““深窺自己的心，而后發覺一切的奇跡在你自己?！薄癉eepglimpseoftheirheart,andthenfindallthemiraclesinyourself.”2024-2025學年五年級數學下冊典型例題系列期中復習專題二：長方體和正方體篇【四大篇目】專題解讀本專題是期中復習專題二：長方體和正方體篇。本部分內容包括長方體和正方體的棱長、表面積、體積等，考點涵蓋較廣，其中部分內容和題型比較復雜，建議作為期中復習核心內容進行講解，一共劃分為四大篇目，歡迎使用。目錄導航TOC\o"1-1"\h\u【第一篇】長方體和正方體的概念認識與棱長問題【知識總覽】 4【考點一】長方體的認識 5【考點二】正方體的認識 5【考點三】長方體的表面展開圖 6【考點四】正方體的表面展開圖 7【考點五】長方體的棱長及實際應用 7【考點六】正方體的棱長及實際應用 8【考點七】長方體和正方體棱長和的綜合應用 10【第二篇】長方體和正方體的表面積【知識總覽】 11【考點一】長方體的表面積及生活實際應用 11【考點二】長方體的展開圖與表面積 12【考點三】正方體的表面積及生活實際應用 13【考點四】棱長擴倍問題 13【考點五】不規則或組合立體圖形的表面積 14【考點六】染色問題（表面涂色的正方體） 15【第三篇】長方體和正方體的表面積增減變化問題【知識總覽】 16【考點一】切片問題 16【考點二】拼接問題 17【考點三】高的變化問題 18【第四篇】長方體和正方體的體積容積問題【知識總覽】 20【考點一】體積和容積單位的認識與選擇 21【考點二】體積和容積單位的進率與換算 21【考點三】長方體的體積（容積）及實際應用 22【考點四】正方體的體積（容積）及實際應用 22【考點五】體積的擴倍問題 23【考點六】折疊問題 24【考點七】等積變形問題 24【考點八】排水法求不規則物體的體積 26【考點九】不規則及組合立體圖形的體積 27【第一篇】長方體和正方體的概念認識與棱長問題【知識總覽】一、長方體的認識。1.長方體的特征：注意：長方體的6個面都是長方形，特殊情況有兩個面是正方形。2.長方體的長、寬、高：相交于一個頂點的三條棱分別叫做長方體的長、寬、高。二、正方體的認識。1.正方體的特征：（1）正方體的6個面都是正方形，且大小完全相同。（2）正方體有12條棱，且正方體的12條棱長度都相等。2.正方體和長方體的關系：總結：正方體是特殊的長方體。三、長方體的棱長。1.棱長和一般表示的是12條棱的長度之和。2.長方體的棱長和=4×長+4×寬+4高=4×（長+寬+高）。3.根據棱長和公式反求長、寬、高。長=棱長和÷4-寬-高寬=棱長和÷4-長-高高=棱長和÷4-長-寬四、正方體的棱長。1.正方體的棱長和=12×棱長；2.反求棱長，棱長=棱長和÷12?！究键c一】長方體的認識。【典型例題1】長方體的認識。長方體。(1)長方體有()個面，每個面的形狀是()，()的面是完全相同的。(2)長方體有()條棱，()的棱長度相等。(3)長方體有()個頂點。(4)長方體的12條棱可以分成()組，相交于同一頂點的三條棱的長度()?！緦毩暋坷蠋煘橥瑢W們準備了一些小棒（有多余），用這些小棒和橡皮泥做一個長方體框架。這個長方體框架的長是()cm、寬和高都是()cm。小棒長度根數6cm15cm53cm9【考點二】正方體的認識?！镜湫屠}】正方體有()個頂點，()個面，()條棱。【對應練習】小學階段學到了很多數學知識，這些知識之間有著密切的聯系。如圖，如果A表示長方體，那么B可以表示正方體；如果A表示等腰三角形，那么B可以表示()；如果A表示()，那么B可以表示()。【考點三】長方體的表面展開圖?！镜湫屠}】下圖中能折成長方體的有()個。A．1 B．2 C．3 D．4【對應練習】1．下面哪個圖形沿虛線折疊后不能圍成長方體()。A． B．C． D．2．制作一個長方體，下面幾種規格的紙板，選()組能組成長方體。（單位：厘米）A．①②③④⑤和⑥ B．②③⑤⑥⑦和⑧ C．①③④⑥⑦和⑧ D．①②③④⑦和⑧【考點四】正方體的表面展開圖?！镜湫屠}】下面三個圖形中，不是正方體表面展開圖的是()。A． B． C．【對應練習】1．在下面的圖形中，不是正方體展開圖的是()。A．B． C． D．2．將下圖立方體盒子展開，以下各示意圖中有可能是它的展開圖的是()。A． B． C． D．【考點五】長方體的棱長及實際應用。【典型例題1】棱長和。用鐵絲制作一個長3分米、寬2分米，高1分米的長方體框架，接口處需要另費0.4分米，至少需要()分米的鐵絲。【典型例題2】反求棱長。用一根84cm長的鐵絲恰好可以焊成一個長方體框架?？蚣荛L10cm，寬6cm，高()cm?！镜湫屠}3】實際應用。母親節到了，小悅想把送給媽媽的禮品盒包裝得更精美，按照右圖的方法捆扎，打結處需要20厘米，捆扎這個禮品盒一共需要多少厘米絲帶？

【對應練習】1．小賣部要把一個長300厘米，寬50厘米，高120厘米的長方體玻璃柜臺各邊都安上角鐵，這個柜臺需要多少米角鐵？2．為迎接“五一”國際勞動節，工人叔叔要在禮堂的四周裝上彩燈（地面的四邊不裝）。已知禮堂長90米，寬55米，高22米，工人叔叔至少需要多長的彩燈線？3．有一個禮品盒長25厘米，寬12厘米，高8厘米，捆扎方法如下。如果接頭處的彩帶長30厘米，捆扎一個這樣的禮品盒，至少需要多少厘米長的彩帶？【考點六】正方體的棱長及實際應用?！镜湫屠}1】棱長和。一個正方體的棱長是3厘米，這個正方體所有棱長的和是()厘米?！镜湫屠}2】反求棱長。用一根長36厘米的鐵絲圍成一個正方體框架，這個正方體框架的棱長是()厘米?！镜湫屠}3】實際應用。五一期間，外地游客小明到“廣州市場步行街”買到一個禮物，這個禮物的禮盒是一個正方體，這個禮盒用打包帶按如圖所示方法捆起來（打結處打包帶長20厘米），一共要用多少厘米的打包帶？【對應練習】1．李老師要用木條做一個棱長為20厘米的正方體燈籠的框架，至少需要多長的木條？2．小紅買了一個棱長6分米的儲物箱，她要在每條棱上粘膠帶，若每米膠帶2.5元，至少需要買多少元的膠帶？3．五一期間，外地游客小明到“廣州市場步行街”買到一個禮物，這個禮物的禮盒是一個正方體，這個禮盒用打包帶按如圖所示方法捆起來（打結處打包帶長20厘米），一共要用多少厘米的打包帶？【考點七】長方體和正方體棱長和的綜合應用。【典型例題】一個棱長6分米的正方體鋼塊，把它融化后鍛造成寬2.5分米，高3分米的長方體鋼條，能鍛造多長？【對應練習】1.用一根鐵絲圍成一個長方體，長是12分米，寬是8分米，高是4分米。如果用這根鐵絲改圍成一個正方體，那么這個正方體的棱長是多少分米？2.一根鐵絲可以做成一個長11cm，寬7cm，高6cm的長方體模型，如果用它做成一個正方體模型，那么這個正方體的棱長是多少cm？【第二篇】長方體和正方體的表面積【知識總覽】一、長方體的表面積。1.長方體的表面積=2×（長×寬+長×高+寬×高），用字母表示為S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。2.已知表面積，反求長、寬、高：方程法。二、正方體的表面積。正方體的表面積=6×棱長×棱長，用字母表示為：S=6a2。三、長方體和正方體的棱長擴倍問題。1.如果正方體的棱長擴大到原來的n倍，那么它的表面積就擴大到原來的n2倍。例如：若正方體的棱長擴大到原來的3倍，則它的表面積就擴大到原來的9倍。如果長方體的長、寬、高同時擴大到原來的n倍，那么它的表面積就擴大到原來的n2倍。四、染色問題。三面涂色的在頂點，兩面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，沒有涂色的在里面：染三個面的小正方體數量：8個。染兩個面的小正方體數量：12×（a-2）。染一個面的小正方體數量：6×（a-2）×（a-2）。沒有染色的面的小正方體數量：（a-2）×（a-2）×（a-2）?！究键c一】長方體的表面積及生活實際應用?！镜湫屠}】一個長方體的餅干盒，長是10厘米、寬是6厘米、高是12厘米。如果圍著它貼一圈商標紙（上、下面不貼），這張商標紙的面積至少多少平方厘米？【對應練習】1．一間長8米、寬6米、高3米的辦公室需要四壁和天花板粉刷，已知門窗共32平方米，需要粉刷的面積有多大？2．學校要粉刷一間教室的四壁和天花板，已知教室的長是8米，寬6米，高4米，門窗的面積25平方米除外，如果每平方米需要5元的涂料費。粉刷這間教室花費多少錢？【考點二】長方體的展開圖與表面積?！镜湫屠}】下圖是長方體盒子的展開圖，原來長方體盒子的表面積是多少平方米？【對應練習】如圖是長方體的展開圖，求這個長方體的表面積?！究键c三】正方體的表面積及生活實際應用。【典型例題】一個正方體玻璃魚缸的棱長為3分米，制作這個魚缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面沒有蓋。）【對應練習】1．制作一個棱長為2分米的正方體燈籠框架，至少需要多少分米長的木條？若在燈籠的各個面糊上彩紙（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩紙？2．中國是茶的故鄉，也是茶文化的發源地，自古以來，茶就被譽為中華民族的“國飲”。下圖是一種正方體茶葉禮品包裝盒，包裝盒上的彩帶總長是128厘米（彩帶打結處忽略不計）。做這個禮品包裝盒至少需要多少平方厘米的紙板？【考點四】棱長擴倍問題。【典型例題】1.一個正方體的棱長擴大2倍，表面積就擴大()倍。2.一個長方體如果長、寬、高都分別擴大2倍，那么它的表面積擴大()倍。A．2

B．4

C．8【對應練習】1.長方體的長、寬、高都擴大3倍，那么表面積擴大()。A．3倍 B．9 C．27倍2.一個正方體的棱長擴大3倍，它的表面積就()。A．擴大9倍 B．擴大6倍 C．擴大27倍【考點五】不規則或組合立體圖形的表面積?！镜湫屠}】把一個棱長為3分米的正方體木塊至上而下（如圖）切去一個長方體，剩下木塊的表面積是多少？【對應練習】1.求下面幾何形體的表面積。（單位：厘米）2.計算下面幾何體的表面積?！究键c六】染色問題（表面涂色的正方體）?！镜湫屠}】如圖是由7個相同的小正方體組成的一個幾何體，如果把這個幾何體表面都涂成藍色（底面不涂），只有3個面涂色的小正方體有()個?！緦毩暋?．用棱長1cm的小正方體拼成下圖的正方體后，把它們的表面分別涂上顏色，則兩面涂色的小正方體有()個。

2．在一塊棱長為16cm的正方體蛋糕表面涂上奶油（底面不涂），然后切成棱長為4cm的小正方體蛋糕，在這些小正方體蛋糕中，2面涂奶油的有()塊。【第三篇】長方體和正方體的表面積增減變化問題【知識總覽】長方體和正方體的表面積增減變化問題主要有三種，一是切片問題，表面積會相應增加，二是是拼接問題，表面積會相應減少，三是高的變化引起的表面積變化。1.切片問題。（1）切一刀增加兩個切面，沿著不同的方向切，多出的表面積一般是不一樣的，其中正方體比較特殊，它的表面積的增減變化都是都是正方形在進行變化，相對比較簡單。（2）刀數×2=切面個數。2.拼接問題。（1）長方體或正方體的拼接會使表面積減少，兩個正方體的拼接，有兩個重合面，會減少兩個正方形的面積，同理，三個正方體的拼接會減少四個正方形的面積，與切片問題類似，可以先判斷刀數，再根據刀數去推正方形的個數，但是長方體的拼接要根據不同的拼接面來判斷具體減少的面積。（2）段數-1=刀數；刀數×2=切面個數。3.高的變化引起的表面積變化。（1）正方體高的變化，即棱長的增減變化，會引起正方體側面積的增減變化。（2）長方體高的變化，會引起長方體側面積的增減變化，長方體的側面指的是前后左右四個面?！究键c一】切片問題?！镜湫屠}1】長方體和正方體的切割。一個正方體切成兩個長方體，表面積增加了8平方厘米，原正方體的表面積是()平方厘米?！镜湫屠}2】表面積的最值問題。把一個長9cm、寬8cm、高6cm的長方體木塊截成兩個相同的長方體，表面積最多增加()cm2。【典型例題3】切片問題綜合。一根長1米的長方體木料鋸成2段后，表面積增加了6平方分米。這根木料的體積是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，這根木料重多少千克？【對應練習】1.一個表面積是60cm2的長方體按下圖所示切三刀，分割成()個小長方體，這些小長方體的表面積之和比原來的長方體增加()cm2。

2.一個長方體長24cm，寬10cm，高6cm。如果把它切成2個完全一樣的長方體，表面積增加最小是()cm2，最大是()cm2。3.一根長12分米的木料，按下圖橫截成3段后表面積增加了100平方分米。原來這根木料的體積是多少立方分米？【考點二】拼接問題?！镜湫屠}1】正方體的拼接。如圖：(1)兩個完全相同的正方體拼在一起，表面積減少()個面，三個正方體拼在一起減少()個面；每增加一個正方體減少()面。(2)n個小正方體拼在一起減少()面。(3)如果小正方體的棱長是1厘米，5個小正方體如上圖一樣拼在一起表面積是()平方厘米，n個小正方體拼在一起表面積是()平方厘米?！镜湫屠}2】長方體的拼接與表面積的最值問題。用三個長20厘米，寬15厘米，高10厘米的小長方體，擺成一個大長方體，大長方體的表面積最大是()平方厘米。【典型例題3】拼接問題綜合。用4個完全一樣的小正方體積木拼成一個長方體（如下圖所示），表面積減少了32平方厘米，每個小正方體的體積是多少？拼成的這個長方體的底面積是多少？【對應練習】1.小明有30個棱長是1厘米的小正方體，用這些小正方體拼成一個最大的正方體后，還剩()個小正方體。拼成的這個大正方體的表面積是()平方厘米。2.將長、寬、高分別為5cm、4cm、3cm的兩個完全相同的長方體拼成一個新的長方體，則拼成后的長方體表面積最大是()，最小是()。3.把2個長、寬、高分別是10厘米、8厘米、6厘米的長方體，拼成一個表面積最小的長方體，這個長方體的表面積是多少平方厘米？體積是多少立方厘米？【考點三】高的變化問題。【典型例題1】高的減少引起的表面積變化。一個長方體，如果高減少，就變成了一個棱長的正方體。那么長方體變成正方體后的表面積減少了多少？【典型例題2】高的增加引起的表面積變化。一個長方體，如果高增加4厘米，那么就變成一個正方體，這時表面積比原來增加128平方厘米，原來長方體的表面積是多少平方厘米？【典型例題3】高的變化問題綜合。1.一個長方體（如圖），如果高增加4厘米，就變成了棱長是10厘米的正方體。體積增加了多少立方厘米？2.一個長方體，如果高減少3厘米就成了一個正方體，表面積比原來減少84平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？【對應練習】1.一個正方體，它的高增加2厘米后就成了長方體，這個長方體的表面積比原正方體表面積增加了96平方厘米，求原正方體的表面積。2.一個長方體（如圖），如果高增加4厘米，就變成棱長10厘米的正方體，求原來長方體的表面積是多少平方厘米？【第四篇】長方體和正方體的體積容積問題【知識總覽】一、體積及容積單位。1.容積：容積是指物體所能容納物體的體積大小，常見的容積單位有：升（L）、毫升（mL）。2.體積：體積是指物體本身所占空間的大小，常見的體積單位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相當于一個手指尖的體積。由于測量方法的不同，體積一般大于容積。二、體積及容積單位換算。1.體積及容積單位進率：1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3；。2.單位換算：高級單位換算為低級單位乘進率，低級單位換算成高級單位除以進率。三、長方體的體積。1.長方體的體積=長×寬×高，用字母表示V=abh。2.長=體積÷寬÷高，a=V÷b÷h。3.寬=體積÷長÷高，b=V÷a÷h。4.高=體積÷長÷寬，h=V÷a÷b。四、正方體的體積。正方體的體積=棱長×棱長×棱長，用字母表示V=a×a×a=a3，讀作“a的立方”表示3個a相乘。五、體積的擴倍問題。長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，體積就會擴大倍數的立方倍。六、排水法求不規則物體的體積。形狀不規則的物體可以用排水法求體積：排水法的公式：V物體=V現在－V原來；也可以V物體=S×(h現在-h原來)；V物體=S×h升高?！究键c一】體積和容積單位的認識與選擇?！镜湫屠}】1．（體積單位）在括號里填上合適的單位。(1)一臺冰箱所占的空間大約是1.2()。(2)一本數學書封面的面積大約是280()。2．（容積單位）在括號里填上“升”或“毫升”。一輛汽車油箱的容量是50()

一瓶眼藥水大約13()一袋牛奶大約200()

一個電飯煲容量是4()【對應練習】1．在括號里填上合適的單位。一臺冰柜的體積是240()

一塊橡皮的體積大約是6()小米身高126()

一瓶墨水有60()2．在括號里填上適當的單位名稱。旗桿高15()

運貨集裝箱的體積約是40()一個油箱的容積16()

一瓶墨水約60()一塊橡皮的體積的是3()

一個教室面積80()【考點二】體積和容積單位的進率與換算?！镜湫屠}】在括號里填上合適的數。40dm3＝()cm3

850L＝()m36400mL＝()L

0.26dm3＝()L＝()mL【對應練習】1．單位換算。2.5升＝()毫升

2.08立方分米＝()升＝()毫升0.24立方米()升

5.6升＝()升()毫升2．在（

）里填上合適的數。1.5立方分米＝()立方厘米

4750立方分米＝()立方米

0.28升＝()毫升＝()立方厘米8070毫升＝()立方分米

0.67立方米＝()立方分米＝()升【考點三】長方體的體積（容積）及實際應用。【典型例題】1．用一根長60厘米的鐵絲做成一個長方體框架，長是7厘米，寬是5厘米，這個長方體的高是多少厘米？體積是多少立方厘米？2．一個長方體的油箱從里面量長9分米，寬8分米，高1.8分米，這個油箱的容積是多少升？【對應練習】1．學校要砌一道圍墻長60米，寬0.24米，高2米的墻，每立分米需要525塊磚，學校需要買多少塊這樣的磚？2．一個無蓋長方體鐵皮水箱，長12分米，寬5分米，高2分米。（1）做這個水箱最少需要多大面積的鐵皮？（2）這個水箱最多可以裝多少升水？【考點四】正方體的體積（容積）及實際應用?！镜湫屠}1】棱長5米的正方體，它的表面積是()m2，體積是()m3。【典型例題2】一塊正方體石料的棱長為6分米，如果1立方分米石料的質量是2.7千克，這塊石料的質量是多少千克？【對應練習】1.一個正方體水槽，從里面量得棱長60厘米，往里面倒入198升水，水面離水槽口還有多少厘米？2.紙盒廠生產一種正方體紙板箱，它的棱長和為72厘米，做這樣一個紙板箱體積是多少立方厘米？【考點五】體積的擴倍問題?！镜湫屠}】1.一個正方體棱長擴大到原來的2倍，表面積擴大原來的()倍，體積擴大到原來的()倍。2.一個長方體的長、寬、高都擴大3倍，它的表面積擴大到原來的()倍，體積擴大到原來的()倍?！緦毩暋?.一個正方體的棱長是4cm，現將棱長擴大為原來的3倍，它的表面積擴大為原來的()倍，擴大后的正方體體積是()。2.長方體的長、寬、高都擴大到原來的2倍，它的表面積擴大()倍，體積擴大()倍。【考點六】折疊問題?！镜湫屠}】一塊長、寬的長方形鐵皮（如下圖），從四個角各切掉一個邊長的正方形，然后做成盒子。（1）這個盒子用了多少平方厘米的鐵皮？（2）它的容積是多少？【對應練習】在一張長25分米、寬20分米的長方形鐵皮的四個角上各剪去一個邊長是5分米的正方形，然后折成一個長方體無蓋鐵盒，這個鐵盒的容積是多少？（鐵皮厚度忽略不計）【考點七】等積變形問題?！镜湫屠}1】一個正方體實心鐵塊的棱長總和是48分米，現將它熔鑄成一個底面積是32平方分米的實心長方體鐵塊，熔鑄成的實心長方體鐵塊的高是多少分米？【典型例題2】一個正方體玻璃缸，棱長6分米，用它裝滿水，再把水全部倒入一個底面積為30平方分米，高為10分米的長方體水槽中，水深多少？【典型例題3】如下圖所示，密閉的容器中裝有5厘米深的水。如果以這個容器的右側面為底面把容器豎起來，這時水深多少厘米？【對應練習】1.把一塊棱長為30厘米的正方體鐵塊，熔鑄成一個寬4.5分米，高1.2分米的長方體，這個長方體鐵塊的長是多少厘米？（損耗不計）2.一個棱長是12分米的正方體魚缸，里面裝滿水，把水倒入一個長為18分米，寬為10分米，高為12分米的長方體魚缸里，水有多深？（魚缸厚度忽略不計）3.有一個長方體容器，長40厘米，寬20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把這個容器蓋緊，再朝左豎起來放置，這時水深是多少厘米？【考點八】排水法求不規則物體的體積?！镜湫屠}1】在一個底面長20厘米，寬15厘米的長方體水箱中，水面高度為10厘米，一塊石頭后水面上升到14厘米。這塊石頭的體積是多少？【典型例題2】一個長為25厘米，寬為18厘米的長方形玻璃缸，水深20厘米，水下有一個棱長為3厘米的正方體鐵塊，若取出鐵塊，現在水深多少厘米？【典型例題3】科學實驗課上，樂樂先往一個棱長為2分米的正方體玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一塊長15厘米、寬10厘米，高8厘米的鐵塊。請問。放入鐵塊后，玻璃容器里的水會溢出嗎？如果會，溢出的水有多少升？【對應練習】1.在一個長16厘米，寬16厘米，高10厘米的玻璃缸里放一個鐵球后再注滿水淹沒它，然后取出鐵球，這時水面下降了3厘米。鐵球的體積是多少？2.一個長方體水族箱從里面量長，寬。如果每條金魚的體積是，向水族箱中放入條金魚(水沒有溢出)后，水族箱中的水位上升了多少厘米？3.一個長方體玻璃缸（如圖），水深6分米。如果投入一塊邊長5分米的正方體鐵塊，缸里的水會溢出多少升？【考點九】不規則及組合立體圖形的體積?！镜湫屠}】工程隊要澆筑一個建筑構件（如圖），這個建筑構件的體積是多少？【對應練習】如圖所示，一個長方體物體的底面是正方形，中間是空心的正方形。求這個物體的體積。（請寫出主要過程）““深窺自己的心，而后發覺一切的奇跡在你自己。”“Deepglimpseoftheirheart,andthenfindallthemiraclesinyourself.”2024-2025學年五年級數學下冊典型例題系列期中復習專題二：長方體和正方體篇【四大篇目】專題解讀本專題是期中復習專題二：長方體和正方體篇。本部分內容包括長方體和正方體的棱長、表面積、體積等，考點涵蓋較廣，其中部分內容和題型比較復雜，建議作為期中復習核心內容進行講解，一共劃分為四大篇目，歡迎使用。目錄導航TOC\o"1-1"\h\u【第一篇】長方體和正方體的概念認識與棱長問題【知識總覽】 4【考點一】長方體的認識 5【考點二】正方體的認識 6【考點三】長方體的表面展開圖 7【考點四】正方體的表面展開圖 9【考點五】長方體的棱長及實際應用 12【考點六】正方體的棱長及實際應用 15【考點七】長方體和正方體棱長和的綜合應用 18【第二篇】長方體和正方體的表面積【知識總覽】 19【考點一】長方體的表面積及生活實際應用 19【考點二】長方體的展開圖與表面積 21【考點三】正方體的表面積及生活實際應用 22【考點四】棱長擴倍問題 23【考點五】不規則或組合立體圖形的表面積 25【考點六】染色問題（表面涂色的正方體） 26【第三篇】長方體和正方體的表面積增減變化問題【知識總覽】 28【考點一】切片問題 28【考點二】拼接問題 31【考點三】高的變化問題 36【第四篇】長方體和正方體的體積容積問題【知識總覽】 40【考點一】體積和容積單位的認識與選擇 41【考點二】體積和容積單位的進率與換算 43【考點三】長方體的體積（容積）及實際應用 44【考點四】正方體的體積（容積）及實際應用 46【考點五】體積的擴倍問題 48【考點六】折疊問題 51【考點七】等積變形問題 52【考點八】排水法求不規則物體的體積 54【考點九】不規則及組合立體圖形的體積 56【第一篇】長方體和正方體的概念認識與棱長問題【知識總覽】一、長方體的認識。1.長方體的特征：注意：長方體的6個面都是長方形，特殊情況有兩個面是正方形。2.長方體的長、寬、高：相交于一個頂點的三條棱分別叫做長方體的長、寬、高。二、正方體的認識。1.正方體的特征：（1）正方體的6個面都是正方形，且大小完全相同。（2）正方體有12條棱，且正方體的12條棱長度都相等。2.正方體和長方體的關系：總結：正方體是特殊的長方體。三、長方體的棱長。1.棱長和一般表示的是12條棱的長度之和。2.長方體的棱長和=4×長+4×寬+4高=4×（長+寬+高）。3.根據棱長和公式反求長、寬、高。長=棱長和÷4-寬-高寬=棱長和÷4-長-高高=棱長和÷4-長-寬四、正方體的棱長。1.正方體的棱長和=12×棱長；2.反求棱長，棱長=棱長和÷12。【考點一】長方體的認識?！镜湫屠}1】長方體的認識。長方體。(1)長方體有()個面，每個面的形狀是()，()的面是完全相同的。(2)長方體有()條棱，()的棱長度相等。(3)長方體有()個頂點。(4)長方體的12條棱可以分成()組，相交于同一頂點的三條棱的長度()?！敬鸢浮?1)6長方形相對(2)12相對(3)8(4)4不相等【分析】根據長方體的特征，長方體有6個面，每個面都是長方形（特殊的長方體有兩個相對的面是正方形），長方體中相對的面完全相同；它有12條棱，相對的棱的長度相等；長方體有4條長、4條寬、4條高，相交于同一頂點的三條棱就是長方體的長、寬和高；三條棱相交的點就是頂點，據此解答即可?！驹斀狻浚?）長方體有6個面，每個面的形狀是長方形，相對的面是完全相同的。（2）長方體有12條棱，相對的棱長度相等。（3）長方體有8個頂點。（4）長方體的12條棱可以分成4組，相交于同一頂點的三條棱的長度不相等?！军c睛】本題考查長方體，明確長方體的特征是解題的關鍵。【對應練習】老師為同學們準備了一些小棒（有多余），用這些小棒和橡皮泥做一個長方體框架。這個長方體框架的長是()cm、寬和高都是()cm。小棒長度根數6cm15cm53cm9【答案】53【分析】長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等，按長度可分為三組，每一組有4條棱，據此分析。【詳解】同樣長度的小棒最少需要4根，6cm的小棒只有1根，無法用，可選5厘米的小棒4根做長方體的長，3厘米的小棒8根做長方體的寬和高?！军c睛】關鍵是熟悉長方體的特征?！究键c二】正方體的認識?！镜湫屠}】正方體有()個頂點，()個面，()條棱。【答案】8612【詳解】根據正方體的特征可知：正方體有8個頂點，6個面，12條棱?！緦毩暋啃W階段學到了很多數學知識，這些知識之間有著密切的聯系。如圖，如果A表示長方體，那么B可以表示正方體；如果A表示等腰三角形，那么B可以表示()；如果A表示()，那么B可以表示()?！敬鸢浮康冗吶切伍L方形正方形【分析】長方體和正方體的關系是長方體包括正方體，正方體是特殊的長方體；等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等邊三角形；長方形和正方形的關系是長方形包括正方形，正方形是特殊的長方形；類似關系還有方程是含有未知數的等式，等式是含有等號的式子等，據此填空?！驹斀狻咳缟蠄D，如果A表示等腰三角形，那么B可以表示等邊三角形；如果A表示長方形，那么B可以表示正方形?！军c睛】關鍵是熟練理解并掌握所學知識的意義與它們之間的聯系。【考點三】長方體的表面展開圖?！镜湫屠}】下圖中能折成長方體的有()個。A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據長方體的特征，長方體的6個面都是長方形（同時特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對面的面積相等。據此解答即可。【詳解】根據長方體展開圖的特征可知：能圍成長方體；不能圍成長方體。則能折成長方體的有3個。故答案為：C【點睛】此題考查的目的是理解掌握長方體展開圖的特征及應用?！緦毩暋?．下面哪個圖形沿虛線折疊后不能圍成長方體()。A． B．C． D．【答案】C【分析】根據長方體的特征，長方體的6個面都是長方形（同時情況有兩個相對的面是正方形），相對面的面積相等。據此解答即可?！驹斀狻緼．根據長方體展開圖的特征可知：沿虛線折疊后能圍成長方體；B．沿虛線折疊后能圍成長方體；C．不能圍成長方體，因為它相對的面不相等；D．沿虛線折疊后能圍成長方體。故答案為：C【點睛】此題考查的目的是理解掌握長方體展開圖的特征及應用。2．制作一個長方體，下面幾種規格的紙板，選()組能組成長方體。（單位：厘米）A．①②③④⑤和⑥ B．②③⑤⑥⑦和⑧ C．①③④⑥⑦和⑧ D．①②③④⑦和⑧【答案】C【分析】長、寬、高均不相等的長方體的表面展開圖的特征是對面是相同的長方形（特殊情況，中有兩個面是正方形），據此即可先出6個長方形（其中最多選兩個正方形）組成長方體?！驹斀狻咳鐖D：選①③④⑥⑦和⑧組能組成長方體。故答案為：C【點睛】此題主要是考查長方體展開圖的特征?！究键c四】正方體的表面展開圖。【典型例題】下面三個圖形中，不是正方體表面展開圖的是()。A． B． C．【答案】A【分析】根據正方體展開圖的類型，主要分為“1－4－1”型，“2－3－1”型，“2－2－2”型，“3－3”型，據此判斷解答即可?！驹斀狻緼．不屬于正方體展開圖的類型，所以不是正方體的展開圖；B．屬于“1－4－1”型，是正方體的展開圖；C．屬于“1－4－1”型，是正方體的展開圖；故答案為：A【對應練習】1．在下面的圖形中，不是正方體展開圖的是()。A．B． C． D．【答案】B【分析】11種正方體展開圖（1）“1－4－1”型：中間4個一連串，兩邊各一隨便放。（2）“2－3－1”型：二三緊連錯一個，三一相連一隨便。（3）“2－2－2”型（4）“3－3”型【詳解】根據上面的分析：A．屬于“2－3－1”型；B．沒有適合的，有兩個面重合了；C．屬于“1－4－1”型；D．屬于“1－4－1”型。故答案為：B2．將下圖立方體盒子展開，以下各示意圖中有可能是它的展開圖的是()。A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察立方體盒子，“”與“”相鄰，“”與兩個“”都相鄰，且含有標記的三個面相交于一個頂點，據此分析各選項正方體2－3－1型展開圖，即可得出結論。【詳解】A．折成立方體，含有標記的三個面不相交于一個頂點，“”與“”相對，排除；B．折成立方體，含有標記的三個面不相交于一個頂點，“”與其中一個“”相對，排除；C．折成立方體，含有標記的三個面相交于一個頂點，與原立方體符合；D．折成立方體，含有標記的三個面不相交于一個頂點，“”與其中一個“”相對，排除。故答案為：C【考點五】長方體的棱長及實際應用?！镜湫屠}1】棱長和。用鐵絲制作一個長3分米、寬2分米，高1分米的長方體框架，接口處需要另費0.4分米，至少需要()分米的鐵絲?！敬鸢浮?4.4【分析】長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，接口處需要另費0.4分米，那需要的鐵絲長度就等于長方體的棱長總和加接口處所耗費的鐵絲長度，據此解答?！驹斀狻浚ǚ置祝┘粗谱鬟@個長方體框架至少需要24.4分米的鐵絲?！镜湫屠}2】反求棱長。用一根84cm長的鐵絲恰好可以焊成一個長方體框架。框架長10cm，寬6cm，高()cm?！敬鸢浮?【分析】由題意可知，長方體框架的棱長和是84cm。由“長方體的棱長和＝（長＋寬＋高）×4”可推導出：高＝長方體的棱長和÷4－長－寬。據此求高可列式為84÷4－10－6?！驹斀狻?4÷4－10－6＝21－10－6＝11－6＝5（cm）所以高是5cm?！军c睛】解決此題的關鍵是明確長方體的12條棱中有4條長、4條寬、4條高?！镜湫屠}3】實際應用。母親節到了，小悅想把送給媽媽的禮品盒包裝得更精美，按照右圖的方法捆扎，打結處需要20厘米，捆扎這個禮品盒一共需要多少厘米絲帶？

【答案】340厘米【分析】觀察圖片可知，絲帶的長度＝4條高＋2條長＋2條寬＋打結處，據此解答即可?！驹斀狻?0×2＋40×2＋30×4＋20＝120＋80＋120＋20＝340（厘米）答：捆扎這個禮品盒一共需要340厘米絲帶。【點睛】本題考查了長方體棱長和公式的靈活應用，要熟練掌握公式?！緦毩暋?．小賣部要把一個長300厘米，寬50厘米，高120厘米的長方體玻璃柜臺各邊都安上角鐵，這個柜臺需要多少米角鐵？【答案】18.8米【分析】求角鐵的長度就是求長方體的總棱長，根據長方體的總棱長＝（a＋b＋h）×4，據此代入數值進行計算即可?！驹斀狻浚?00＋50＋120）×4＝（350＋120）×4＝470×4＝1880（厘米）1880厘米＝18.8米答：這個柜臺需要18.8米角鐵。2．為迎接“五一”國際勞動節，工人叔叔要在禮堂的四周裝上彩燈（地面的四邊不裝）。已知禮堂長90米，寬55米，高22米，工人叔叔至少需要多長的彩燈線？【答案】378米【分析】求工人叔叔至少需要彩燈線的長度，就在求這個長方體2條長、2條寬和4條高的長度和，據此求出需要彩燈線的長度?！驹斀狻?0×2＋55×2＋22×4＝180＋110＋88＝290＋88＝378（米）答：工人叔叔至少需要378米長的彩燈線。3．有一個禮品盒長25厘米，寬12厘米，高8厘米，捆扎方法如下。如果接頭處的彩帶長30厘米，捆扎一個這樣的禮品盒，至少需要多少厘米長的彩帶？【答案】136厘米【分析】將橫向捆扎的彩帶向前移動，縱向捆扎的絲帶向右移動（如下圖），可以看出，捆扎禮品盒的彩帶長度（不包括接頭處）＝（長＋高）×2＋（寬＋高）×2，然后再加上接頭處的彩帶長度即可解答?！驹斀狻浚ɡ迕祝┐穑褐辽傩枰?36厘米長的彩帶?！究键c六】正方體的棱長及實際應用?！镜湫屠}1】棱長和。一個正方體的棱長是3厘米，這個正方體所有棱長的和是()厘米。【答案】36【分析】根據正方體的棱長總和公式可知，正方體的棱長總和＝棱長×12，直接代入數據計算即可得解?！驹斀狻?×12＝36（厘米）即這個正方體所有棱長的和是36厘米。【點睛】此題主要考查正方體的棱長總和的計算方法?！镜湫屠}2】反求棱長。用一根長36厘米的鐵絲圍成一個正方體框架，這個正方體框架的棱長是()厘米?！敬鸢浮?【分析】鐵絲長度相當于正方體棱長總和，根據正方體棱長＝棱長總和÷12，列式計算即可。【詳解】36÷12＝3（厘米）這個正方體框架的棱長是3厘米?！镜湫屠}3】實際應用。五一期間，外地游客小明到“廣州市場步行街”買到一個禮物，這個禮物的禮盒是一個正方體，這個禮盒用打包帶按如圖所示方法捆起來（打結處打包帶長20厘米），一共要用多少厘米的打包帶？【答案】660厘米【分析】由圖可知，正方體上下兩個面分別需要計算4條棱的長度，四個側面分別需要計算2條棱的長度，－共需要計算（4×2＋2×4）條正方體的棱長，再乘正方體每條棱的長度，最后加上打結處打包帶的長度，據此解答。【詳解】（4×2＋2×4）×40＋20＝（8＋8）×40＋20＝16×40＋20＝640＋20＝660（厘米）答：一共要用660厘米的打包帶?！军c睛】本題主要考查正方體棱長之和的應用，分析圖形求出需要計算棱長的數量是解答題目的關鍵?！緦毩暋?．李老師要用木條做一個棱長為20厘米的正方體燈籠的框架，至少需要多長的木條？【答案】240厘米【分析】根據正方體棱長總和＝棱長×12，列式解答即可?！驹斀狻?0×12＝240（厘米）答：至少需要240厘米長的木條?！军c睛】關鍵是掌握并靈活運用正方體棱長總和公式。2．小紅買了一個棱長6分米的儲物箱，她要在每條棱上粘膠帶，若每米膠帶2.5元，至少需要買多少元的膠帶？【答案】18元【分析】根據正方體的特征可知，正方體有12條棱長，用棱長×12求出所有棱長的總和，把棱長總和的長度換算單位后，再乘每米膠帶的價錢2.5元，即可求出需要買多少元的膠帶。【詳解】12×6＝72（分米）72分米＝7.2米7.2×2.5＝18（元）答：至少需要買18元的膠帶?！军c睛】此題的解題關鍵是理解掌握正方體的特征以及棱長的應用。3．五一期間，外地游客小明到“廣州市場步行街”買到一個禮物，這個禮物的禮盒是一個正方體，這個禮盒用打包帶按如圖所示方法捆起來（打結處打包帶長20厘米），一共要用多少厘米的打包帶？【答案】660厘米【分析】由圖可知，正方體上下兩個面分別需要計算4條棱的長度，四個側面分別需要計算2條棱的長度，－共需要計算（4×2＋2×4）條正方體的棱長，再乘正方體每條棱的長度，最后加上打結處打包帶的長度，據此解答。【詳解】（4×2＋2×4）×40＋20＝（8＋8）×40＋20＝16×40＋20＝640＋20＝660（厘米）答：一共要用660厘米的打包帶?！军c睛】本題主要考查正方體棱長之和的應用，分析圖形求出需要計算棱長的數量是解答題目的關鍵?！究键c七】長方體和正方體棱長和的綜合應用?！镜湫屠}】一個棱長6分米的正方體鋼塊，把它融化后鍛造成寬2.5分米，高3分米的長方體鋼條，能鍛造多長？解析：6×6×6÷（2.5×3）＝216÷7.5＝28.8（分米）答：能鍛造28.8分米長?！緦毩暋?.用一根鐵絲圍成一個長方體，長是12分米，寬是8分米，高是4分米。如果用這根鐵絲改圍成一個正方體，那么這個正方體的棱長是多少分米？解析：（12＋8＋4）×4÷12＝24×4÷12＝8（分米）答：這個正方體的棱長是8分米。2.一根鐵絲可以做成一個長11cm，寬7cm，高6cm的長方體模型，如果用它做成一個正方體模型，那么這個正方體的棱長是多少cm？解析：（11＋7＋6）×4÷12＝24×4÷12＝96÷12＝8（cm）答：這個正方體的棱長是8cm。【第二篇】長方體和正方體的表面積【知識總覽】一、長方體的表面積。1.長方體的表面積=2×（長×寬+長×高+寬×高），用字母表示為S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。2.已知表面積，反求長、寬、高：方程法。二、正方體的表面積。正方體的表面積=6×棱長×棱長，用字母表示為：S=6a2。三、長方體和正方體的棱長擴倍問題。1.如果正方體的棱長擴大到原來的n倍，那么它的表面積就擴大到原來的n2倍。例如：若正方體的棱長擴大到原來的3倍，則它的表面積就擴大到原來的9倍。如果長方體的長、寬、高同時擴大到原來的n倍，那么它的表面積就擴大到原來的n2倍。四、染色問題。三面涂色的在頂點，兩面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，沒有涂色的在里面：染三個面的小正方體數量：8個。染兩個面的小正方體數量：12×（a-2）。染一個面的小正方體數量：6×（a-2）×（a-2）。沒有染色的面的小正方體數量：（a-2）×（a-2）×（a-2）?！究键c一】長方體的表面積及生活實際應用?！镜湫屠}】一個長方體的餅干盒，長是10厘米、寬是6厘米、高是12厘米。如果圍著它貼一圈商標紙（上、下面不貼），這張商標紙的面積至少多少平方厘米？【答案】384平方厘米【分析】上、下面不貼，貼商標紙的面只有前、后、左、右4個面，商標紙的面積＝長×高×2＋寬×高×2，據此列式解答。【詳解】10×12×2＋6×12×2＝240＋144＝384（平方厘米）答：這張商標紙的面積至少384平方厘米?！緦毩暋?．一間長8米、寬6米、高3米的辦公室需要四壁和天花板粉刷，已知門窗共32平方米，需要粉刷的面積有多大？【答案】100平方米【分析】求需要粉刷的面積，就是求這個長方體教室的5個面的面積和，再減去門窗面積，根據長方體表面積公式：表面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，代入數據，即可解答?！驹斀狻?×6＋（8×3＋6×3）×2－32＝48＋（24＋18）×2－32＝48＋42×2－32＝48＋84－32＝132－32＝100（平方米）答：需要粉刷的面積是100平方米。2．學校要粉刷一間教室的四壁和天花板，已知教室的長是8米，寬6米，高4米，門窗的面積25平方米除外，如果每平方米需要5元的涂料費。粉刷這間教室花費多少錢？【答案】675元【分析】先求出粉刷教室的面積，就是求這個長方體教室的5個面的面積和，再減去門窗的面積；根據長方體表面積公式：表面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，代入數據，求出5個面積的面積和，再減去門窗面積，求出要粉刷的面積，再乘5，即可解答?！驹斀狻?×6＋（8×4＋6×4）×2＝48＋（32＋24）×2＝48＋56×2＝48＋112＝160（平方米）（160－25）×5＝135×5＝675（元）答：粉刷這間教室花費675元。【考點二】長方體的展開圖與表面積?！镜湫屠}】下圖是長方體盒子的展開圖，原來長方體盒子的表面積是多少平方米？解析：高：8－5＝3（米）長：（20－3×2）÷2＝（20－6）÷2＝14÷2＝7（米）寬：8－3×2＝8－6＝2（米）（7×2＋7×3＋2×3）×2＝（14＋21＋6）×2＝41×2＝82（平方米）答：原來長方體盒子的表面積是82平方米?！緦毩暋咳鐖D是長方體的展開圖，求這個長方體的表面積。解析：長方體的高：（28－10×2）÷2＝（28－20）÷2＝8÷2＝4（cm）表面積：（10×6＋10×4＋6×4）×2＝（60＋40＋24）×2＝（100＋24）×2＝124×2＝248（cm2）【考點三】正方體的表面積及生活實際應用?！镜湫屠}】一個正方體玻璃魚缸的棱長為3分米，制作這個魚缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面沒有蓋。）【答案】45平方分米【分析】求這個魚缸至少需要多少平方分米的玻璃，實際是求正方體的表面積。正常情況正方體有6個面，但這個魚缸上面沒有蓋，所以只要求5個面的面積和，根據求正方體表面積方法求解即可?！驹斀狻?×3×5＝9×5＝45（平方分米）答：制作這個魚缸至少需要45平方分米的玻璃?！緦毩暋?．制作一個棱長為2分米的正方體燈籠框架，至少需要多少分米長的木條？若在燈籠的各個面糊上彩紙（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩紙？【答案】24分米；20平方分米【分析】求木條的長度，就是求正方體的總棱長，根據正方體的總棱長公式：L＝12a，據此進行計算即可；求彩紙的面積就是求正方體的五個面的面積，根據正方形的面積公式：S＝a2，據此求出正方體1個面的面積，再乘5即可求解?！驹斀狻?×12＝24（分米）2×2×5＝4×5＝20（平方分米）答：至少需要24分米長的木條，至少需要20平方分米的彩紙。2．中國是茶的故鄉，也是茶文化的發源地，自古以來，茶就被譽為中華民族的“國飲”。下圖是一種正方體茶葉禮品包裝盒，包裝盒上的彩帶總長是128厘米（彩帶打結處忽略不計）。做這個禮品包裝盒至少需要多少平方厘米的紙板？【答案】1536平方厘米【分析】觀察可知，彩帶長度包括8條棱長，彩帶長度÷8＝棱長，根據正方體表面積＝棱長×棱長×6，列式解答即可。【詳解】128÷8＝16（厘米）16×16×6＝1536（平方厘米）答：做這個禮品包裝盒至少需要1536平方厘米的紙板?！究键c四】棱長擴倍問題?！镜湫屠}】1.一個正方體的棱長擴大2倍，表面積就擴大()倍。【答案】4【分析】根據正方體的表面積公式和積的變化規律，正方體的表面積公式：，積擴大的倍數等于因數擴大倍數的乘積，正方體的棱長擴大2倍，表面積就擴大4倍。【詳解】正方體的棱長擴大2倍，表面積就擴大：倍；所以一個正方體的棱長擴大2倍，表面積就擴大4倍。【點睛】本題考查正方體的表面積，解答本題的關鍵是掌握正方體的表面積計算公式。2.一個長方體如果長、寬、高都分別擴大2倍，那么它的表面積擴大()倍。A．2

B．4

C．8【答案】B【詳解】長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2[（長×2）×（寬×2）＋（長×2）×（高×2）]×2＝[（長×寬＋長×高＋寬×高）×2]×4【對應練習】1.長方體的長、寬、高都擴大3倍，那么表面積擴大()。A．3倍 B．9 C．27倍【答案】B【分析】根據長方體的表面積公式：s＝（ab＋ah＋bh）×2，再根據積的變化規律，積擴大的倍數等于因數擴大倍數的乘積；由此解答。【詳解】由于長方體的每個面都是長方形，長、寬都擴大3倍，長方形的面積就擴大3×3＝9倍；所以，長方體的長、寬、高都擴大3倍，那么表面積擴大9倍。故選B．【點睛】此題主根據查長方體的表面積的計算方法和積的變化規律解決問題。2.一個正方體的棱長擴大3倍，它的表面積就()。A．擴大9倍 B．擴大6倍 C．擴大27倍【答案】A【分析】設正方體的棱長為a，則擴大后的棱長為3a，分別利用正方體的表面積公式S＝6a2，即可求出擴大前后的表面積，進而求出表面積擴大的倍數。【詳解】設正方體的棱長為a，則擴大后的棱長為3a原來的正方體的表面積：6a2擴大后的正方體的表面積：3a×3a×6＝54a2表面積擴大：54a2÷6a2＝9。故答案為：A【點睛】此題主要考查正方體的表面積的計算方法的靈活應用?！究键c五】不規則或組合立體圖形的表面積。【典型例題】把一個棱長為3分米的正方體木塊至上而下（如圖）切去一個長方體，剩下木塊的表面積是多少？解析：3×3×6－1×1×2＋3×1×2＝54－2＋6＝58（平方分米）答：剩下部分的表面積是58平方分米?！緦毩暋?.求下面幾何形體的表面積。（單位：厘米）解析：5×5×6＋5×2×4＝25×6＋10×4＝150＋40＝190（平方厘米）2.計算下面幾何體的表面積。解析：6×8×8＝6×64＝384（cm2）【考點六】染色問題（表面涂色的正方體）。【典型例題】如圖是由7個相同的小正方體組成的一個幾何體，如果把這個幾何體表面都涂成藍色（底面不涂），只有3個面涂色的小正方體有()個。【答案】3【分析】每個正方體有6個面，觀察判定它的每個面是否與其他正方體或底面接觸，如果與其他物體接觸，則無法涂色，據此進行判斷。【對應練習】1．用棱長1cm的小正方體拼成下圖的正方體后，把它們的表面分別涂上顏色，則兩面涂色的小正方體有()個。

【答案】24【分析】根據拼成的正方體圖，開展空間想象，可知從下往上數第一層有8個、第二、三層各有4個，第四層有8個小正體是兩面相鄰兩面涂色的。據此解答?！驹斀狻?＋4＋4＋8＝24（個）兩面涂色的小正方體有（24）個?！军c睛】此題考查了同學閃的空間想象能力。找出每一層有多少個小正方體是兩面涂色的是解答的關鍵。2．在一塊棱長為16cm的正方體蛋糕表面涂上奶油（底面不涂），然后切成棱長為4cm的小正方體蛋糕，在這些小正方體蛋糕中，2面涂奶油的有()塊?！敬鸢浮?0【分析】因為16÷4＝4，所以每條棱上都有4塊小正方體蛋糕，如果每個面都涂奶油，那么2面涂奶油的小正方體蛋糕就在12條棱的中間段，每條棱上有（4－2）塊。但由于這個蛋糕底面沒有涂奶油，所以底面的4條棱中間段的小正方體蛋糕只有一面涂了奶油，而在頂點處有2面涂了奶油。所以2面涂奶油的一共有（2×8＋4）塊。【詳解】16÷4＝4（塊）2×8＋4＝16＋4＝20（塊）【點睛】此題考查了學生對問題的分析思考能力?！镜谌块L方體和正方體的表面積增減變化問題【知識總覽】長方體和正方體的表面積增減變化問題主要有三種，一是切片問題，表面積會相應增加，二是是拼接問題，表面積會相應減少，三是高的變化引起的表面積變化。1.切片問題。（1）切一刀增加兩個切面，沿著不同的方向切，多出的表面積一般是不一樣的，其中正方體比較特殊，它的表面積的增減變化都是都是正方形在進行變化，相對比較簡單。（2）刀數×2=切面個數。2.拼接問題。（1）長方體或正方體的拼接會使表面積減少，兩個正方體的拼接，有兩個重合面，會減少兩個正方形的面積，同理，三個正方體的拼接會減少四個正方形的面積，與切片問題類似，可以先判斷刀數，再根據刀數去推正方形的個數，但是長方體的拼接要根據不同的拼接面來判斷具體減少的面積。（2）段數-1=刀數；刀數×2=切面個數。3.高的變化引起的表面積變化。（1）正方體高的變化，即棱長的增減變化，會引起正方體側面積的增減變化。（2）長方體高的變化，會引起長方體側面積的增減變化，長方體的側面指的是前后左右四個面。【考點一】切片問題。【典型例題1】長方體和正方體的切割。一個正方體切成兩個長方體，表面積增加了8平方厘米，原正方體的表面積是()平方厘米?！敬鸢浮?4【分析】把一個正方體切成兩個長方體，表面積比原來增加了2個正方形的面積，即8平方厘米，據此求出正方體一個面的面積，再根據正方體的表面積公式：S＝6a2，據此計算即可。【詳解】8÷2＝4（平方厘米）4×6＝24（平方厘米）則原正方體的表面積是24平方厘米?！军c睛】本題考查正方體的表面積，求出正方體一個面的面積是解題的關鍵。【典型例題2】表面積的最值問題。把一個長9cm、寬8cm、高6cm的長方體木塊截成兩個相同的長方體，表面積最多增加()cm2。【答案】144【分析】根據長方體的特征，其總共有3種不同大小的面，分別是9cm×8cm的面，9cm×6cm的面，8cm×6cm的面，所以如果將該長方體切成兩個小長方體，沿著3種不同的面平行切就有3種切法，無論哪種切法，都會多出兩個面，如果想讓表面積增加的最少，就是沿最小的面平行進行切割，多出來的表面積最少，想讓表面積增加最多，就沿著最大的面平行進行切割，據此判斷即可。【詳解】由分析可得：9×8×2＝72×2＝144（cm2）綜上所述：把一個長9cm、寬8cm、高6cm的長方體木塊截成兩個相同的長方體，表面積最多增加144cm2?！军c睛】本題考查的立體圖形的切割問題，需要明確長方體每切一刀，增加兩個面的面積，要想增加的表面積最少，就沿著最小的面平行切即可，增加的面積最大，就沿著最大的面平行進行切割。【典型例題3】切片問題綜合。一根長1米的長方體木料鋸成2段后，表面積增加了6平方分米。這根木料的體積是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，這根木料重多少千克？解析：1米＝10分米6÷2×10＝3×10＝30（立方分米）1.5×30＝45（千克）答：這根木料的體積是30立方分米，這根木料重45千克?！緦毩暋?.一個表面積是60cm2的長方體按下圖所示切三刀，分割成()個小長方體，這些小長方體的表面積之和比原來的長方體增加()cm2。

【答案】860【分析】觀察可知，如圖所示切三刀，將長方體分割成了2層，每層4個，共8個小長方體；每切一刀增加2個面，即增加了前后左右上下共6個面，增加的部分是一個完整大長方體的表面積，據此分析?！驹斀狻恳粋€表面積是60cm2的長方體如圖所示切三刀，分割成8個小長方體，這些小長方體的表面積之和比原來的長方體增加60cm2?！军c睛】關鍵是看懂圖示，具有一定的空間想象能力。2.一個長方體長24cm，寬10cm，高6cm。如果把它切成2個完全一樣的長方體，表面積增加最小是()cm2，最大是()cm2?！敬鸢浮?20480【分析】要使表面積增加最多，可以平行于最大面切割，則表面積就會增加2個24×10的面的面積；要使表面積增加最少，可以平行于最小面切割，則表面積就會增加2個10×6的面的面積?！驹斀狻?4×10×2＝240×2＝480（cm2）10×6×2＝60×2＝120（cm2）【點睛】抓住切割特點和表面積增加面的情況是解決本題的關鍵。3.一根長12分米的木料，按下圖橫截成3段后表面積增加了100平方分米。原來這根木料的體積是多少立方分米？解析：（3－1）×2＝2×2＝4（個）100÷4×12＝25×12＝300（立方分米）答：原來這根木料的體積是300立方分米?！究键c二】拼接問題。【典型例題1】正方體的拼接。如圖：(1)兩個完全相同的正方體拼在一起，表面積減少()個面，三個正方體拼在一起減少()個面；每增加一個正方體減少()面。(2)n個小正方體拼在一起減少()面。(3)如果小正方體的棱長是1厘米，5個小正方體如上圖一樣拼在一起表面積是()平方厘米，n個小正方體拼在一起表面積是()平方厘米。【答案】(1)242(2)2（n－1）(3)224n＋2【分析】本題考查的是歸納和總結的能力。2個相同正方體如圖拼在一起，表面積減少2×（2－1）＝2個面；3個相同正方體如圖拼在一起，表面積減少2×（3－1）＝4個面；4個相同正方體如圖拼在一起，表面積減少2×（4－1）＝6個面；……由此可歸納出，n個相同正方體如圖拼在一起，表面積減少2（n－1）個面。據此解答。【詳解】（1）由圖可知，兩個正方體拼在一起，有1個“接縫”，2個正方形表面重疊后成為長方體的“內部”，所以表面積減少2個面。三個正方體拼在一起，有2個“接縫”，4個正方形表面重疊后成為長方體的“內部”，所以表面積減少4個面。每增加一個正方體就增加一個接縫，一個接縫就減少2個面。（2）根據歸納總結可知，n個正方體如圖拼在一起，會有（n－1）個接縫，每個接縫處會減少2個面，因此會減少2（n－1）個面。（3）5個相同正方體如圖拼在一起，表面積減少2×（5－1）＝8個面。棱長為1厘米，一個面的面積為1平方厘米。由此表面積可列式為：6×1×5－8×1＝30－8＝22（平方厘米）n個相同正方體如圖拼在一起，表面積減少2（n－1）個面，一個面的面積為1平方厘米。表面積為：6n×1－2（n－1）×1＝6n－2n＋2＝（4n＋2）平方厘米【典型例題2】長方體的拼接與表面積的最值問題。用三個長20厘米，寬15厘米，高10厘米的小長方體，擺成一個大長方體，大長方體的表面積最大是()平方厘米?！敬鸢浮?300【分析】要想長方體的表面積最大，就把最小的三個面拼在一起，拼成后的長方體的長是20×3＝60厘米，寬和高不變，根據長方體的表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數據，即可解答?！驹斀狻块L方體的長是：20×3＝60（厘米），寬是15厘米，高是10厘米；（60×15＋60×10＋15×10）×2＝（900＋600＋150）×2＝1650×2＝3300（平方厘米）即大長方體的表面積最大是3300平方厘米?！军c睛】明確將三個最小面拼合在一起，得到的新長方體的表面積最大是解決本題的關鍵。【典型例題3】拼接問題綜合。用4個完全一樣的小正方體積木拼成一個長方體（如下圖所示），表面積減少了32平方厘米，每個小正方體的體積是多少？拼成的這個長方體的底面積是多少？【答案】8立方厘米；16平方厘米【分析】如圖，拼成一個長方體后，表面積減少了8個小正方形的面積，用32除以8可求出其中一個小正方形的面積為4平方厘米，所以小正方形的邊長為2厘米，即小正方體的棱長為2厘米，根據正方體的體積公式即可求出每個小正方體的體積；長方體的長和寬都為（2＋2）厘米，利用長乘寬即可求出拼成的這個長方體的底面積?！驹斀狻?2÷8＝4（平方厘米）因為2×2＝4（平方厘米）所以小正方體的棱長是2厘米。2×2×2＝8（立方厘米）（2＋2）×（2＋2）＝4×4＝16（平方厘米）答：每個小正方體的體積是8立方厘米，拼成的這個長方體的底面積是16平方厘米?！军c睛】此題主要考查立體圖形的拼接，熟練運用正方體的體積和長方體的底面積公式，弄清減少的是幾個面的面積是解題的關鍵。【對應練習】1.小明有30個棱長是1厘米的小正方體，用這些小正方體拼成一個最大的正方體后，還剩()個小正方體。拼成的這個大正方體的表面積是()平方厘米。【答案】354【分析】根據正方體的體積＝棱長3，33＝27（立方厘米），43＝64（立方厘米），所以小明有30個棱長是1厘米的小正方體，用這些小正方體拼成一個最大的正方體，大正方體的棱長應為3厘米，然后根據：正方體的表面積＝棱長×棱長×6，由此解答即可?！驹斀狻?3＝27（立方厘米）43＝64（立方厘米）13×30＝30（立方厘米）27＜30＜6427÷（13）＝27（個）小正方體棱長為1厘米，則大正方體的體積為27立方厘米，大正方體的棱長應為3厘米；用了27個小正方體。30－27＝3（個）3×3×6＝54（平方厘米）還剩3個小正方體。拼成的這個大正方體的表面積是54平方厘米。【點睛】靈活掌握正方體的體積和表面積計算公式，是解答此題的關鍵。2.將長、寬、高分別為5cm、4cm、3cm的兩個完全相同的長方體拼成一個新的長方體，則拼成后的長方體表面積最大是()，最小是()?！敬鸢浮?64148【分析】（1）要使拼成長方體的表面積最大，那就要把最小面拼在一起，即把長方體最小的兩個面重合，拼組之后2個長方體就變成了一個長10cm、寬4cm、高3cm的大長方體，最后利用“長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2”求出拼成長方體的表面積；（2）要使拼成長方體的表面積最小，那就要把最大面拼在一起，即把長方體最大的兩個面重合，拼組之后2個長方體就變成了一個長5cm、寬4cm、高6cm的大長方體，最后代入長方體的表面積公式即可求得大長方體的表面積；據此解答?！驹斀狻咳鐖D5＋5＝10（cm）（10×4＋10×3＋3×4）×2＝（40＋30＋12）×2＝82×2＝164（cm2）3＋3＝6（cm）（5×4＋5×6＋4×6）×2＝（20＋30＋24）×2＝74×2＝148（cm2）即拼成后的長方體表面積最大是164cm2，最小是148cm2?！军c睛】分析出拼成長方體的長、寬、高，并掌握長方體的表面積計算公式是解答題目的關鍵。3.把2個長、寬、高分別是10厘米、8厘米、6厘米的長方體，拼成一個表面積最小的長方體，這個長方體的表面積是多少平方厘米？體積是多少立方厘米？【答案】592平方厘米；960立方厘米【分析】將兩個同樣的長方體最大的面拼起來，拼成的長方體表面積最小，求出兩個長方體表面積和，減去最大的面×2即可；拼成的長方體體積是兩個小長方體體積和，據此分析?！驹斀狻浚?0×8＋10×6＋8×6）×2×2－10×8×2＝（80＋60＋48）×4－160＝188×4－160＝752－160＝592（平方厘米）10×8×6×2＝960（立方厘米）答：這個長方體的表面積是592平方厘米，體積是960立方厘米?！军c睛】長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，長方體體積＝長×寬×高?！究键c三】高的變化問題。【典型例題1】高的減少引起的表面積變化。一個長方體，如果高減少，就變成了一個棱長的正方體。那么長方體變成正方體后的表面積減少了多少？【答案】240平方厘米【分析】根據題意，一個長方體如果高減少6cm，就變成一個棱長10cm的正方體，長方體的長＝長方體的寬＝正方體棱長＝10cm；求減少部分的面積，就是一個長是10cm，寬是10cm，高是6cm的長方體的側面積；且這四個面相等；根據長方形面積公式：長×高，代入數據，即可解答?！驹斀狻?0×6×4＝60×4＝240（cm2）答：長方體變成正方體后的表面積減少了240平方厘米?！军c睛】解答本題的關鍵是明確減少后的長方體的長與寬和正方體棱長的關系?！镜湫屠}2】高的增加引起的表面積變化。一個長方體，如果高增加4厘米，那么就變成一個正方體，這時表面積比原來增加128平方厘米，原來長方體的表面積是多少平方厘米？【答案】256平方厘米【分析】由長方體的高增加4厘米后變成了正方體可知，原長方體的長和寬相等。（如下圖）表面積比原來增加128平方厘米，增加部分的面積實際上就是4個面積相等的長方形的面積和。用128÷4先求出增加的1個面的面積；再用增加的1個面的面積÷4求出長方體的長（或寬）；再用長方體的長（或寬）減去4厘米求出原來長方體的高；最后根據長方體的表面積求出原長方體的表面積?！驹斀狻块L（或寬）：128÷4÷4＝32÷4＝8（厘米）高：8－4＝4（厘米）表面積：（8×8＋8×4＋8×4）×2＝（64＋32＋32）×2＝128×2＝256（平方厘米）答：原來長方體的表面積是256平方厘米?！军c睛】一個長方體高增加一段，增加的表面積是增加的那部分前、后、左、右4個側面的面積和?！镜湫屠}3】高的變化問題綜合。1.一個長方體（如圖），如果高增加4厘米，就變成了棱長是10厘米的正方體。體積增加了多少立方厘米？解析：10×10×10－10×10×（10－4）＝1000－100×6＝1000－600＝400（立方厘米）答：體積增加了400立方厘米。2.一個長方體，如果高減少3厘米就成了一個正方體，表面積比原來減少84平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？解析：84÷4÷3＝21÷3＝7（厘米）7＋3＝10（厘米）7×7×10＝49×10＝490（立方厘米）答：原長方體的體積是490立方厘米?！緦毩暋?.一個正方體，它的高增加2厘米后就成了長方體，這個長方體的表面積比原正方體表面積增加了96平方厘米，求原正方體的表面積?！敬鸢浮?64平方厘米【分析】一個正方體如果它的高增加2厘米，就變成了長方體，表面積比原來增加96平方厘米，它的底面積沒變，增加的是4個側面的面積，增加部分每個面的面積是：96÷4＝24平方厘米，用24除以2就可以求出原來正方體的棱長；再根據：正方體的表面積＝6a2，將數據代入公式計算即可?！驹斀狻?6÷4÷2＝24÷2＝12（厘米）12×12×6＝144×6＝864（平方厘米）答：原正方體的表面積是864平方厘米。【點睛】此題解答關鍵是求出正方體的棱長，然后根據正方體的表