隨機過程試卷（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（10小題，每小題2分，共20分）1.馬爾可夫鏈中，狀態轉移概率矩陣的主對角線元素之和為1，這是因為（）。A.每個狀態的概率之和為1B.狀態轉移概率之和為1C.主對角線元素表示狀態自身轉移的概率D.馬爾可夫鏈的任意狀態都可以轉移到自身2.在隨機過程中，若X(n)表示第n次試驗的結果，則E[X(n)]表示的是（）。A.第n次試驗的期望值B.所有試驗結果的平均值C.第n次試驗的結果D.隨機過程的期望值3.對于一個離散時間隨機過程{Xn}，若E[Xn^2]有限，則稱該過程是（）。A.二階矩過程B.廣義平穩過程C.馬爾可夫過程D.獨立增量過程4.在布朗運動中，粒子的位移服從（）。A.正態分布B.二項分布C.泊松分布D.均勻分布5.設隨機過程{X(t),t≥0}是獨立增量過程，且X(0)=0，則對任意的0≤s<t，X(t)X(s)與X(s)（）。A.相互獨立B.不相互獨立C.必然相等D.必然不等6.在隨機過程理論中，"各態歷經性"是指（）。A.過程的每個狀態都以相同的概率出現B.過程的每個狀態都經歷一次C.過程的統計特性隨時間的平均與時間無關D.過程的統計特性隨時間的平均等于空間的平均7.對于一個隨機過程{X(t),t≥0}，若對任意的t1<t2<t3<<tn，隨機變量X(t1),X(t2)X(t1),,X(tn)X(tn1)相互獨立，則稱該過程為（）。A.獨立增量過程B.馬爾可夫過程C.平穩過程D.獨立同分布過程8.在隨機過程中，若{Xn}是獨立同分布的隨機變量序列，且每個Xn都有相同的分布函數F(x)，則稱{Xn}是（）。A.獨立增量過程B.馬爾可夫鏈C.平穩過程D.獨立同分布過程9.對于一個隨機過程{X(t),t≥0}，若對任意的t1<t2<t3<<tn，隨機變量X(t1),X(t2)X(t1),,X(tn)X(tn1)相互獨立，且每個增量都有相同的分布函數F(x)，則稱該過程為（）。A.獨立增量過程B.馬爾可夫過程C.平穩過程D.獨立同分布過程10.在隨機過程理論中，"遍歷性"是指（）。A.過程的每個狀態都以相同的概率出現B.過程的每個狀態都經歷一次C.過程的統計特性隨時間的平均與時間無關D.過程的統計特性隨時間的平均等于空間的平均二、填空題（5小題，每小題2分，共10分）11.馬爾可夫鏈中，狀態轉移概率矩陣的主對角線元素之和為1，這是因為每個狀態的概率之和為1。12.在隨機過程中，若X(n)表示第n次試驗的結果，則E[X(n)]表示的是第n次試驗的期望值。13.對于一個離散時間隨機過程{Xn}，若E[Xn^2]有限，則稱該過程是二階矩過程。14.在布朗運動中，粒子的位移服從正態分布。15.設隨機過程{X(t),t≥0}是獨立增量過程，且X(0)=0，則對任意的0≤s<t，X(t)X(s)與X(s)相互獨立。三、解答題（3小題，每小題10分，共30分）16.設隨機過程{X(t),t≥0}是獨立增量過程，且X(0)=0。證明：對任意的0≤s<t，X(t)X(s)與X(s)相互獨立四、計算題（3小題，每小題10分，共30分）17.設隨機過程X(t)=tZ，其中Z是標準正態隨機變量。計算E[X(t)]和Var[X(t)]。18.設隨機過程Y(t)=sin(ωt+θ)，其中ω是常數，θ是(0,2π)上均勻分布的隨機變量。計算E[Y(t)]和Cov[Y(s),Y(t)]。19.設隨機過程X(t)是布朗運動，Y(t)=exp(X(t))。計算E[Y(t)]。五、證明題（3小題，每小題10分，共30分）20.設隨機過程X(t)是獨立增量過程，且X(0)=0。證明：對任意的0≤s<t，X(t)X(s)與X(s)相互獨立。21.設隨機過程X(t)是布朗運動，Y(t)=exp(X(t))。證明：Y(t)是幾何布朗運動。22.設隨機過程X(t)是離散時間馬爾可夫鏈，狀態空間為{0,1,2,,N}。證明：X(t)的極限分布存在且唯一。六、應用題（3小題，每小題10分，共30分）23.設隨機過程X(t)是布朗運動，Y(t)=X(t)2。計算E[Y(t)]和Var[Y(t)]。24.設隨機過程X(t)是離散時間馬爾可夫鏈，狀態空間為{0,1,2,,N}。給定初始分布和狀態轉移概率矩陣，計算X(t)的分布。25.設隨機過程X(t)是獨立增量過程，且X(0)=0。給定X(t)的分布函數，計算E[X(t)]和Var[X(t)]。一、選擇題答案：1.C2.A3.B4.D5.A6.B7.C8.D9.A10.B二、判斷題答案：11.正確12.錯誤13.正確14.正確15.錯誤三、解答題答案：16.證明：由獨立增量過程的定義可知，對任意的0s<t，X(t)X(s)與X(s)相互獨立。又因為X(0)=0，所以X(t)X(s)與X(s)相互獨立。四、計算題答案：17.解：E[X(t)]=E[sin(tZ)]=sin(t)E[Z]=0，Var[X(t)]=E[sin2(tZ)](E[sin(tZ)])2=E[sin2(tZ)]=sin2(t)E[Z2]=t2/2。18.解：E[Y(t)]=E[exp(sZ)]=exp(E[sZ])=exp(0)=1，Cov[Y(s),Y(t)]=E[Y(s)Y(t)]E[Y(s)]E[Y(t)]=E[exp(sZ)exp(tZ)]E[exp(sZ)]E[exp(tZ)]=exp((s+t)2/2)exp(s2/2)exp(t2/2)。19.解：E[Y(t)]=E[exp(X(t))]=exp(E[X(t)]+Var[X(t)]/2)=exp(0+t2/2)。五、證明題答案：20.證明：由獨立增量過程的定義可知，對任意的0s<t，X(t)X(s)與X(s)相互獨立。又因為X(0)=0，所以X(t)X(s)與X(s)相互獨立。21.證明：由布朗運動的定義可知，X(t)是連續時間隨機過程，且具有獨立增量。又因為Y(t)=exp(X(t))，所以Y(t)是連續時間隨機過程，且具有獨立增量。因此，Y(t)是幾何布朗運動。22.證明：由離散時間馬爾可夫鏈的性質可知，極限分布存在且唯一。六、應用題答案：23.解：E[Y(t)]=E[X2(t)]=t，Var[Y(t)]=E[X4(t)](E[X2(t)])2=3t2t2=2t2。24.解：略。25.解：E[X(t)]=t，Var[X(t)]=t2。1.隨機過程的基本概念：隨機過程、離散時間隨機過程、連續時間隨機過程、馬爾可夫鏈、布朗運動等。2.隨機過程的性質：獨立增量、馬爾可夫性、平穩性等。3.隨機過程的統計特性：期望、方差、協方差等。4.隨機過程的應用：金融、物理、生物等領域的應用。各題型所考察學生的知識點詳解及示例：1.選擇題：考察學生對隨機過程基本概念的理解，如馬爾可夫鏈的狀態轉移概率矩陣、布朗運動的性質等。2.判斷題：考察學生對隨機過程性質的理解，如獨立增量過程的性質、馬爾可夫鏈的極限分布等。3.解答題：考察學生對隨機過程性質的應用能力，如證明獨立增量過程的性質、計算隨機過程的期望