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文檔簡介

江蘇省泰州市泰州棟梁學校2025年高三下學期第一次月考試題數學試題試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.為比較甲、乙兩名高中學生的數學素養,對課程標準中規定的數學六大素養進行指標測驗(指標值滿分為100分,分值高者為優),根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素養指標雷達圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數據分析素養優于乙 B.乙的數據分析素養優于數學建模素養C.甲的六大素養整體水平優于乙 D.甲的六大素養中數學運算最強2.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.3.2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”,某醫院開展扶貧日“送醫下鄉”醫療義診活動,現有五名醫生被分配到四所不同的鄉鎮醫院中,醫生甲被指定分配到醫院,醫生乙只能分配到醫院或醫院,醫生丙不能分配到醫生甲、乙所在的醫院,其他兩名醫生分配到哪所醫院都可以,若每所醫院至少分配一名醫生,則不同的分配方案共有()A.18種 B.20種 C.22種 D.24種4.設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則5.的展開式中的項的系數為()A.120 B.80 C.60 D.406.拋物線方程為,一直線與拋物線交于兩點,其弦的中點坐標為,則直線的方程為()A. B. C. D.7.函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象,并且函數在區間上單調遞增,在區間上單調遞減,則實數的值為()A. B. C.2 D.8.復數滿足,則復數在復平面內所對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.設全集,集合,.則集合等于()A. B. C. D.10.的二項展開式中,的系數是()A.70 B.-70 C.28 D.-2811.已知函數,,若對任意的,存在實數滿足,使得,則的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.512.如圖,平面與平面相交于,,,點,點,則下列敘述錯誤的是()A.直線與異面B.過只有唯一平面與平行C.過點只能作唯一平面與垂直D.過一定能作一平面與垂直二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某城市為了解該市甲、乙兩個旅游景點的游客數量情況,隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數,得到如下莖葉圖:由此可估計,全年(按360天計算)中,游客人數在內時,甲景點比乙景點多______天.14.如圖,在平面四邊形中,點,是橢圓短軸的兩個端點,點在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.15.已知,則________.(填“>”或“=”或“<”).16.已知集合,若,則__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知首項為2的數列滿足.(1)證明:數列是等差數列.(2)令,求數列的前項和.18.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)寫出的普通方程和的直角坐標方程;(2)設點在上,點在上,求的最小值以及此時的直角坐標.19.(12分)若函數在處有極值,且,則稱為函數的“F點”.(1)設函數().①當時,求函數的極值;②若函數存在“F點”,求k的值;(2)已知函數(a,b,,)存在兩個不相等的“F點”,,且,求a的取值范圍.20.(12分)已知,均為正項數列,其前項和分別為,,且,,,當,時,,.(1)求數列,的通項公式;(2)設,求數列的前項和.21.(12分)如圖,已知平面與直線均垂直于所在平面,且.(1)求證:平面;(2)若,求與平面所成角的正弦值.22.(10分)已知函數.(1)討論的零點個數;(2)證明:當時,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

根據所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A,甲的數據分析素養為100分,乙的數據分析素養為80分,故甲的數據分析素養優于乙,故A正確;對于B,乙的數據分析素養為80分,數學建模素養為60分,故乙的數據分析素養優于數學建模素養,故B正確;對于C,甲的六大素養整體水平平均得分為,乙的六大素養整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養中數學運算為80分,不是最強的,故D錯誤;故選:D【點睛】本題考查了樣本數據的特征、平均數的計算,考查了學生的數據處理能力,屬于基礎題.2.A【解析】

首先找出與面所成角,根據所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據同角三角函數關系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設中點為,連接,,可知,,同時易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算,屬于基礎題.3.B【解析】

分兩類:一類是醫院A只分配1人,另一類是醫院A分配2人,分別計算出兩類的分配種數,再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據醫院A的情況分兩類:第一類:若醫院A只分配1人,則乙必在醫院B,當醫院B只有1人,則共有種不同分配方案,當醫院B有2人,則共有種不同分配方案,所以當醫院A只分配1人時,共有種不同分配方案;第二類:若醫院A分配2人,當乙在醫院A時,共有種不同分配方案,當乙不在A醫院,在B醫院時,共有種不同分配方案,所以當醫院A分配2人時,共有種不同分配方案;共有20種不同分配方案.故選:B【點睛】本題考查排列與組合的綜合應用,在做此類題時,要做到分類不重不漏,考查學生分類討論的思想,是一道中檔題.4.C【解析】

在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯誤;在B中,若,,則或,故B錯誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯誤.故選C.【點睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,是中檔題.5.A【解析】

化簡得到,再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選:【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學生的計算能力.6.A【解析】

設,,利用點差法得到,所以直線的斜率為2,又過點,再利用點斜式即可得到直線的方程.【詳解】解:設,∴,又,兩式相減得:,∴,∴,∴直線的斜率為2,又∴過點,∴直線的方程為:,即,故選:A.【點睛】本題考查直線與拋物線相交的中點弦問題,解題方法是“點差法”,即設出弦的兩端點坐標,代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點坐標建立關系.7.C【解析】由函數的圖象向右平移個單位得到,函數在區間上單調遞增,在區間上單調遞減,可得時,取得最大值,即,,,當時,解得,故選C.點睛:本題主要考查了三角函數圖象的平移變換和性質的靈活運用,屬于基礎題;據平移變換“左加右減,上加下減”的規律求解出,根據函數在區間上單調遞增,在區間上單調遞減可得時,取得最大值,求解可得實數的值.8.B【解析】

設,則,可得,即可得到,進而找到對應的點所在象限.【詳解】設,則,,,所以復數在復平面內所對應的點為,在第二象限.故選:B【點睛】本題考查復數在復平面內對應的點所在象限,考查復數的模,考查運算能力.9.A【解析】

先算出集合,再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以,又因為.所以.故選:A.【點睛】本題考查集合間的基本運算,涉及到解一元二次不等式、指數不等式,是一道容易題.10.A【解析】試題分析:由題意得,二項展開式的通項為,令,所以的系數是,故選A.考點:二項式定理的應用.11.A【解析】

根據條件將問題轉化為,對于恒成立,然后構造函數,然后求出的范圍,進一步得到的最大值.【詳解】,,對任意的,存在實數滿足,使得,易得,即恒成立,,對于恒成立,設,則,令,在恒成立,,故存在,使得,即,當時,,單調遞減;當時,,單調遞增.,將代入得:,,且,故選:A【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性,零點存在定理和不等式恒成立問題,考查了轉化思想,屬于難題.12.D【解析】

根據異面直線的判定定理、定義和性質,結合線面垂直的關系,對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設直線與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據異面直線的性質知,過只有唯一平面與平行,故正確.C.根據過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知,故正確.D.根據異面直線的性質知,過不一定能作一平面與垂直,故錯誤.故選:D【點睛】本題主要考查異面直線的定義,性質以及線面關系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.72【解析】

根據給定的莖葉圖,得到游客人數在內時,甲景點共有7天,乙景點共有3天,進而求得全年中,甲景點比乙景點多的天數,得到答案.【詳解】由題意,根據給定的莖葉圖可得,在隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數中,游客人數在內時,甲景點共有7天,乙景點共有3天,所以在全年)中,游客人數在內時,甲景點比乙景點多天.故答案為:.【點睛】本題主要考查了莖葉圖的應用,其中解答中熟記莖葉圖的基本知識,合理推算是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.14.【解析】

依題意易得A、B、C、D四點共圓且圓心在x軸上,然后設出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯立得到B的橫坐標,進一步得到D橫坐標,再由計算比值即可.【詳解】因為,所以A、B、C、D四點共圓,直徑為,又A、C關于x軸對稱,所以圓心E在x軸上,設圓心E為,則圓的方程為,聯立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標為,又B、D中點是E,所以D的橫坐標為,故.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中的四點共圓及三角形面積之比的問題,考查學生基本計算能力及轉化與化歸思想,本題關鍵是求出B、D橫坐標,是一道有區分度的壓軸填空題.15.【解析】

注意到,故只需比較與1的大小即可.【詳解】由已知,,故有.又由,故有.故答案為:.【點睛】本題考查對數式比較大小,涉及到換底公式的應用,考查學生的數學運算能力,是一道中檔題.16.1【解析】

分別代入集合中的元素,求出值,再結合集合中元素的互異性進行取舍可解.【詳解】依題意,分別令,,,由集合的互異性,解得,則.故答案為:【點睛】本題考查集合元素的特性:確定性、互異性、無序性.確定集合中元素,要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析;(2)【解析】

(1)由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結論;(2)由(1)可求得的表達式,進而可求得的表達式,然后求出的前項和即可.【詳解】(1)證明:因為,所以,所以,從而,因為,所以,故數列是首項為1,公差為1的等差數列.(2)由(1)可知,則,因為,所以,則.【點睛】本題考查了等差數列的證明,考查了等差數列及等比數列的前項和公式的應用,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.18.(1):,:;(2),此時.【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標方程為;(2)由題意,可設點的直角坐標為到的距離當且僅當時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標方程為.(2)由題意,可設點的直角坐標為,因為是直線,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當且僅當時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標為.考點:坐標系與參數方程.【方法點睛】參數方程與普通方程的互化:把參數方程化為普通方程,需要根據其結構特征,選取適當的消參方法,常見的消參方法有:代入消參法;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等.把曲線的普通方程化為參數方程的關鍵:一是適當選取參數;二是確保互化前后方程的等價性.注意方程中的參數的變化范圍.19.(1)①極小值為1,無極大值.②實數k的值為1.(2)【解析】

(1)①將代入可得,求導討論函數單調性,即得極值;②設是函數的一個“F點”(),即是的零點,那么由導數可知,且,可得,根據可得,設,由的單調性可得,即得.(2)方法一:先求的導數,存在兩個不相等的“F點”,,可以由和韋達定理表示出,的關系,再由,可得的關系式,根據已知解即得.方法二:由函數存在不相等的兩個“F點”和,可知,是關于x的方程組的兩個相異實數根,由得,分兩種情況:是函數一個“F點”,不是函數一個“F點”,進行討論即得.【詳解】解:(1)①當時,(),則有(),令得,列表如下:x10極小值故函數在處取得極小值,極小值為1,無極大值.②設是函數的一個“F點”().(),是函數的零點.,由,得,,由,得,即.設,則,所以函數在上單調增,注意到,所以方程存在唯一實根1,所以,得,根據①知,時,是函數的極小值點,所以1是函數的“F點”.綜上,得實數k的值為1.(2)由(a,b,,),可得().又函數存在不相等的兩個“F點”和,,是關于x的方程()的兩個相異實數根.又,,,即,從而,,即..,,解得.所以,實數a的取值范圍為.(2)(解法2)因為(a,b,,)所以().又因為函數存在不相等的兩個“F點”和,所以,是關于x的方程組的兩個相異實數根.由得,.(2.1)當是函數一個“F點”時,且.所以,即.又,所以,所以.又,所以.(2.2)當不是函數一個“F點”時,則,是關于x的方程的兩個相異實數根.又,所以得所以,得.所以,得.綜合(2.1)(2.2),實數a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數求函數極值,以及由函數的極值求參數值等,是一道關于函數導數的綜合性題目,考查學生的分析和數學運算能力,有一定難度.20.(1),(2)【解析】

(1),所,兩式相減,即可得到數列遞推關系求解通項公式,由,整理得,得到,即可求解通項公式;(2)由(1)可知,,即可求得數列的前項和.【詳解】(1)因為,所,兩式相減,整理得,當時,,解得,所以數列是首項和公比均為的等比數列,即,因為,整理得,又因為,所以,所以,即,因為,所以數列是以首項和公差均為1的等差數列,所以;(2)由(1)可知,,,即.【點睛】此題考查求數列的通項公式,以及數列求和,關鍵在于對題中所

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