2024-2025學年五年級數學下冊典型例題系列第三單元：最大公因數和最小公倍數的實際應用“拓展型”1．學校有一個三角形的花圃，三條邊的長度分別是48米，36米，28米。現在要在這三條邊是等距離擺花盆，要求每個角上都有一盆，并且相鄰兩盆距離盡量大，問一共要擺多少盆花？2．圖書室長88分米，寬72分米，高3米。學校計劃先給圖書室鋪地磚，然后粉刷圖書室的四壁和天花板。（1）若選用正方形地磚鋪滿整個圖書室（正好鋪滿且無切割），你建議學校采購的正方形地磚最大邊長是多少分米？（2）圖書室門窗面積為21.8平方米，請你計算出圖書室要粉刷的面積是多少？3．花店把72枝康乃馨和54枝百合花扎成花束出售。如果要使每束花中的康乃馨、百合花同樣的，最多可以分成多少束？每束花有多少枝？4．張老師帶五（3）班部分學生去植樹，如果這些學生2人一組則多1人，如果3人一組則差2人，如果4人一組則差3人，請問。張老師最少帶了多少名學生？5．一個長方形的長和寬分別是18厘米和12厘米，用這樣的長方形拼一個正方形。正方形的邊長最少是多少？至少幾個這樣的長方形才能拼成正方形？6．一次聚餐共用了66個碗，每人一碗飯，兩人一碗菜，三人一碗湯，參加聚餐的有多少人？7．在跑道兩側每隔4米種一棵樹，結果第一棵與最后一棵相距48米。現在將移栽成每隔6米種一棵，其中有幾棵不需要移栽？8．爸爸和媽媽都不是按雙休日休息，爸爸每工作3天輪休1天，媽媽每工作4天輪休1天，3月5日爸爸媽媽同時休息。按此計算，3，4兩個月爸爸和媽媽同時休息的有幾天？分別是哪幾天？9．工人師傅裝修房子，要用一種長方形的地磚鋪地，地磚長48cm，寬32cm，用這種地磚鋪一個正方形，至少需要多少塊？10．一張長18厘米，寬12厘米的長方形紙，要分成大小相等的正方形，且沒有剩余，最少可以分成多少個？如果用這張長方形紙擺一個最小的正方形，至少需要多少張？11．今年的3月10日正好是星期日，這是小明最高興的一天，因為她和爸爸媽媽一起去公園玩了一天。小明想：下次什么時候才能再和爸爸媽媽一起來玩呢？小明知道爸爸媽媽工作很忙，只有在三人同時休息的時候才能一起來玩。爸爸工作4天，休息1天；媽媽工作3天，休息1天；小明學習5天，休息2天（星期一～星期五學習，星期六、星期日休息），你能幫他算出來嗎？（要說出是幾月幾號？星期幾？）12．一段馬路長3600米，從起點到終點有一排電線桿，原來每兩根之間相距45米，現在要改為每兩根之間相距60米。一共有多少根電線桿不必移動？13．寫有1到100編號的燈100盞，亮著排成一排，每一次把編號是3的倍數的燈拉一次開關，第二次把編號是5的倍數的燈拉一次開關，那么亮著的燈還有多少盞？14．亮亮在一條長凳上做擺卡片游戲（如下圖），他用三種擺法，都正好從長凳的一端擺到另一端，而且沒有剩余，已知每張卡片長12厘米，寬8厘米，這條長凳最短是多少厘米？15．兩根一樣長的木材，把其中一根都鋸成10厘米長的小段，另一根都鋸成18厘米長的小段，兩根木材都正好用完。鋸得的兩種不同規格的小段至少共有多少段？16．曲妍有一袋果凍，無論是平均分給7個人、10個人還是4個人，都剩下1個。這袋果凍至少有多少個？2024-2025學年五年級數學下冊典型例題系列第三單元：最大公因數和最小公倍數的實際應用“拓展型”1．學校有一個三角形的花圃，三條邊的長度分別是48米，36米，28米。現在要在這三條邊是等距離擺花盆，要求每個角上都有一盆，并且相鄰兩盆距離盡量大，問一共要擺多少盆花？【答案】28盆【分析】求相鄰兩盆的最大距離，即是求48、36、28三個數的最大公因數，然后利用三角形的周長公式，把三條邊的長度加起來，求出三角形的周長，可以把三角形看作植樹問題中的封閉路線，間隔數＝周長÷間隔的距離，求出間隔數，即是求出一共要擺的花盆數。【詳解】48＝2×2×2×2×336＝2×2×3×328＝2×2×748、36、28三個數的最大公因數是：2×2＝4。即相鄰兩盆的最大距離是4米。（48＋36＋28）÷4＝112÷4＝28（盆）答：一共要擺28盆花。【點睛】此題的解題關鍵是利用求三個數的最大公因數的方法，根據三角形的周長公式，通過植樹問題中的實際情況，解決實際的問題。2．圖書室長88分米，寬72分米，高3米。學校計劃先給圖書室鋪地磚，然后粉刷圖書室的四壁和天花板。（1）若選用正方形地磚鋪滿整個圖書室（正好鋪滿且無切割），你建議學校采購的正方形地磚最大邊長是多少分米？（2）圖書室門窗面積為21.8平方米，請你計算出圖書室要粉刷的面積是多少？【答案】（1）8分米；（2）137.56平方米【分析】（1）要計算正方形地磚最大邊長是多少分米，就是求長88分米和寬72分米的最大公因數；（2）圖書室需要粉刷的面積＝長方體圖書室的表面積－底面積－門窗的面積；據此解答。【詳解】（1）2×2×2＝8（分米）因為88和72的最大公因數是8，所以正方形地磚最大邊長是8分米。答：學校采購的正方形地磚最大邊長是8分米。（2）88分米＝8.8米，72分米＝7.2米（8.8×7.2＋8.8×3＋7.2×3）×2－8.8×7.2－21.8＝（63.36＋26.4＋21.6）×2－8.8×7.2－21.8＝111.36×2－8.8×7.2－21.8＝222.72－63.36－21.8＝159.36－21.8＝137.56（平方米）答：圖書室要粉刷的面積是137.56平方米。【點睛】掌握短除法求最大公因數的方法并根據生活實際計算需要粉刷部分的面積是解答題目的關鍵。3．花店把72枝康乃馨和54枝百合花扎成花束出售。如果要使每束花中的康乃馨、百合花同樣的，最多可以分成多少束？每束花有多少枝？【答案】18束，7枝【解析】要使每束花中的康乃馨、百合花同樣的花束數量必須是72和54的公因數，求最多可以分成多少束，也就是求72和54的最大公因數，求出花束數量后，可以分別計算每束花中的康乃馨和百合花的數量，相加得到每束花有多少枝。【詳解】（束）（枝）（枝）（枝）答：最多可以分成18束，每束花有7枝。【點睛】本題考查的是最大公因數的問題，一般遇到最大、最多、至多的詞眼，大多考查的是最大公因數。4．張老師帶五（3）班部分學生去植樹，如果這些學生2人一組則多1人，如果3人一組則差2人，如果4人一組則差3人，請問。張老師最少帶了多少名學生？【答案】13名【分析】根據題意，“3人一組則差2人”可以理解為“3人一組則多1人”；“4人一組則差3人”可以理解為“4人一組多1人”，則原題中最少帶學生數量，就轉化為求2、3、4的最小公倍數，再加一人即可。【詳解】4＝2×2，2、3、4的最小公倍數，2×3×2＝1212＋1＝13（人）答：張老師最少帶了13名學生。【點睛】能將條件理解并有效轉化是解答本題的關鍵。注意掌握最小公倍數的求法。5．一個長方形的長和寬分別是18厘米和12厘米，用這樣的長方形拼一個正方形。正方形的邊長最少是多少？至少幾個這樣的長方形才能拼成正方形？【答案】畫圖見詳解；36厘米；6個【分析】根據題意，正方形的邊長長度最少等于18和12的最小公倍數，也就是求18和12的公有質因數與每個獨有質因數的連乘積；求出正方形的邊長再分別除以18和12，看能放幾排，幾列，然后相乘即可；據此解答。【詳解】18＝2×3×312＝2×2×3正方形的邊長是：2×2×3×3＝4×3×3＝12×3＝36（厘米）（36÷18）×（36÷12）＝2×3＝6（個）畫圖如下：答：正方形的邊長最少是36厘米，至少6個這樣的長方形才能拼成正方形.【點睛】此題考查了兩個數的最小公倍數的應用，可以用分解質因數的方法解答，也可以用短除法解答。6．一次聚餐共用了66個碗，每人一碗飯，兩人一碗菜，三人一碗湯，參加聚餐的有多少人？【答案】圈一圈見詳解；36人【分析】1、2和3的最小公倍數為6，把6個人分成一組，每組里面吃飯需要6÷1＝6個碗，吃菜需要6÷2＝3個碗，喝湯需要6÷3＝2個碗，用加法求出每組一共需要多少個碗，一共分成的組數＝碗的總個數÷每組需要碗的個數，最后用總組數乘每組人數求出聚餐的總人數，據此解答。【詳解】1、2和3的最小公倍數：1×2×3＝66÷1＋6÷2＋6÷3＝6＋3＋2＝11（個）66÷11×6＝6×6＝36（人）答：參加聚餐的有36人。【點睛】本題主要考查最小公倍數的應用，分析題意求出每組人數和一共分的組數是解答題目的關鍵。7．在跑道兩側每隔4米種一棵樹，結果第一棵與最后一棵相距48米。現在將移栽成每隔6米種一棵，其中有幾棵不需要移栽？【答案】10棵【分析】求出兩次間隔距離的最小公倍數是不需要移栽的距離，總長度÷不需要移栽的距離＝不需要移栽的段數，根據兩端都植，棵數＝段數－1，求出一側不需要移栽的棵數，乘2即可。【詳解】4＝2×26＝2×32×2×3＝12（米）48÷12＝4（段）4＋1＝5（棵）5×2＝10（棵）答：其中有10棵不需要移栽。【點睛】全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這幾個數的最小公倍數。8．爸爸和媽媽都不是按雙休日休息，爸爸每工作3天輪休1天，媽媽每工作4天輪休1天，3月5日爸爸媽媽同時休息。按此計算，3，4兩個月爸爸和媽媽同時休息的有幾天？分別是哪幾天？【答案】3天；3月5日；3月25日；4月14日【分析】爸爸每工作3天輪休1天，4天一個循環，最后一天休息；媽媽每工作4天輪休1天，5天一個循環，最后一天休息；要讓爸爸媽媽同時休息，找到4和5的最小公倍數20，即從3月5日算起第20天，爸爸、媽媽下一次同時休息，共有3天，分別是3月5日；3月25日；4月14日。【詳解】3＋1＝4（天）4＋1＝5（天）因為4和5是互質數，所以4和5的最小公倍數是；4×5＝20。即20天后，爸爸和媽媽同時休息。5＋20＝25（日）即3月25日爸爸和媽媽會再次同時休息。3月有31天，31－25＝6（天）20－6＝14（日）即4月14日爸爸和媽媽會再次同時休息。答：3，4兩個月爸爸和媽媽同時休息的有3天，分別是3月5日，3月25日，4月14日。【點睛】此題的解題關鍵是通過最小公倍數的求法以及時間的推算解決實際的問題。9．工人師傅裝修房子，要用一種長方形的地磚鋪地，地磚長48cm，寬32cm，用這種地磚鋪一個正方形，至少需要多少塊？【答案】6塊【分析】求出地板磚長和寬的最小公倍數是正方形圖案的最小邊長，根據正方形和長方形的公式，用正方形的面積÷地磚面積即可。【詳解】48＝2×2×2×2×332＝2×2×2×2×248和32的最小公倍數是2×2×2×2×3×2＝96。這個正方形的最小邊長是96cm。96×96÷（48×32）＝9216÷1536＝6（塊）答：至少需要6塊。【點睛】此題考查了有關最小公倍數的實際應用，一般用分解質因數法求最小公倍數。10．一張長18厘米，寬12厘米的長方形紙，要分成大小相等的正方形，且沒有剩余，最少可以分成多少個？如果用這張長方形紙擺一個最小的正方形，至少需要多少張？【答案】6個；6張【分析】（1）把長方形紙分成大小相等的正方形，且沒有剩余，那么正方形的邊長是長和寬的公因數，它們的最大公因數，就是正方形的最長邊長，此時分得正方形個數最少；求正方形的個數，先分別用長方形的長、寬除以正方形的最大邊長，求出長、寬各可以分幾個，再相乘就是最少可以分成的正方形的個數。（2）用長方形紙擺成最小的正方形，正方形邊長是長和寬的最小公倍數，據此計算出拼成的正方形的最小邊長；求長方形紙需要的張數，先分別用正方形的邊長除以長方形的長、寬，求出各需要幾張，再相乘就是至少需要的張數。【詳解】（1）18＝2×3×312＝2×2×318和12的最大公因數是：2×3＝6；即分成的正方形的最大邊長是6厘米；最少可以分成：（18÷6）×（12÷6）＝3×2＝6（個）（2）18和12的最小公倍數是：2×2×3×3＝36；即擺成的正方形的最小邊長是36厘米；至少需要：（36÷18）×（36÷12）＝2×3＝6（張）答：把這張長方形紙分成大小相等的正方形，且沒有剩余，最少可以分成6個；如果用這張長方形紙擺一個最小的正方形，至少需要6張。【點睛】本題考查了用最大公因數和最小公倍數的知識解決實際問題的能力。可以用分解質因數或短除法求兩個數的最大公因數和最小公倍數。11．今年的3月10日正好是星期日，這是小明最高興的一天，因為她和爸爸媽媽一起去公園玩了一天。小明想：下次什么時候才能再和爸爸媽媽一起來玩呢？小明知道爸爸媽媽工作很忙，只有在三人同時休息的時候才能一起來玩。爸爸工作4天，休息1天；媽媽工作3天，休息1天；小明學習5天，休息2天（星期一～星期五學習，星期六、星期日休息），你能幫他算出來嗎？（要說出是幾月幾號？星期幾？）【答案】3月30日，星期六【分析】爸爸工作4天，休息1天，即5天一休息；媽媽工作3天，休息1天，即4天一休息；求出爸爸和媽媽可以休息天數的最小公倍數，推算出在星期六或星期日的日期即可。【詳解】4＋1＝5（天）3＋1＝4（天）5×4＝20（天）20÷7＝2（周）……6（天）20天后剛好是星期六。10＋20＝30（日）答：下次3月30日，星期六，小明能再和爸爸媽媽一起來玩。【點睛】兩數互質，最小公倍數是兩數的積。12．一段馬路長3600米，從起點到終點有一排電線桿，原來每兩根之間相距45米，現在要改為每兩根之間相距60米。一共有多少根電線桿不必移動？【答案】21根【分析】求出兩次間距的最小公倍數，距離處于最小公倍數的電線桿不用動，用馬路總長÷最小公倍數即可。【詳解】45＝3×3×560＝2×2×3×52×2×3×3×5＝180（米）3600÷180＝20（根）20根＋1根＝21（根）答：一共有21根電線桿不必移動。【點睛】全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這幾個數的最小公倍數。13．寫有1到100編號的燈100盞，亮著排成一排，每一次把編號是3的倍數的燈拉一次開關，第二次把編號是5的倍數的燈拉一次開關，那么亮著的燈還有多少盞？【答案】盞【分析】因為燈在開始的時候是亮著的，所以拉了兩次或者沒拉的燈最后還是亮的，先分別求出3的倍數的個數，5的倍數的個數，以及3和5的公倍數的個數，然后求出沒有拉過的燈的個數，加上拉了兩次的燈的數量，得到最終亮著的個數。【詳解】第一次拉了33盞；（盞）第二次拉了20盞；兩次都拉的有6盞；（盞）被拉過的有47盞；（盞）沒有被拉過的有53盞；最后亮著的燈一共為（盞）答：亮著的燈還有59盞。【點睛】本題考查的是二元容斥問題，并且與奇偶性的問題相結合，可以利用韋恩圖求解。14．亮亮在一條長凳上做擺卡片游戲（如下圖），他用三種擺法，都正好從長凳的一端擺到另一端，而且沒有剩余，已知每張卡片長12厘米，寬8厘米，這條長凳最短是多少厘米？【答案】120厘米【分析】根據題意可知本題就是求12，8，8＋12＝20的最小公倍數，由最小公倍數的意義可知：最小公倍數是幾個數公有的質因數和