2024-2025學年陜西省榆林市高二下學期3月月考數學質量檢測試題一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題·5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知(均為有理數),則的值為（）A.90 B.91 C.98 D.99【正確答案】D【分析】根據二項式的展開式通項公式代入運算即可.【詳解】因為的展開式的通項公式為，所以．故選：D2.已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同，現需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率()A. B. C. D.【正確答案】B【詳解】事件A：“第一次拿到白球”，B：“第二拿到紅球”，則P(A)＝＝，P(AB)＝·＝，故P(B|A)＝＝.3.若二項式的展開式中所有二項式系數之和為32，則含項的系數是（）A.80 B.-80 C.40 D.-40【正確答案】A【分析】根據題意，可得，然后結合二項式的通項公式即可得到結果.【詳解】由題知，解得，則，通項公式為，所以二項式的展開式中含項的系數為.故選：A.4.用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.600【正確答案】C【分析】先涂區域②③④，再討論①與④的顏色是否相同，結合計數原理運算求解.【詳解】將區域標號，如下圖所示：因為②③④兩兩相鄰，依次用不同的顏色涂色，則有種不同的涂色方法，若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法.故選：C.5.學校要安排一場文藝晚會的8個節目的演出順序，學生的節目有6個，教師的節目有2個，如果教師的節目既不排在第一個，也不排在最后一個，那么不同的排法數為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先排兩個學生節目在最前最后，在中間六個位置排剩下節目即可.【詳解】先排兩個學生節目在最前最后位置，然后排在中間六個位置排剩下節目，運用分步乘法原理，總排法數為.故選：C．6.如圖，無人機光影秀中，有架無人機排列成如圖所示，每架無人機均可以發出種不同顏色的光，至號的無人機顏色必須相同，、號無人機顏色必須相同，號無人機與其他無人機顏色均不相同，則這架無人機同時發光時，一共可以有（）種燈光組合.A. B. C. D.【正確答案】D【分析】對、號無人機顏色與至號的無人機顏色是否相同進行分類討論，再由分類加法和分步乘法計數原理計算可得結果.【詳解】根據題意可知，至號的無人機顏色有4種選擇；當、號無人機顏色與至號的無人機顏色相同時，號無人機顏色有3種選擇；當、號無人機顏色與至號的無人機顏色不同時，、號無人機顏色有3種選擇，號無人機顏色有2種選擇；再由分類加法和分步乘法計數原理計算可得共有種.故選：D7.已知的展開式中的系數為40，則的值為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【正確答案】B【分析】首先變形得，然后利用二項式展開式的通項公式求出的系數即可.【詳解】由題意可得，在的展開式中，由，令無解，即的展開式沒有項；在的展開式中，由，令解得，即的展開式中的項的系數為，又的系數為40，所以，解得.故選：B8.已知隨機變量的分布列如下，則的最大值為（）X123Pab2b—aA. B.3C.6 D.5【正確答案】C【分析】根據概率和為得到求得，根據分布列求得，求的最大值，再求的最大值即可.【詳解】因為分布列中概率和為，故可得，解得，又，則，又，故可得，則當時，的最大值為，又，故的最大值為.故選：C.二、多項選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.若隨機變量服從兩點分布，其中分別為隨機變量的均值和方差，則（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】根據隨機分布的定義和隨機分布的期望方差計算進行求解即可.【詳解】對于選項A：隨機變量X服從兩點分布，因為故，故選項A正確；對于選項B：，故選項B錯誤；對于選項C：，故選項C正確；對于選項D：，故D正確.故選：ACD10.回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數有9個：11，22，33，…，99；三位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（）A.四位回文數有90個B.四位回文數有45個C.（）位回文數有個D.（）位回文數有個【正確答案】AC【分析】按照分步乘法計數原理計算可得.【詳解】根據題意，對于四位回文數，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……、9009、9119、9229、……、9999，其首位和個位有種選法，第二為和第三位有種選法，故共有個，則A正確，B錯誤；對于位回文數，首位和個位數字有9種選法，第二位和倒數第二位數字有10種選法，……，第個數字，即最中間的數字有10種選法，則共有種選法，即（）位回文數有個，故C正確，D錯誤.故選：AC11.某學校高二年級數學課外活動小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（）A.從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有64種不同的選法B.從中選2人參加數學競賽，其中男、女生各1人，共有15種不同選法C.將這8名學生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種D.8名學生排成一排，已知5名男生已排好，現將3名女生插入隊伍中，則共有336種排法.【正確答案】BCD【分析】選項A可以看做從8個人中取2個人的排列；選項B先從男生中選1個有種情況，再從女生中選1人有種情況，進而可得；選項C先排3位女生有種情況，再把3位女生看成1個人與5個男生一起排列有種情況，進而可得；選項D依次把3個女生插入隊伍中，共有種.【詳解】選項A：從8個人中選2人，1人做正組長，1人做副組長選法共有種，故A錯誤；選項B：從8個人中選2人參加數學競賽，其中男、女生各1人選法共有種，故B正確；選項C：選排3位女生有種情況，再把3位女生看成1個人與5個男生一起排列有種情況，共有種情況，故C正確；選項D：8名學生排成一排，已知5名男生已排好，先排第一個女生可以排5個男生中間的4個空或2頭，有6種情況，再排第二個女生可以排到排好的6個人中間的5個空或2頭，有7種情況，最后排第三個女生可以排到排好的7個人中間的6個空或2頭，有8種情況，共有種情況，故D正確，故選：BCD三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中至少有1名女生的概率是_____________．【正確答案】【分析】求出任選3人的方法總數，再求得至少有1名女生的方法數后可計算概率．【詳解】任選3人的方法數為，其中至少有1名女生的方法數為．所以概率為．故．13.下列說法中正確的是______.①設隨機變量X服從二項分布，則②小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件“4個人去的景點互不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則；③【正確答案】①②【分析】由二項分布的概率公式求得概率判斷①；利用條件概率計算公式求得概率判斷②；由期望和方差的計算公式判斷③.【詳解】①設隨機變量X服從二項分布，則故①正確；②設事件“4個人去的景點互不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，小趙獨自去一個景點，則有4個景點可選，其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇，可能性為種，所以小趙獨自去一個景點的可能性為種；因為4個人去的景點互不相同的可能性為種，所以，故②正確；③，故③錯誤.故①②.14.已知隨機變量X的分布列為，，則的值為____________．【正確答案】##04【分析】根據所給的概率分步規律，寫出四個變量對應的概率，根據分布列的性質，寫出四個概率之和是1，解出的值，要求的變量的概率包括兩個變量的概率，相加得到結果．【詳解】∵，，∴，∴，故．四、解答題：（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.為促進居民消費，某超市準備舉辦一次有獎促銷活動，顧客購買滿一定金額商品后即可抽獎，在一個不透明的盒子中裝有10個質地均勻且大小相同的小球，其中5個紅球，3個白球，2個黑球，攪拌均勻．每次抽獎都從箱中隨機摸出3個球，設顧客抽獎1次摸出白球的個數為X，寫出X的分布并求方差．【正確答案】分布列見解析，【分析】首先確定所有可能的取值，由超幾何分布概率公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；根據數學期望和方差公式計算可得數學期望和方差；【詳解】由題意知：X所有可能的取值為0，1，2，3，所以；；；；所以X的分布為：，所以；所以．16.某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法是：從裝有2個紅球和1個白球的甲箱與裝有2個紅球和2個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎．（Ⅰ）用球的標號列出所有可能的摸出結果；（Ⅱ）有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說明理由．【正確答案】（Ⅰ）（Ⅱ）說法不正確；【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用列舉法列出所有可能的結果即可；（Ⅱ）在（Ⅰ）中摸出的2個球都是紅球的結果數，然后利用古典概率公式計算即可得到其對應的概率，中獎概率大于不中獎概率是錯誤的；試題解析：（Ⅰ）所有可能的摸出結果是：（Ⅱ）不正確，理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能的摸出結果共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結果為共4種，所以中獎的概率為，不中獎的概率為，故這種說法不正確．考點：概率統計【名師點睛】古典概型中基本事件的探求方法1．枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的．2．樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時（x，y）可以看成是有序的，如（1,2）與（2,1）不同．有時也可以看成是無序的，如（1,2）（2,1）相同．17.已知二項式．（1）求二項展開式中各項系數之和；（2）求二項展開式中含的項；（3）求二項展開式中系數絕對值最大的項．【正確答案】（1）（2）（3）或【分析】（1）令，求二項展開式中各項系數之和；（2）根據，令計算即可；（3）設第項的系數的絕對值最大，設，建立不等式組，解之求得，從而可得答案．【小問1詳解】令，二項展開式中各項系數之和；【小問2詳解】展開式的通項為：，二項展開式中含的項，令，則含的項為：；【小問3詳解】展開式的通項為，設第項的系數的絕對值最大，設，則，即，解得，又，所以，所以展開式中系數的絕對值最大的項為，．18.某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現故障的概率為．（1）若出現故障的機器臺數為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修，就使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤，若該廠現有2名工人，求該廠每月獲利的均值．【正確答案】（1）見解析（2）【分析】（1）首先利用題意判定該隨機變量服從二項分布，再利用二項分布的概率公式求出每|個變量對應的概率，再列表得到分布列；（2）列出隨機變量的所有可能取值，利用對應關系得到每個變量的概率，列表得到分布列，進而得到期望值．【小問1詳解】一臺機器運行是否出現故障可看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現故障設為，則事件的概率為，該廠有4臺機器就相當于4次獨立重復試驗，因出現故障的機器臺數為，故，，，，，．的分布列為：01234【小問2詳解】設該廠獲利為萬元，則的所有可能取值為：18，13，8，，，，即的分布列為：18138則，故該廠獲利的均值為．19.在一次購物抽獎活動中，假設某張券中有一等獎券張