《金融工程》 課件 第十三章 隨機積分與資產價格建模_第1頁
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第十三講隨機積分與資產價格建模1《金融工程》2

主要內容第一節布朗運動與伊藤(Ito)公式第二節幾何布朗運動34

知識目標了解Black-Scholes公式的數學理論基礎——隨機積分的相關知識，包括一元和二元伊藤公式的定義和應用，布朗運動和幾何布朗運動的定義、特征和在資產價格建模中的應用。5第一節布朗運動與伊藤(Ito)公式6引言1826年，英國植物學家布朗（RobertBrown）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉時發現，花粉的運動并不遵循某種規則的模式，而是呈現出一種永不停歇的無規則運動。后來，用布朗的名字來對這種無規則的運動進行命名，將其稱為布朗運動。數學家維納（NorbertWiener，1894-1964）首次給出了布朗運動這種隨機過程在數學上的嚴格定義，因此布朗運動又被稱為維納過程。7一、布朗運動

8二、伊藤積分

9（一）簡單函數的伊藤積分

10（一）簡單函數的伊藤積分的性質

11（三）一般函數的伊藤積分

12（四）一般被積函數的伊藤積分的性質

13三、伊藤過程

14三、伊藤過程

15三、伊藤過程

16四、伊藤引理

17第二節

幾何布朗運動18一、幾何布朗運動的定義

19二、幾何布朗運動的特性

20二、幾何布朗運動的特性

21三、幾何布朗運動的應用GBM被用來描述股票價格過程的原因只要初始值為正值，幾何布朗運動描述的資產價格都為正馬爾科夫性與有效市場的假設是相符的解析表達式為定價帶來了便利收益率序列滿足獨立增量性和平穩增量性，與我們假設股票日收益率獨立同分布是一致的GBM對金融資產價格的變動進行建模仍然存在以下缺點波動率是常數，不隨時間變化而變化資產價格的收益率服從正態分布，沒考慮尖峰厚尾特性標的資產的價格有時候也可能出現負值的情況22三、幾何布朗運動的應用例13.2

假設某支股票的價格服從幾何布朗運動，且該股票不存在任何形式的分紅和股息派發，如果該股票收益率的年化波動率為24%，預期收益率為18%，該股票在當前的價格為200元，求一個月后該股票價格變化值的概率分布。23三、幾何布朗運動的應用

24三、幾何布朗運動的應用例13.3我們假設某支股票的價格服從幾何布朗運動，不考慮股票支付紅利的情形，如果該股票的預期收益率為10%，年化波動率為15%，該股票在當前的價格為150元，求標的資產價格3個月后價格取值的95%置信區間。25三、幾何

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