4=5?

.55（1-/）55.

得彳而=（1+'）（1-）=5一并

??Z的虛部為一1.

2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

雙曲線￡-4=i的漸近線方程為尸±2、，

a~b-a

不妨設(shè)過點(diǎn)F.與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=-（x-c）,

a

與〉=-上h、聯(lián)立，可得交點(diǎn)M（c《，-b盧e），

a22a

??,點(diǎn)M在以線段FIFI為直徑的圓外，

2b2c2

.,.|OM|>|OFi|,即有一c+—->c',

44a2

；?乙>3,即l?>3al

er

Ac1-a^Sa1,即c>la.

則e=->L

a

???雙曲線離心率的取值范圍是（1,+8）.

故選：A.

點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,

c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的

坐標(biāo)的范圍等.

12、A

【解析】

41

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點(diǎn)，確定％=1/=2,再根據(jù)條件〃?+〃=2,利用基本不等式求一+一的最小值.

mn

【詳解】

定點(diǎn)為（1,2）,

:.k=l,b=2,

/.m+〃=2

41141、I"z4/29

—+—=—（—+—）（z77/+〃）=—（5+—+—）..—

mn2mn2nm2

當(dāng)且僅當(dāng)生=也時(shí)等號(hào)成立，

nm

429

即〃z=一,〃=一時(shí)取得最小值一.

332

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考杳指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、

【解析】

由題意得三三.與二王一,三+三=三十三弓然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】

由題意得三三?三=（三*三）.二5?三）=三-三

三+ZT=（三+（正535）==+三，

??售+今（三+王）=（zz-ZZ）.尹+三）=3T=三、""=-二

【點(diǎn)睛】

突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點(diǎn)，利用平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算，將所給向量統(tǒng)一用二三表

示，然后再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解，這樣解題方便快捷.

14、A或D

【解析】

分別假設(shè)每一個(gè)人一半是對(duì)的，然后分別進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】

解：假設(shè)甲說：第1個(gè)盒子里面放的是8是對(duì)的，

則乙說：第3個(gè)盒子里面放的是。是對(duì)的，

丙說：第2個(gè)盒子里面放的是C是對(duì)的，

丁說；第4個(gè)盒子里面放的是A是對(duì)的，

由此可知第4個(gè)盒子里面放的是A；

假設(shè)甲說：第3個(gè)盒子里面放的是。是對(duì)的，

則丙說：第4個(gè)盒子里面放的是。是府的，

乙說：第2個(gè)盒子里面放的是8是對(duì)的，

丁說：第3個(gè)盒子里面放的是。是對(duì)的，

由此可知第4個(gè)盒子里面放的是D.

故第4個(gè)盒子里面放的電影票為。或4.

故答案為：A或。

【點(diǎn)睛】

本題考查簡單的合情推理，考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力，屬于中檔題.

15、logs2

【解析】

通過設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，通過8C〃X軸，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，于是再利用=《小可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，可設(shè)點(diǎn)A（a,3“），則C（a,9"）,由于軸，故先=%=9"，代入），=33

可得乙=2。，即網(wǎng)2?9"），由于A在線段。8上，故k°A=kOB，即h=21,解得

a=log32.

1

16、-

e

【解析】

21

分類討論，機(jī)<0時(shí)不合題意；m>0時(shí)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到/（x）=_變一在片,xo）上的最小值，利

1+lnx2

用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值*22e"T,化簡得mNe"，構(gòu)造己放縮函數(shù)對(duì)自變量"再研究，可解，

em

【詳解】

ni

令/（幻=1；當(dāng)加<0時(shí)，f（\）=m<0<2e-f不合題意；

1+Inx

，/、/7tv(21nA：+l)

當(dāng)心。時(shí)'八步飛硒「

令/'(x)<。，得()<工</或/vxvA，

v、《?人、C-

所以/(-V)在區(qū)間(0,二)和上單調(diào)遞減?

因?yàn)?￡，且fM在區(qū)間(￡；+8)上單調(diào)遞增,

所以/*)在丫_/3處取極小值上，即最小值為

人一紇ee

若立制，/(幻之2-，則半N2ej即〃吐，.

當(dāng)〃<0時(shí)，—<0,當(dāng)〃>()時(shí)，則

mmen

/(〃>。)，貝!=

設(shè)g5)=

當(dāng)0<〃<1時(shí)，g'(〃)>0；當(dāng)〃>1時(shí)，g'(〃)<0,

所以g(〃)在(0,1)上單調(diào)遞增；在(L")上單調(diào)遞減，

所以g(〃)<g⑴，即匚4一，所以己的最大值為上.

eeine

故答案為：-

e

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式恒成立問題.

不等式恒成立問題的求解思路：已知不等式/。，/尸0(之為實(shí)參數(shù))對(duì)任意的不￡。恒成立，求參數(shù)4的取值范圍.利

用導(dǎo)數(shù)解決此類問題可以運(yùn)用分離參數(shù)法；如果無法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是

二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(。>0,4<0或〃<0,/〉0)求解.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

【解析】

(1)利用離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)建立方程組，求解即嘰

（2）把面積之比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可求.

【詳解】

19,

—H------7=]

不二4

a~4b,22

解：（1）設(shè)焦距為2c,由題意知：h2=a2-c2；解得〃=3,所以橢圓的方程為三+工=1.

,43

c1c=1

-=一

a2

由知：尸設(shè)/：。(*，力)，

(2)(1)(-1,0),x=my-lrE(x2,y2)fy2<0<

Iz、

s8(〃+c)y37

2T--------=2V=7=必=-$①,

%EF-(?-c)(-y2)f3

2

x=my-\,)

3U2=(3〃……吁9=。,

6m②；"2二高③:

A=144加+l)>0,y+y=

]23m2+4

-9m21m

由①②得：%=2(3〃/+4)''-2(3〃/+4)>0=>>0,

-189療-92164

代入③得:__________________—_____________〉~~____又/〃>0,故"?=.

4(3〃/+4尸3w2+49'

因此，直線，的方程為w

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問題，橢圓方程一般利用待定系數(shù)法，建立方程組進(jìn)行求解，面積問題

的合理轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

18、(1)—+y2=1（2）直線MV過定點(diǎn)

4-

【解析】

[人2]

（1）1^%=「=_==_二再由/=從+3,解方程組即可;

46r4

（2）設(shè)M（芭,y）,N（X2,>2）>由kQM+,得2代天+（〃?一。（再+占）=%與，由直線，MN的方程與橢圓

方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入計(jì)算即可.

【詳解】

b2?02?22

（1）由題意知：c=6又1^八%二一,且a-=Zr+u

a~24

解得。=2,b=l,

，橢圓方程為三+），2=1,

4-

（2）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=&+〃2,設(shè)N（i,），2），

)："：〃？，得(1+4欠2)/+8切氏+4〃-4=0.

由《

r+4y=4、7

-8km4/n2-4

則％十七=(*)

幣記'X|X2=TMF

由AQ.W+欠QN=

kx.m—\kx、4-722—1

得二-------十---------

X?

整理可得2代芯+（〃2-D（X]+爸）=%占

—掾一（…簿二，蹤

整理可得(〃—1)(2%-tm+t)=Of

又mw1

Ay=^+—-1,

(2、

即>+1=Rx+—,

It)

?,?直線過點(diǎn)

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為工=廝，A（Xo，Y），8（x。,%），其中必=一＞，

M=°，

yTjT」+必_2__2

由AQM+々QN=I，得---十--------------,,

與玉）玉）玉）

所以/=一q

f2}

，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN也過定點(diǎn)一-,-1

IiJ

綜上所述，直線A/N過定點(diǎn)

【點(diǎn)睛】

本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓位置關(guān)系中的定點(diǎn)問題，在處理直線與橢圓的位置關(guān)系的大題時(shí)，一般要

利用根與系數(shù)的關(guān)系來求解，本題是一道中檔題.

19、（I）極大值為：無極小值；（II）見解析.

e

【解析】

（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)/（x）的極值；（II）得到

/（〃?）=/（〃）,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明m>—>e,即證則令

nne~

6（力=冽門-2/+/lnx（l<x<e）,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

【詳解】

（I）f[X）=—.?./（X）的定義域?yàn)椋?,+8）且:（力=匕”

X

令/得0<x<e；令/得

??./（%）在（0,e）上單調(diào)遞增，在億包）上單調(diào)遞減

二?函數(shù)/（力的極大值為/（4=半='，無極小值

ee

（H）?.?6>〃>0,mn=n"':.n}nm=m]nn

.4=3即/㈣=小）

mn

由（I）知/（工）在（O,?）上單調(diào)遞增，在（e,+o。）上單調(diào)遞減

且則1<九<e<

要證如?>e2,即證加>U>e,即證即證

.Innn（2-\nn）

即Hn證x——<———-

ne~

由于1<n<et即即證/<2/？In”

令G(x)=/lnx-2x2+x2lnx(l<x<e)

z?2(p-A(e+x)(e—x)

貝!)G'(x)=——4x+2xlnx+x=——x+2x(lnx-l)=^————^+2x(lnx-1)

--\<x<e...G'(x)》()恒成立，G(x)在(1,e)遞增

.*.G(x)<G(e)=0在x￡(1,e)恒成立

mn>e2

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，考查運(yùn)算

求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，屬于難題.

9—3cos0(左、

20、(1)L(0)=―――,定義域是—.(2)6上百萬

sin0I2,

【解析】

(1)以A為原點(diǎn)，直線4為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=〃(〃>0),利用直線與圓相切得到

2_3cosa

。=一：八，再代入L=A3+BC這一關(guān)系中，即可得答案；

sin6/

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得答案；

【詳解】

以A為原點(diǎn)，直線人為工軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=a(a>0),則僅區(qū)0),0(0,3),l2:y=7.

因?yàn)?ABC=萬—0(0<0vg),

所以直線BC的方程為＞=tan0?(x-q),

即x?tan。一)一alan。=0,

\-3-atan9\.

因?yàn)閳A0與3C相切，所以/,=2,

Vl+tan^

nc3cos9+〃sine2,,___2-3cos6

即----------——=——從而得a二一

cost/cost/sin夕

77cos0

在直線BC的方程中，令y=7,得％=。+—-=^+——

tan0sin0

7cos07

所以BC=+tan*1%-xc\=,-9

cos。sin。sin。

79-3cos。

所以L=A3+3C=〃+

sin。sin，

227i

當(dāng)4=()時(shí)，cos6?=-,設(shè)銳角綜滿足cos4=§,則為＜6＜彳，

9—3cos6^7T

所以乙關(guān)于。的函數(shù)是〃。)=———,定義域是0g

sint/\L)

(2)要使建造此通道費(fèi)用最少，只要通道的長度即L最小.

3sin2夕一(9-3cos。)cos夕3-9cos。(

L\0)=4〈嗚)

sin20sin20、

令L'(8)=0,得cose=g,設(shè)銳角q,滿足cosq=g<|,得q三(優(yōu),').

列表:

3M)4Kf)

〃(。)—0