浙教版七年級上冊數學-第三章實數-培優復習教案?一、教學目標1.知識與技能目標幫助學生系統梳理實數的相關概念，包括有理數、無理數、平方根、算術平方根、立方根等，使學生能準確區分各類數，并熟練掌握它們的表示方法和運算。強化學生對實數運算法則和運算律的理解與運用，能正確、靈活地進行實數的加、減、乘、除、乘方及混合運算，提高運算能力。讓學生理解實數與數軸上的點一一對應關系，能運用這一關系解決一些與實數相關的幾何問題，如在數軸上表示無理數等。2.過程與方法目標通過知識的系統復習，培養學生歸納總結的能力，引導學生構建完整的知識體系。借助典型例題和練習題的分析與解答，鍛煉學生邏輯思維能力和解題技巧，提高學生分析問題和解決問題的能力。在復習過程中，鼓勵學生積極參與討論、交流，培養學生自主學習和合作學習的意識。3.情感態度與價值觀目標讓學生感受數學知識的系統性和嚴謹性，激發學生學習數學的興趣和熱情。通過解決一些具有挑戰性的問題，培養學生勇于探索、敢于創新的精神，增強學生學習數學的自信心。二、教學重難點1.教學重點實數的相關概念及性質，如平方根、算術平方根、立方根的概念和計算。實數的運算法則和運算律，特別是實數的混合運算。實數與數軸的對應關系及其應用。2.教學難點對無理數概念的理解，以及如何準確判斷一個數是有理數還是無理數。實數混合運算中符號的確定和運算順序的把握。運用實數與數軸的對應關系解決實際問題，如在數軸上準確表示無理數，并進行相關的長度計算等。三、教學方法1.講授法：系統講解實數的重要概念、性質和運算法則，確保學生對基礎知識有清晰的理解。2.討論法：組織學生對一些典型例題和易錯題進行討論，鼓勵學生發表自己的見解，培養學生的思維能力和合作交流能力。3.練習法：通過大量有針對性的練習題，讓學生鞏固所學知識，提高解題能力，同時在練習過程中發現問題及時解決。四、教學過程（一）知識梳理1.有理數與無理數引導學生回顧有理數的定義：整數和分數統稱為有理數。強調有理數都可以表示為有限小數或無限循環小數。舉例說明無理數的概念：無限不循環小數叫做無理數。如\(\sqrt{2}\)，\(\pi\)等。通過具體例子讓學生理解無理數的特點，如\(\sqrt{2}=1.414213562373095\cdots\)，\(\pi=3.141592653589793\cdots\)，它們的小數部分是無限不循環的。組織學生討論如何判斷一個數是有理數還是無理數，可通過一些具體的數讓學生進行判斷練習，如\(0\)，\(\frac{22}{7}\)，\(3.14\)，\(0.\dot{3}\)，\(\sqrt{4}\)，\(\sqrt[3]{8}\)，\(\sqrt{5}\)，\(0.1010010001\cdots\)（每兩個\(1\)之間依次多一個\(0\)）等，加深學生對有理數和無理數概念的理解。2.平方根與算術平方根復習平方根的定義：如果一個數\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2=a\)，那么這個數\(x\)叫做\(a\)的平方根。例如，因為\((\pm3)^2=9\)，所以\(9\)的平方根是\(\pm3\)。強調算術平方根的概念：正數\(a\)的正的平方根叫做\(a\)的算術平方根，記作\(\sqrt{a}\)。\(0\)的算術平方根是\(0\)。例如，\(9\)的算術平方根是\(3\)，記作\(\sqrt{9}=3\)。總結平方根的性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；\(0\)的平方根是\(0\)；負數沒有平方根。讓學生通過練習求一些數的平方根和算術平方根，如\(16\)，\(0.25\)，\(\frac{9}{16}\)等，鞏固所學知識。3.立方根回顧立方根的定義：如果一個數\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^3=a\)，那么這個數\(x\)叫做\(a\)的立方根。例如，因為\(2^3=8\)，所以\(8\)的立方根是\(2\)，記作\(\sqrt[3]{8}=2\)。強調立方根的性質：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，\(0\)的立方根是\(0\)。通過練習求一些數的立方根，如\(27\)，\(64\)，\(0.001\)等，加深學生對立方根概念的理解。4.實數的分類引導學生根據有理數和無理數的概念，對實數進行分類。實數可分為有理數和無理數。有理數又可分為整數和分數，整數包括正整數、\(0\)、負整數；分數包括正分數和負分數。無理數是無限不循環小數。通過具體例子讓學生進行實數分類的練習，如將\(\sqrt{9}\)，\(\frac{1}{3}\)，\(\pi\)，\(\sqrt{2}\)，\(0\)，\(3.14\)，\(\sqrt[3]{8}\)等數分別填入相應的類別中，強化學生對實數分類的掌握。5.實數與數軸的關系講解實數與數軸上的點一一對應關系：每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數。通過在數軸上表示一些簡單的有理數和無理數，如\(\sqrt{2}\)，\(\sqrt{3}\)等，讓學生直觀感受實數與數軸的對應關系。可以利用勾股定理來確定無理數在數軸上的位置，例如以原點為直角頂點，以\(1\)為直角邊作等腰直角三角形，斜邊長度就是\(\sqrt{2}\)，然后用圓規在數軸上截取相應長度得到表示\(\sqrt{2}\)的點。組織學生進行相關練習，如已知數軸上點\(A\)表示的數為\(\sqrt{5}\)，點\(B\)表示的數為\(2\)，求\(A\)、\(B\)兩點間的距離等，加深學生對實數與數軸關系的理解和應用。（二）典型例題分析1.例1：判斷下列說法是否正確（1）無限小數都是無理數。（2）帶根號的數都是無理數。（3）兩個無理數的和一定是無理數。（4）有理數與無理數的積一定是無理數。分析：（1）無限小數包括無限循環小數和無限不循環小數，無限循環小數是有理數，所以該說法錯誤。（2）如\(\sqrt{4}=2\)是有理數，所以帶根號的數不一定都是無理數，該說法錯誤。（3）例如\(\sqrt{2}+(\sqrt{2})=0\)，\(0\)是有理數，所以兩個無理數的和不一定是無理數，該說法錯誤。（4）例如\(0\times\sqrt{2}=0\)，\(0\)是有理數，所以有理數與無理數的積不一定是無理數，該說法錯誤。解答：以上說法均不正確。總結：通過本題讓學生明確有理數和無理數概念的易錯點，準確把握概念的內涵，避免因概念不清而產生錯誤判斷。2.例2：求下列各數的平方根和算術平方根（1）\(121\)（2）\(\frac{49}{64}\)（3）\(0.0009\)分析：（1）根據平方根的定義，因為\((\pm11)^2=121\)，所以\(121\)的平方根是\(\pm11\)，算術平方根是\(11\)。（2）因為\((\pm\frac{7}{8})^2=\frac{49}{64}\)，所以\(\frac{49}{64}\)的平方根是\(\pm\frac{7}{8}\)，算術平方根是\(\frac{7}{8}\)。（3）因為\((\pm0.03)^2=0.0009\)，所以\(0.0009\)的平方根是\(\pm0.03\)，算術平方根是\(0.03\)。解答：（1）\(121\)的平方根是\(\pm11\)，算術平方根是\(11\)。（2）\(\frac{49}{64}\)的平方根是\(\pm\frac{7}{8}\)，算術平方根是\(\frac{7}{8}\)。（3）\(0.0009\)的平方根是\(\pm0.03\)，算術平方根是\(0.03\)。總結：本題主要考查平方根和算術平方根的計算，讓學生熟練掌握平方根和算術平方根的概念及計算方法，注意兩者的區別與聯系。3.例3：求下列各數的立方根（1）\(27\)（2）\(0.125\)（3）\(\frac{8}{27}\)分析：（1）因為\((3)^3=27\)，所以\(27\)的立方根是\(3\)。（2）因為\(0.5^3=0.125\)，所以\(0.125\)的立方根是\(0.5\)。（3）因為\((\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}\)，所以\(\frac{8}{27}\)的立方根是\(\frac{2}{3}\)。解答：（1）\(27\)的立方根是\(3\)。（2）\(0.125\)的立方根是\(0.5\)。（3）\(\frac{8}{27}\)的立方根是\(\frac{2}{3}\)。總結：本題重點考查立方根的計算，讓學生牢記立方根的性質，準確求出各數的立方根。4.例4：在數軸上作出表示\(\sqrt{10}\)的點。分析：因為\(\sqrt{10}=\sqrt{9+1}\)，所以可以構造一個直角三角形，使其兩條直角邊分別為\(3\)和\(1\)，則斜邊長度就是\(\sqrt{10}\)。步驟如下：先在數軸上找到表示\(3\)的點\(A\)。過點\(A\)作數軸的垂線\(AB\)，使\(AB=1\)。連接原點\(O\)與點\(B\)，以\(O\)為圓心，\(OB\)長為半徑畫弧，與數軸正半軸的交點\(C\)即為表示\(\sqrt{10}\)的點。解答：（略，按照上述步驟作圖即可）總結：本題通過利用勾股定理在數軸上作出表示無理數的點，讓學生進一步理解實數與數軸的對應關系，掌握利用幾何方法在數軸上表示無理數的技巧。5.例5：計算（1）\(\sqrt{16}\sqrt[3]{27}+\sqrt{\frac{1}{4}}\)（2）\((\sqrt{3}+\sqrt{2})\sqrt{2}\)（3）\((2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2\sqrt{3}3\sqrt{2})\)分析：（1）分別計算各項：\(\sqrt{16}=4\)，\(\sqrt[3]{27}=3\)，\(\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\)，然后代入原式計算：\(43+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)。（2）去括號后合并同類項：\((\sqrt{3}+\sqrt{2})\sqrt{2}=\sqrt{3}+(\sqrt{2}\sqrt{2})=\sqrt{3}\)。（3）利用平方差公式\((a+b)(ab)=a^2b^2\)計算：\((2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2\sqrt{3}3\sqrt{2})=(2\sqrt{3})^2(3\sqrt{2})^2=1218=6\)。解答：（1）\(\frac{3}{2}\)（2）\(\sqrt{3}\)（3）\(6\)總結：本題考查實數的混合運算，涉及平方根、立方根的計算以及整式乘法公式的運用，讓學生熟練掌握實數混合運算的順序和法則，提高運算能力。（三）課堂練習1.下列各數中，無理數是（）A.\(0\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\sqrt{4}\)D.\(\pi\)2.\(16\)的平方根是（）A.\(4\)B.\(\pm4\)C.\(2\)D.\(\pm2\)3.\(8\)的立方根是（）A.\(2\)B.\(2\)C.\(\pm2\)D.\(4\)4.在數軸上表示\(\sqrt{3}\)的點到原點的距離是（）A.\(\sqrt{3}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(\pm\sqrt{3}\)D.\(3\)5.計算：（1）\(\sqrt{9}+\sqrt[3]{27}\sqrt{\frac{1}{9}}\)（2）\((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}2)\)6.已知一個正數的平方根是\(2a1\)和\(a5\)，求這個正數。（四）課堂小結1.引導學生回顧本節課復習的主要內容，包括有理數、無理數、平方根、算術平方根、立方根的概念，實數的分類以及實數與數軸的關系等。2.讓學生分享在復習過程中的收獲和