2025屆山東省山師附中第二學期（5月月考）高三年級階段性考試（一）數學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．記其中表示不大于x的最大整數，若方程在在有7個不同的實數根，則實數k的取值范圍()A． B． C． D．2．在復平面內，復數z=i對應的點為Z，將向量繞原點O按逆時針方向旋轉，所得向量對應的復數是（）A． B． C． D．3．已知集合，，則中元素的個數為()A．3 B．2 C．1 D．04．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉過的弧度數為（）A． B． C． D．5．函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內所有直線與l異面B．α內只存在有限條直線與l共面C．α內存在唯一的直線與l平行D．α內存在無數條直線與l相交7．如果實數滿足條件，那么的最大值為（）A． B． C． D．8．已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．9．《九章算術》是我國古代數學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內切圓的直徑為多少步？”現從該三角形內隨機取一點，則此點取自內切圓的概率是（）A． B． C． D．10．數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點到原點的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④11．已知且，函數，若，則（）A．2 B． C． D．12．函數的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，已知，則的最小值是________．14．若關于的不等式在時恒成立，則實數的取值范圍是_____15．如圖，兩個同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條直徑，過點作小圓的切線交大圓于另一點，切點為，點為劣弧上的任一點（不包括兩點），則的最大值是__________．16．在中，若，則的范圍為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，）.在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標中，曲線：.（1）當時，求與的交點的極坐標；（2）直線與曲線交于，兩點，線段中點為，求的值.18．（12分）在三棱柱中，四邊形是菱形，，，，，點M、N分別是、的中點，且.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積.19．（12分）中國古建筑中的窗飾是藝術和技術的統一體，給人于美的享受．如圖（1）為一花窗；圖（2）所示是一扇窗中的一格，呈長方形，長30cm，寬26cm，其內部窗芯（不含長方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個菱形和六根支條構成，整個窗芯關于長方形邊框的兩條對稱軸成軸對稱．設菱形的兩條對角線長分別為xcm和ycm，窗芯所需條形木料的長度之和為L．（1）試用x，y表示L；（2）如果要求六根支條的長度均不小于2cm，每個菱形的面積為130cm2，那么做這樣一個窗芯至少需要多長的條形木料（不計榫卯及其它損耗）？20．（12分）已知數列滿足（），數列的前項和，（），且，．（1）求數列的通項公式：（2）求數列的通項公式．（3）設，記是數列的前項和，求正整數，使得對于任意的均有．21．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，求的值．22．（10分）已知函數的定義域為.（1）求實數的取值范圍；（2）設實數為的最小值，若實數，，滿足，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

做出函數的圖象，問題轉化為函數的圖象在有7個交點，而函數在上有3個交點，則在上有4個不同的交點，數形結合即可求解.【詳解】作出函數的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個不同的實數根，則在上有4個不同的實數根，當直線經過時，；當直線經過時，，可知當時，直線與的圖象在上有4個交點，即方程，在上有4個不同的實數根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數求參數，利用函數零點和方程之間的關系轉化為兩個函數的交點是解題的關鍵，運用數形結合是解決函數零點問題的基本思想，屬于中檔題.2、A【解析】

由復數z求得點Z的坐標，得到向量的坐標，逆時針旋轉，得到向量的坐標，則對應的復數可求.【詳解】解：∵復數z=i（i為虛數單位）在復平面中對應點Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點O逆時針旋轉得到，

設＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對應復數為.故選：A.【點睛】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.3、C【解析】

集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯立方程組求得方程組解的個數，即為交集中元素的個數.【詳解】由題可知：集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯立與，可得，整理得，即，當時，，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【點睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關系的判斷，屬基礎題.4、B【解析】

因為時針經過2小時相當于轉了一圈的，且按順時針轉所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉一周為12小時，轉過的角度為，按順時針轉所形成的角為負角，所以經過2小時，時針所轉過的弧度數為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎題.5、B【解析】

對分類討論，當，函數在單調遞減，當，根據對勾函數的性質，求出單調遞增區間，即可求解.【詳解】當時，函數在上單調遞減，所以，的遞增區間是，所以，即.故選:B.【點睛】本題考查函數單調性，熟練掌握簡單初等函數性質是解題關鍵，屬于基礎題.6、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯誤，故選D.【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關系，直線與直線的位置關系，難度不大.7、B【解析】

解：當直線過點時，最大，故選B8、A【解析】

先利用最高點縱坐標求出A，再根據求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點睛】本題考查三角函數的據圖求式問題以及三角函數的公式變換.據圖求式問題要注意結合五點法作圖求解.屬于中檔題.9、C【解析】

利用直角三角形三邊與內切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內切圓的面積，根據幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內切圓的半徑為，所以向次三角形內投擲豆子，則落在其內切圓內的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質，求得其內切圓的半徑是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.10、C【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉化為的關系式，然后根據基本不等式求解出最大值；④根據滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】①：當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；②：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；③：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【點睛】本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.11、C【解析】

根據分段函數的解析式，知當時，且，由于，則，即可求出.【詳解】由題意知：當時，且由于，則可知：，則，∴，則，則.即.故選：C.【點睛】本題考查分段函數的應用，由分段函數解析式求自變量.12、B【解析】

根據定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據函數圖象得定義域為，所以不合題意；選項，計算，不符合函數圖象；對于選項，與函數圖象不一致；選項符合函數圖象特征.故選：B【點睛】此題考查根據函數圖象選擇合適的解析式，主要利用函數性質分析，常見方法為排除法.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：可先用向量的數量積公式將原式變形為：，然后再結合余弦定理整理為，再由cosC的余弦定理得到a，b的關系式，最后利用基本不等式求解即可.詳解：已知，可得，將角A,B,C的余弦定理代入得，由，當a=b時取到等號，故cosC的最小值為.點睛：考查向量的數量積、余弦定理、基本不等式的綜合運用，能正確轉化是解題關鍵.屬于中檔題.14、【解析】

利用對數函數的單調性，將不等式去掉對數符號，再依據分離參數法，轉化成求構造函數最值問題，進而求得的取值范圍?！驹斀狻坑傻茫瑑蛇呁?，得到，，，設，，由函數在上遞減，所以，故實數的取值范圍是?！军c睛】本題主要考查對數函數的單調性，以及恒成立問題的常規解法——分離參數法。15、【解析】

以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，從而可得、，，，然后利用向量數量積的坐標運算可得，再根據輔助角公式以及三角函數的性質即可求解.【詳解】以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則、，由，且，所以，所以，即又平分，所以，則,設，則，，所以，所以，，所以的最大值是.故答案為：【點睛】本題考查了向量數量積的坐標運算、利用向量解決幾何問題，同時考查了輔助角公式以及三角函數的性質，屬于中檔題.16、【解析】

借助正切的和角公式可求得，即則通過降冪擴角公式和輔助角公式可化簡,由，借助正弦型函數的圖象和性質即可解得所求.【詳解】，所以，.因為，所以，所以.故答案為:.【點睛】本題考查了三角函數的化簡,重點考查學生的計算能力,難度一般.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】

（1）依題意可知，直線的極坐標方程為（），再對分三種情況考慮；（2）利用直線參數方程參數的幾何意義，求弦長即可得到答案.【詳解】（1）依題意可知，直線的極坐標方程為（），當時，聯立解得交點，當時，經檢驗滿足兩方程，（易漏解之處忽略的情況）當時，無交點；綜上，曲線與直線的點極坐標為，，（2）把直線的參數方程代入曲線，得，可知，，所以.【點睛】本題考查直線與曲線交點的極坐標、利用參數方程參數的幾何意義求弦長，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）要證面面垂直需要先證明線面垂直，即證明出平面即可；（2）求出點A到平面的距離，然后根據棱錐的體積公式即可求出四棱錐的體積.【詳解】（1）連接，由是平行四邊形及N是的中點，得N也是的中點，因為點M是的中點，所以，因為，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）過A作交于點O，因為平面平面，平面平面，所以平面，由是菱形及，得為三角形，則，由平面，得，從而側面為矩形，所以.【點睛】本題主要考查了面面垂直的證明，求四棱錐的體積，屬于一般題.19、（1）（2）【解析】試題分析：（1）由條件可先求水平方向每根支條長，豎直方向每根支條長為，因此所需木料的長度之和L=（2）先確定范圍由可得，再由面積為130cm2，得，轉化為一元函數，令，則在上為增函數，解得L有最小值．試題解析：（1）由題意，水平方向每根支條長為cm，豎直方向每根支條長為cm，菱形的邊長為cm．從而，所需木料的長度之和L=cm．（2）由題意，，即，又由可得．所以．令，其導函數在上恒成立，故在上單調遞減，所以可得．則=．因為函數和在上均為增函數，所以在上為增函數，故當，即時L有最小值．答：做這樣一個窗芯至少需要cm長的條形木料．考點：函數應用題20、（1）（）．（2），．（3）【解析】

（1）依題意先求出,然后根據,求出的通項公式為,再檢驗的情況即可;（2）由遞推公式,得,結合數列性質可得數列相鄰項之間的關系,從而可求出結果;（3）通過（1）、（2）可得,所以,,,,．記,利用函數單調性可求的范圍,從而列不等式可解.【詳解】解：（1）因為數列滿足（）①；②當時,．檢驗當時,成立.所以,數列的通項公式為（）．（2）由,得,①所以,．