高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義整數(shù)問(wèn)題?一、基礎(chǔ)知識(shí)整數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)集，整數(shù)問(wèn)題涵蓋了整除、同余、不定方程等多個(gè)方面。（一）整除的概念與性質(zhì)1.整除定義：設(shè)\(a,b\inZ\)，\(a\neq0\)，如果存在\(q\inZ\)，使得\(b=aq\)，那么稱\(b\)能被\(a\)整除，記作\(a\midb\)，此時(shí)稱\(a\)是\(b\)的因數(shù)，\(b\)是\(a\)的倍數(shù)。2.整除的性質(zhì)傳遞性：若\(a\midb\)，\(b\midc\)，則\(a\midc\)。若\(a\midb\)，\(a\midc\)，則\(a\mid(b\pmc)\)。若\(a\midb\)，則對(duì)任意\(c\inZ\)，\(a\midbc\)。若\(a\midbc\)，且\((a,b)=1\)，則\(a\midc\)。若\(p\)是質(zhì)數(shù)，\(p\midab\)，則\(p\mida\)或\(p\midb\)。（二）同余的概念與性質(zhì)1.同余定義：設(shè)\(m\inN^+\)，若整數(shù)\(a,b\)滿足\(m\mid(ab)\)，則稱\(a,b\)對(duì)模\(m\)同余，記作\(a\equivb(\bmodm)\)。2.同余的性質(zhì)自反性：\(a\equiva(\bmodm)\)。對(duì)稱性：若\(a\equivb(\bmodm)\)，則\(b\equiva(\bmodm)\)。傳遞性：若\(a\equivb(\bmodm)\)，\(b\equivc(\bmodm)\)，則\(a\equivc(\bmodm)\)。若\(a\equivb(\bmodm)\)，\(c\equivd(\bmodm)\)，則\(a\pmc\equivb\pmd(\bmodm)\)，\(ac\equivbd(\bmodm)\)。若\(ac\equivbc(\bmodm)\)，且\((c,m)=1\)，則\(a\equivb(\bmodm)\)。若\(a\equivb(\bmodm)\)，則\(a^n\equivb^n(\bmodm)\)，\(n\inN\)。（三）不定方程1.二元一次不定方程：形如\(ax+by=c\)（\(a,b,c\inZ\)，\(a,b\neq0\)）的方程。有整數(shù)解的充要條件是\((a,b)\midc\)。若\(x_0,y_0\)是方程\(ax+by=c\)的一組特解，則方程的通解為\(\begin{cases}x=x_0+\frac{b}{(a,b)}t\\y=y_0\frac{a}{(a,b)}t\end{cases}\)，\(t\inZ\)。2.勾股數(shù)：滿足\(x^2+y^2=z^2\)的正整數(shù)解\((x,y,z)\)稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有\(zhòng)((3,4,5)\)，\((5,12,13)\)等。其通解可表示為\(\begin{cases}x=k(m^2n^2)\\y=2kmn\\z=k(m^2+n^2)\end{cases}\)，其中\(zhòng)(k,m,n\inN^+\)，\(m\gtn\)，\((m,n)=1\)，且\(m,n\)一奇一偶。二、典型例題（一）整除問(wèn)題例1：設(shè)\(n\)是正整數(shù)，證明：\(n^3+3n^2+2n\)能被6整除。證明：\[\begin{align*}n^3+3n^2+2n&=n(n^2+3n+2)\\&=n(n+1)(n+2)\end{align*}\]因?yàn)閈(n(n+1)(n+2)\)是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積。三個(gè)連續(xù)正整數(shù)中必有一個(gè)能被2整除，一個(gè)能被3整除。所以\(n(n+1)(n+2)\)能被\(2\times3=6\)整除，即\(n^3+3n^2+2n\)能被6整除。例2：已知\(a,b\inZ\)，且\(9\mid(a^2+ab+b^2)\)，求證：\(3\mida\)且\(3\midb\)。證明：由\(9\mid(a^2+ab+b^2)\)，可設(shè)\(a^2+ab+b^2=9k\)，\(k\inZ\)。若\(a,b\)中至少有一個(gè)不能被3整除，不妨設(shè)\(a=3m+r\)，\(r=1\)或\(2\)。當(dāng)\(a=3m+1\)時(shí)：\[\begin{align*}a^2+ab+b^2&=(3m+1)^2+(3m+1)b+b^2\\&=9m^2+6m+1+3mb+b+b^2\\&=9m^2+3(2m+mb)+(1+b+b^2)\end{align*}\]\(9m^2+3(2m+mb)\)能被3整除，而\(1+b+b^2\)除以3的余數(shù)為：當(dāng)\(b=3n+1\)時(shí)，\(1+b+b^2=1+(3n+1)+(3n+1)^2=1+3n+1+9n^2+6n+1=3+9n^2+9n\)能被3整除；當(dāng)\(b=3n+2\)時(shí)，\(1+b+b^2=1+(3n+2)+(3n+2)^2=1+3n+2+9n^2+12n+4=7+9n^2+15n=3\times(2+3n^2+5n)+1\)除以3余1。所以\(1+b+b^2\)不能被3整除，與\(9\mid(a^2+ab+b^2)\)矛盾。同理，當(dāng)\(a=3m+2\)時(shí)也矛盾。所以\(3\mida\)且\(3\midb\)。（二）同余問(wèn)題例3：求\(1999^{2000}\)除以7的余數(shù)。解：因?yàn)閈(1999\div7=285\cdots\cdots4\)，所以\(1999\equiv4(\bmod7)\)。則\(1999^{2000}\equiv4^{2000}(\bmod7)\)。又因?yàn)閈(4^3=64\equiv1(\bmod7)\)，\(2000=3\times666+2\)。所以\(4^{2000}=(4^3)^{666}\times4^2\equiv1^{666}\times16\equiv2(\bmod7)\)。即\(1999^{2000}\)除以7的余數(shù)為2。例4：解同余方程\(3x\equiv5(\bmod7)\)。解：因?yàn)閈(3\times5=15\equiv1(\bmod7)\)，所以\(3\)的模7逆元是5。方程兩邊同時(shí)乘以5得：\(x\equiv5\times5(\bmod7)\)，即\(x\equiv25\equiv4(\bmod7)\)。所以方程的解為\(x\equiv4(\bmod7)\)。（三）不定方程問(wèn)題例5：求方程\(3x+5y=1306\)的正整數(shù)解。解：因?yàn)閈((3,5)=1\)，且\(1\mid1306\)，所以方程有整數(shù)解。由\(3x+5y=1306\)，可得\(x=\frac{13065y}{3}=435\frac{5y}{3}+\frac{12y}{3}\)。設(shè)\(t=\frac{12y}{3}\)，則\(y=\frac{13t}{2}\)。因?yàn)閈(x\gt0\)，\(y\gt0\)，所以\(\begin{cases}\frac{13065y}{3}\gt0\\\frac{13t}{2}\gt0\end{cases}\)。由\(\frac{13065y}{3}\gt0\)得\(y\lt\frac{1306}{5}=261.2\)；由\(\frac{13t}{2}\gt0\)得\(t\lt\frac{1}{3}\)。又因?yàn)閈(y=\frac{13t}{2}\)是正整數(shù)，所以\(13t\)是偶數(shù)，\(t\)是奇數(shù)。當(dāng)\(t=1\)時(shí)，\(y=2\)，\(x=\frac{13065\times2}{3}=432\)。方程的通解為\(\begin{cases}x=432+5k\\y=23k\end{cases}\)，\(k\inZ\)。要求正整數(shù)解，則\(\begin{cases}432+5k\gt0\\23k\gt0\end{cases}\)，解得\(\frac{432}{5}\ltk\lt\frac{2}{3}\)。所以\(k=86,85,\cdots,1\)。當(dāng)\(k=86\)時(shí)，\(x=432+5\times(86)=2\)，\(y=23\times(86)=260\)。當(dāng)\(k=85\)時(shí)，\(x=432+5\times(85)=7\)，\(y=23\times(85)=257\)。\(\cdots\)當(dāng)\(k=1\)時(shí)，\(x=432+5\times(1)=427\)，\(y=23\times(1)=5\)。例6：求方程\(x^2+y^2=z^2\)的所有正整數(shù)解。解：已知方程\(x^2+y^2=z^2\)的通解為\(\begin{cases}x=k(m^2n^2)\\y=2kmn\\z=k(m^2+n^2)\end{cases}\)，其中\(zhòng)(k,m,n\inN^+\)，\(m\gtn\)，\((m,n)=1\)，且\(m,n\)一奇一偶。因?yàn)橐笳麛?shù)解，所以\(k=1\)。例如，當(dāng)\(m=2\)，\(n=1\)時(shí)，\(x=3\)，\(y=4\)，\(z=5\)。當(dāng)\(m=3\)，\(n=2\)時(shí)，\(x=5\)，\(y=12\)，\(z=13\)。三、練習(xí)1.證明：\(n(n+1)(2n+1)\)能被6整除，\(n\inN\)。2.已知\(7\mid(2x+3y)\)，且\(x,y\inZ\)，求證：\(7\mid(9x+5y)\)。3.求\(2023^{2022}\)除以11的余數(shù)。4.解同余方程\(5x\equiv3(\bmod13)\)。5.求方程\(2x+3y=40\)的正整數(shù)解。6.求方程\(x^2+y^2=100\)的正整數(shù)解。四、練習(xí)答案1.證明：因?yàn)閈(n(n+1)\)是兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積，所以\(n(n+1)\)能被2整除。當(dāng)\(n=3k\)（\(k\inZ\)）時(shí)，\(n(n+1)(2n+1)=3k(3k+1)(6k+1)\)能被3整除；當(dāng)\(n=3k+1\)（\(k\inZ\)）時(shí)，\(2n+1=2(3k+1)+1=6k+3\)能被3整除；當(dāng)\(n=3k+2\)（\(k\inZ\)）時(shí)，\(n+1=3k+3\)能被3整除。所以\(n(n+1)(2n+1)\)能被3整除。又因?yàn)閈(n(n+1)(2n+1)\)能被2整除，所以\(n(n+1)(2n+1)\)能被\(2\times3=6\)整除。2.證明：已知\(7\mid(2x+3y)\)，則可設(shè)\(2x+3y=7m\)，\(m\inZ\)。\(9x+5y=4(2x+3y)+(x7y)=4\times7m+(x7y)\)。因?yàn)閈(x,y\inZ\)，所以\(x7y\inZ\)，所以\(7\mid(9x+5y)\)。3.解：因?yàn)閈(2023\div11=183\cdots\cdots10\)，所以\(2023\equiv10(\bmod11)\)。則\(2023^{2022}\equiv10^{2022}(\bmod11)\)。又因?yàn)閈(10\equiv1(\bmod11)\)，所以\(10^{2022}\equiv(1)^{2022}\equiv1(\bmod11)\)。即\(2023^{2022}\)除以11的余數(shù)為1。4.解：因?yàn)閈(5\times8=40\equi