甘肅省白銀市會寧縣2025屆3月高三押題測試卷（2）數學試題（理工農醫類）試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，其中是虛數單位，則對應的點的坐標為（）A． B． C． D．2．已知為拋物線的焦點，點在上，若直線與的另一個交點為，則()A． B． C． D．3．若的展開式中含有常數項，且的最小值為，則（）A． B． C． D．4．在等差數列中，若為前項和，，則的值是（）A．156 B．124 C．136 D．1805．設，且，則（）A． B． C． D．6．已知集合，，則集合的真子集的個數是（）A．8 B．7 C．4 D．37．已知條件，條件直線與直線平行，則是的()A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件8．的展開式中的常數項為()A．－60 B．240 C．－80 D．1809．閱讀下側程序框圖，為使輸出的數據為31，則①處應填的數字為A．4 B．5 C．6 D．710．若，，，點C在AB上，且，設，則的值為（）A． B． C． D．11．下列函數中，在區間上為減函數的是（）A． B． C． D．12．國務院發布《關于進一步調整優化結構、提高教育經費使用效益的意見》中提出，要優先落實教育投入．某研究機構統計了年至年國家財政性教育經費投入情況及其在中的占比數據，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯誤的是（）A．隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經費的支出持續增長B．年以來，國家財政性教育經費的支出占比例持續年保持在以上C．從年至年，中國的總值最少增加萬億D．從年到年，國家財政性教育經費的支出增長最多的年份是年二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中常數項是___________.14．已知，若的展開式中的系數比x的系數大30，則______．15．在邊長為的菱形中，點在菱形所在的平面內．若，則_____．16．我國古代數學著作《九章算術》中記載“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”設人數、物價分別為、，滿足，則_____，_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，為側棱上一點，已知.（Ⅰ）證明:平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.18．（12分）設都是正數，且，．求證：．19．（12分）（選修4-4：坐標系與參數方程）在平面直角坐標系，已知曲線（為參數），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）過點且與直線平行的直線交于，兩點，求點到，的距離之積．20．（12分）如圖，焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點，中心都在坐標原點，且橢圓與的離心率均為．（Ⅰ）求橢圓與橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點M的互相垂直的兩直線分別與，交于點A，B（點A、B不同于點M），當的面積取最大值時，求兩直線MA，MB斜率的比值.21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是(為參數)，以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；(Ⅱ)已知直線與曲線交于，兩點，與軸交于點，求.22．（10分）如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點，將沿折起，使點到達點的位置，連接，，為的中點．（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用復數相等的條件求得，，則答案可求．【詳解】由，得，．對應的點的坐標為，，．故選：．【點睛】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查復數相等的條件，是基礎題．2、C【解析】

求得點坐標，由此求得直線的方程，聯立直線的方程和拋物線的方程，求得點坐標，進而求得【詳解】拋物線焦點為，令，，解得，不妨設，則直線的方程為，由，解得，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的弦長的求法，屬于基礎題.3、C【解析】展開式的通項為，因為展開式中含有常數項，所以，即為整數，故n的最小值為1．所以.故選C點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.4、A【解析】

因為，可得，根據等差數列前項和，即可求得答案.【詳解】，，.故選：A.【點睛】本題主要考查了求等差數列前項和，解題關鍵是掌握等差中項定義和等差數列前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.5、C【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C【點睛】此題考查解三角函數方程，恒等變化后根據的關系即可求解，屬于簡單題目.6、D【解析】

轉化條件得，利用元素個數為n的集合真子集個數為個即可得解.【詳解】由題意得，，集合的真子集的個數為個.故選：D.【點睛】本題考查了集合的化簡和運算，考查了集合真子集個數問題，屬于基礎題.7、C【解析】

先根據直線與直線平行確定的值，進而即可確定結果.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要條件.故選C【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎題型.8、D【解析】

求的展開式中的常數項，可轉化為求展開式中的常數項和項，再求和即可得出答案.【詳解】由題意，中常數項為，中項為，所以的展開式中的常數項為：.故選：D【點睛】本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.9、B【解析】考點：程序框圖．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環求S的值，我們用表格列出程序運行過程中各變量的值的變化情況，不難給出答案．解：程序在運行過程中各變量的值如下表示：Si是否繼續循環循環前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當i＜5時退出，故選B．10、B【解析】

利用向量的數量積運算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點睛】本題主要考查了向量的基本運算的應用，向量的基本定理的應用及向量共線定理等知識的綜合應用．11、C【解析】

利用基本初等函數的單調性判斷各選項中函數在區間上的單調性，進而可得出結果.【詳解】對于A選項，函數在區間上為增函數；對于B選項，函數在區間上為增函數；對于C選項，函數在區間上為減函數；對于D選項，函數在區間上為增函數.故選：C.【點睛】本題考查函數在區間上單調性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數的單調性是判斷的關鍵，屬于基礎題.12、C【解析】

觀察圖表，判斷四個選項是否正確．【詳解】由表易知、、項均正確，年中國為萬億元，年中國為萬億元，則從年至年，中國的總值大約增加萬億，故C項錯誤．【點睛】本題考查統計圖表，正確認識圖表是解題基礎．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-160【解析】試題分析：常數項為.考點：二項展開式系數問題.14、2【解析】

利用二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，求得的值．【詳解】展開式通項為：且的展開式中的系數比的系數大，即：解得：（舍去）或本題正確結果：【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．15、【解析】

以菱形的中心為坐標原點建立平面直角坐標系,再設,根據求出的坐標,進而求得即可.【詳解】解：連接設交于點以點為原點,分別以直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則：設得,解得,,或,顯然得出的是定值,取則,．故答案為：．【點睛】本題主要考查了建立平面直角坐標系求解向量數量積的有關問題,屬于中檔題.16、【解析】

利用已知條件，通過求解方程組即可得到結果．【詳解】設人數、物價分別為、，滿足，解得，.故答案為：；.【點睛】本題考查函數與方程的應用，方程組的求解，考查計算能力，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)先證明

，再證明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求證所求證；(Ⅱ)根據題意以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)證：由已知得又平面，平面，，而故，平面平面，平面平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，有，又，故所以相似，故有，即所以，以為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為，則令，則，是平面的一個法向量設平面的一個法向量為令，則是平面的一個法向量=又二面角為鈍二面角，其余弦值為.【點睛】本題考查線面、面面垂直的判定定理與性質定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直觀想象能力與運算求解能力，屬于中檔題.18、證明見解析【解析】

利用比較法進行證明：把代數式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因為,，所以，∴成立，又都是正數，∴，①同理，∴．【點睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關鍵;屬于中檔題。19、（1）曲線：，直線的直角坐標方程；（2）1.【解析】試題分析：（1）先根據三角函數平方關系消參數得曲線化為普通方程，再根據將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）根據題意設直線參數方程，代入C方程，利用參數幾何意義以及韋達定理得點到，的距離之積試題解析：（1）曲線化為普通方程為：，由，得，所以直線的直角坐標方程為．（2）直線的參數方程為（為參數），代入化簡得：，設兩點所對應的參數分別為，則，．20、（1），（2）【解析】分析：(1)根據題的條件，得到對應的橢圓的上頂點，即可以求得橢圓中相應的參數，結合橢圓的離心率的大小，求得相應的參數，從而求得橢圓的方程；(2)設出一條直線的方程，與橢圓的方程聯立，消元，利用求根公式求得對應點的坐標，進一步求得向量的坐標，將S表示為關于k的函數關系，從眼角函數的角度去求最值，從而求得結果.詳解：（Ⅰ）依題意得對：，，得：；同理：.（Ⅱ）設直線的斜率分別為，則MA：，與橢圓方程聯立得：，得，得,，所以同理可得.所以,從而可以求得因為，所以，不妨設，所以當最大時，，此時兩直線MA，MB斜率的比值.點睛：該題考查的是有關橢圓與直線的綜合題，在解題的過程中，注意橢圓的對稱性，以及其特殊性，與y軸的交點即為橢圓的上頂點，結合橢圓焦點所在軸，得到相應的參數的值，再者就是應用離心率的大小找參數之間的關系，在研究直線與橢圓相交的問題時，首先設出直線的方程，與橢圓的方程聯立，求得結果，注意從函數的角度研究問題.21、（1）(x－1)2＋y2＝4,直線l的直角坐標方程為x－y－2＝0；（2）3.【解析】

(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標和直角坐標方程的互化公式求得直線的直角坐標方程；(2)先得到直線的參數方程，將直線的參數方程代入到圓的方程，得到關于的一元二次方程，由根與系數的關系、參數的幾何意義進行求解.【詳解】(1)由曲線C的參數方程(α為參數)(α為參數)，兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝4；由直線l的極坐標方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直線l的直角坐標方程為x－y－2＝0.(2)由題意可得P(2，0)，則直線l的參數方程為(t為參數)．設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，將(t為參數)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，則Δ>0，由韋達定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.22、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點，連結、，四邊形是平行四邊形，由，，得，從而，，求出，由此能證明．（Ⅱ