PAGEPAGE6第2講空間幾何體的表面積與體積[基礎達標]1．(2024·嘉興期中)某球的體積與表面積的數值相等，則球的半徑是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C.設球的半徑為r，則球的體積為eq\f(4,3)πr3，球的表面積為4πr2.因為球的體積與其表面積的數值相等，所以eq\f(4,3)πr3＝4πr2，解得r＝3.2．(2024·義烏模擬)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．12＋4eq\r(2) B．18＋8eq\r(2)C．28 D．20＋8eq\r(2)解析：選D.由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖．則該幾何體的表面積為S＝2×eq\f(1,2)×2×2＋4×2×2＋2eq\r(2)×4＝20＋8eq\r(2)，故選D.3．(2024·浙江高校招生選考試題)如圖(1)，把棱長為1的正方體沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如圖(2)所示幾何體，則該幾何體的體積為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(17,24)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,2)解析：選B.把棱長為1的正方體沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到幾何體的體積：V＝VABCD-A1B1C1D1－VA-A1B1D1－VB-A1B1C1＋VN-A1B1M＝1×1×1－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×1－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×1＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(\r(2),2)×\f(\r(2),2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(17,24).4．(2024·金華十校聯考)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為1的兩個等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為()A．eq\f(\r(3),2)π B．eq\f(\r(3),2)C．3π D．3解析：選A.由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長為1的正方體的外接球，其半徑為eq\f(\r(3),2)，故體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)π，故選A.5．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π解析：選A.該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A.6．(2024·臺州四校高三聯考)一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB上的動點，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF-BCE的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．不是定值，隨點M位置的改變而改變解析：選B.由三視圖可知多面體ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長均為a.因為M是AB上的動點，且易知AB∥平面DFEC，所以點M到平面DFEC的距離等于點B到平面DFEC的距離，為a，所以V1＝VE-FMC＝VM-EFC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a·a·a＝eq\f(a3,6)，又V2＝eq\f(1,2)a·a·a＝eq\f(a3,2)，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(a3,6),\f(a3,2))＝eq\f(1,3)，故選B.7.(2024·寧波市余姚中學期中檢測)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為________cm3，表面積為________cm2.解析：由三視圖可知：該幾何體是由一個半球去掉eq\f(1,4)后得到的幾何體．所以該幾何體的體積＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(π,2)cm3.表面積＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×4π×12＋eq\f(1,2)×π×12＋eq\f(3,4)×π×12＝eq\f(11π,4)cm2.答案：eq\f(π,2)eq\f(11π,4)8．(2024·瑞安市龍翔中學高三月考)一個正四棱錐的全部棱長均為2，其俯視圖如圖所示，則該正四棱錐的正視圖的面積為________，正四棱錐的體積為________．解析：由正四棱錐的俯視圖，可得到正四棱錐的直觀圖如圖，則該正四棱錐的正視圖為三角形PEF(E，F分別為AD，BC的中點)，因為正四棱錐的全部棱長均為2，所以PB＝PC＝2，EF＝AB＝2，PF＝eq\r(3)，所以PO＝eq\r(PF2－OF2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，所以該正四棱錐的正視圖的面積為eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)；正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×2×2×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3).答案：eq\r(2)eq\f(4\r(2),3)9．(2024·溫州市高考模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則此幾何體的體積為________，表面積為________．解析：依據三視圖可知幾何體是一個四棱錐，底面是一個邊長為2的正方形，PE⊥平面ABCD，且PE＝2，其中E、F分別是BC、AD的中點，連接EF、PA，所以幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)，在△PEB中，PB＝eq\r(PE2＋BE2)＝eq\r(5)，同理可得PC＝eq\r(5)，因為PE⊥平面ABCD，所以PE⊥CD，因為CD⊥BC，BC∩PE＝E，所以CD⊥平面PBC，則CD⊥PC，在△PCD中，PD＝eq\r(PC2＋DC2)＝eq\r(5＋4)＝3，同理可得PA＝3，則PF⊥AD，在△PDF中，PF＝eq\r(PD2－DF2)＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2)，所以此幾何體的表面積S＝2×2＋eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝6＋2eq\r(5)＋2eq\r(2).答案：eq\f(8,3)6＋2eq\r(5)＋2eq\r(2)10．已知球O的表面積為25π，長方體的八個頂點都在球O的球面上，則這個長方體的表面積的最大值等于________．解析：設球的半徑為R，則4πR2＝25π，所以R＝eq\f(5,2)，所以球的直徑為2R＝5，設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則長方體的表面積S＝2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)＝50.答案：5011.如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，求該多面體的體積．解：如圖，分別過點A、B作EF的垂線，垂足分別為G、H，連接DG、CH，簡單求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，所以S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，所以該多面體的體積V＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).12.如圖，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面(擔心裝上底面)．(1)當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結果精確到0.01平方米)；(2)若要制作一個如圖放置的、底面半徑為0.3米的燈籠，請作出用于制作燈籠的三視圖(作圖時，不需考慮骨架等因素)．解：(1)由題意可知矩形的高即圓柱的母線長為eq\f(9.6－8×2r,8)＝1.2－2r，所以塑料片面積S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)．所以當r＝0.4米時，S有最大值，約為1.51平方米．(2)若燈籠底面半徑為0.3米，則高為1.2－2×0.3＝0.6(米)．制作燈籠的三視圖如圖[實力提升]1．在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A．4π B．eq\f(9π,2)C．6π D．eq\f(32π,3)解析：選B.由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個側面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個球放不進去，則球可與上下底面相切，此時球的半徑R＝eq\f(3,2)，該球的體積最大，Vmax＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).2．(2024·瑞安市龍翔中學高三月考)如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，PA·AC＝1，∠ABC＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ≤\f(π,2)))，則四棱錐P-ABCD的體積V的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),6)，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),12)，\f(1,6)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),6)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),12)，\f(1,6)))解析：選A.由已知，四邊形ABCD的面積S＝sinθ，由余弦定理可求得AC＝eq\r(2－2cosθ)，所以PA＝eq\f(1,\r(2－2cosθ))，所以V＝eq\f(1,3)·eq\f(sinθ,\r(2－2cosθ))，所以V＝eq\f(\r(2),6)·eq\r(\f(sin2θ,1－cosθ))＝eq\f(\r(2),6)·eq\r(1＋cosθ).所以，當cosθ＝0，即θ＝eq\f(π,2)時，四棱錐P-ABCD的體積V的最小值是eq\f(\r(2),6)；當cosθ＝1，即θ＝0時，四棱錐P-ABCD的體積V的最大值是eq\f(1,3).因為0＜θ≤eq\f(π,2)，所以P-ABCD的體積V的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),6)，\f(1,3))).3．(2024·浙江名校協作體高三聯考)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是eq\r(3)cm3，則正視圖中的x的值是________cm，該幾何體的表面積是________cm2.解析：由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，其直觀圖如圖所示，由棱錐的體積公式得，eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\r(3)x＝eq\r(3)?x＝2，側面ADS，CDS，ABS為直角三角形，側面BCS是以BC為底的等腰三角形，所以該幾何體的表面積為S＝eq\f(1,2)[(1＋2)×eq\r(3)＋2×2＋eq\r(3)×2＋1×eq\r(7)＋2×eq\r(7)]＝eq\f(5\r(3)＋3\r(7)＋4,2).答案：2eq\f(5\r(3)＋3\r(7)＋4,2)4．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿意PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________．解析：由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，可得AC＝2eq\r(3)，要求四面體PBCD的體積，關鍵是找尋底面三角形BCD的面積S△BCD和點P到平面BCD的距離h.易知h≤2.設AD＝x，則DP＝x，DC＝2eq\r(3)－x，S△DBC＝eq\f(1,2)×(2eq\r(3)－x)×2×sin30°＝eq\f(2\r(3)－x,2)，其中x∈(0，2eq\r(3))，且h≤x，所以VP-BCD＝eq\f(1,3)×S△BCD×h＝eq\f(2\r(3)－x,6)×h≤eq\f(2\r(3)－x,6)·x≤eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)－x＋x,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，當且僅當2eq\r(3)－x＝x，即x＝eq\r(3)時取等號．故四面體PBCD的體積的最大值是eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．已知一個幾何體的三視圖如圖所示．(1)求此幾何體的表面積；(2)假如點P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P到Q點的最短路徑的長．解：(1)由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側面積、圓柱的側面積和圓柱的一個底面積之和．S圓錐側＝eq\f(1,2)(2πa)·(eq\r(2)a)＝eq\r(2)πa2，S圓柱側＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圓柱底＝πa2，所以S表＝eq\r(2)πa2＋4πa2＋πa2＝(eq\r(2)＋5)πa2.(2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側面，如圖．則PQ＝eq\r(AP